Уравнение собственных колебаний в rlc контуре (8 видео)

Свободные колебания в RLC контуре

Цель работы:

* Знакомство с моделью свободных колебаний в последовательном RLC-контуре.

* Экспериментальное исследование закономерностей свободных незатухающих и затухающих колебаний.

* Экспериментальное определение характеристик затухания в RLC-контуре.

Основные понятия:

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

(1)

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):

(2)

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(3)

Здесь принято обозначение: Уравнение (3) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

(5)

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

(6)

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рисунок 2).

Рисунок 2 Затухающие колебания

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – dυ. Коэффициент d в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(7)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

, (8),

где -амплитуда затухающих колебаний, — начальная амплитуда.

Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени , (9)

в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

Для характеристики степени затухания в контуре, кроме величины δ, вводят понятие логарифмического декремента затухания q. Он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отстоящих во времени на один период)

, (10)

, (11)

. (12)

Добротность Q колебательной системы вычисляется:

Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно пренебречь.

Расчетные формулы:

— период незатухающих колебаний,

— период затухающих колебаний,

— время затухания,

— логарифмический декремент затухания,

добротность RLC-контура: ,

Перейдите от окна теории к окну модели, щелкнув по изображению «Модель. Свободные колебания в RLC-контуре». Внимательно рассмотрите рисунок, найдите все регуляторы и другие основные элементы.

Нажмите кнопку «Старт».Пронаблюдайте картину затухающих колебаний в RLC-контуре. Установите значение R=0. Пронаблюдайте картину незатухающих колебаний. Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

Порядок измерений и обработка результатов:

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Определение периода затухающих и незатухающих колебаний.

Установите значение L и C, соответствующее вашей бригаде. Установите значение R=0.
Выберите график Q(t) (для бригад 1-4), выберите график I(t) (для бригад 5-8), нажмите кнопку «Старт». Нажимая кнопку «Стоп», засеките время n полных колебаний, где n=1 — 7.
Рассчитайте период колебаний для каждого значения n. Вычислите среднее значение периода.
Рассчитайте период колебаний, исходя из параметров RLC-контура .
Сравните значения периода, полученные в пп. 3 и 4 со значением периода, выведенным на экране.
Повторите измерения и расчеты пп. 2-5 для незатухающих колебаний, установив значение R, соответствующее вашей бригаде.

ТАБЛИЦА 1. Параметры RLC-контура (не перерисовывать)

Бригада

L [мГн]

C [мкФ]

R[Ом]

ТАБЛИЦА 2. Результаты измерений при L= ____ мГн, C = ____ мкФ, R=0 Ом.

n	t_i, с	, с
T _ср=____с

=____с, T _изм=____с

ТАБЛИЦА 3. Результаты измерений при L= ____ мГн, C = ____ мкФ, R=____ Ом.

n	t_i, с	, с
4
5
6
7
T _ср=____с

t =____с, =____с, T _изм=____с

ЭКСПЕРИМЕНТ 2 Определение логарифмического декремента затухания.

Выберите график q(t).
Запишите значение . Измерьте с помощью линейки (или нажимая кнопку «Стоп») амплитуду колебаний через n=3 полных колебаний .
Рассчитайте логарифмический декремент затухания .
Повторите измерения пп. 2-3 еще 3 раза.
Рассчитайте среднее значение логарифмического декремента затухания.
Рассчитайте логарифмический декремент затухания по формуле .
Сравните полученные результаты.

ТАБЛИЦА 4. Логарифмический декремент затухания

Уравнение собственных колебаний в rlc контуре

ЭКСПЕРИМЕНТ 3 Определение добротности контура.

Определите начальную энергию RLC-контура W₀, нажмите кнопку «Старт». Нажимая кнопку «Стоп», определите энергию через одно полное колебание W₁.
Рассчитайте потерю энергии за один период .
Рассчитайте добротность .
Повторите измерения полной энергии через период W₂, W₃, W₄, W₅, каждый раз вычисляя потерю энергии за период и добротность
Рассчитайте среднее значение Q.
Сравните полученный результат с результатом расчетной формулы .
Вычислите добротность контура по формуле

ТАБЛИЦА 5. Добротность контура

Содержание

RLC-контур. Свободные колебания
R L C -контур
Свободные колебания
Свободные (затухающие) колебания в последовательном RLC-контуре.
📹 Видео

Видео:Урок 353. Колебательный контурСкачать

RLC-контур. Свободные колебания

Видео:Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

R L C -контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный R L C -контур, изображенный на рис. 2 . 2 . 1 .

Рисунок 2 . 2 . 1 . Последовательный R L C -контур.

Находясь в положении 1 , ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой R L C -цепи закон Ома представляет из себя выражение:

J R + U = — L d J d t .

В данной формуле U = q C – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J = d q d t – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q ( t ) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в R L C -контуре уравнение может быть приведено к виду:

q · · + R L q · + 1 L C q = 0 .

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

q · · + ω 0 2 q = 0 .

Примем обозначение ω 0 2 = 1 L C . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в L C — контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2 . 2 . 2 . На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x ( t ) груза и q ( t ) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J ( t ) и скорости груза υ ( t ) за период T = 2 π ω 0 колебаний.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Электрические величины		Механические величины
Заряд конденсатора	q ( t )	Координата	x ( t )
Ток в цепи	J = d q d t	Скорость	ν = d x d t
Индуктивность	L	Масса	m
Величина, обратная электроемкости	1 C	Жесткость	k
Напряжение на конденсаторе	U = q C	Упругая сила	k x
Энергия электрического поля конденсатора	q 2 2 C	Потенциальная энергия пружины	k x 2 2
Магнитная энергия катушки	L I 2 2	Кинетическая энергия	m ν 2 2
Магнитный поток	L I	Импульс	m υ

Видео:RLC контур - свободные колебанияСкачать

Свободные колебания

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

q ( t ) = q 0 cos ( ω t + φ 0 ) .

Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

«Начальными условиями», определяющими амплитуду q 0 и начальную фазу φ 0 , называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2 . 2 . 1 , после перевода ключа K в второе положение, q 0 = C δ , φ 0 = 0 .

Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии W э в магнитную энергию катушки W м и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = c o n s t

Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R . По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2 . 2 . 3 ).

Рисунок 2 . 2 . 3 . Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: F т р = – β υ .

В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

q · · + 2 δ q · + ω 0 2 q = 0

Коэффициентом затухания называется физическая величина δ = R 2 L .

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) ,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель e x p ( – δ t ) . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2 , 7 раза, называется временем затухания.

Понятие добротности Q колебательной системы:

где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ .

Любая добротность Q , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:

Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д

Добротность Q , принадлежащая R L C -контуру, выражают формулой:

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω 0 идеального контура с такими же значениями L и C . Однако при Q ≥ ( 5 ÷ 10 ) данным различием можно пренебречь.

Рисунок 2 . 2 . 4 . Модель свободных колебаний в R L C -контуре.

Видео:RLC контур - вынужденные колебанияСкачать

Свободные (затухающие) колебания в последовательном RLC-контуре.

Цель работы:наблюдение затухающих колебаний на экране осциллографа и экспериментальное определение характеристик колебаний и параметров контура.

Приборы и принадлежности:генератор прямоугольных импульсов (в блоке ГН1), цифровой осциллограф PicoScope 2203, стенд С-ЭМ01, соединительные провода.

Краткие теоретические сведения:

Уравнение свободных колебаний в последовательном RLC –контуре (рис.1) может быть получено из второго правила Кирхгофа:

где

Окончательно уравнение принимает вид

, (1)

где

Решением уравнения (1) при малом затухании (b 2 2 ) является функция, описываемая уравнением

, (2)

где w-частота затухающих колебаний, b-коэффициент затухания, — начальная фаза, -максимальное напряжение на конденсаторе

Период затухающих колебаний Т при малом затухании можно приближенно считать равным периоду незатухающих колебаний Т₀

. (3)

Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания , характеризующий уменьшение амплитуды колебаний за один период