Уравнение синус в квадрате равно (6 видео)

Содержание

Косинус в квадрате и синус в квадрате
Косинус в квадрате, синус в квадрате
Простейшие тригонометрические уравнения
п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции
п.3. Различные формы записи решений
п.4. Примеры
sin^2x (уравнение)
Решение
🔍 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) »]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else user->identity->profile->first_name) || !empty(Yii::$app->user->identity->profile->surname))user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

При правильном ответе Вы получите 8 баллов

Упростить выражение с квадратом косинуса:

Выберите всего один правильный ответ.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван ИвановичОтветить -2

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Видео:Как решать тригонометрическое уравнение cos^2 x =1/2 Уравнение с косинусом в квадрате Решите уравненСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.

Уравнение	ОДЗ	Решение
$$ sinx=a $$	$$ -1leq aleq 1 $$	begin x=(-1)^k arcsin a+pi kLeftrightarrow\ Leftrightarrow left[ begin x_1=arcsin a+2pi k\ x_2=pi-arcsin a+2pi k end right. end
$$ cosx=a $$	$$ -1leq aleq 1 $$	begin x=pm arccos a+2pi k end
$$ tgx=a $$	$$ ainmathbb $$	begin x=arctga+pi k end
$$ ctgx=a $$	$$ ainmathbb $$	begin x=arcctga+pi kLeftrightarrow\ Leftrightarrow x=arctgfrac1a+pi k end

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

a=0	a=-1	a=1
$$ sinx=a $$	$$ x=pi k $$	$$ -fracpi2+2pi k $$	$$ fracpi2+2pi k $$
$$ cosx=a $$	$$ x=fracpi2+pi k $$	begin pi+2pi k end	begin 2pi k end

begin sinx=frac<sqrt>\ x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi4+pi kLeftrightarrow left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. end

begin ctgx=3\ x=arcctg3+pi kLeftrightarrow x=arctgfrac13+pi k end

п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции

К простейшим также можно отнести уравнения вида:

Уравнение	ОДЗ	Решение
$$ sin^2x=a $$	$$ 0leq aleq 1 $$	begin x=pm arcsinsqrt+pi k end
$$ cos^2x=a $$	$$ 0leq aleq 1 $$	begin x=pm arccossqrt+pi k end
$$ tg^2x=a $$	$$ ageq 0 $$	begin x=pm arctgsqrt+pi k end
$$ ctg^2x=a $$	$$ ageq 0 $$	begin x=pm arcctgsqrt+pi k end

begin cos^x=frac14\ x=pm arccosfrac12+pi k=pmfracpi3+pi k end

begin tg^2x=1\ x=pm arctg1+pi k=pmfracpi4+pi k end

п.3. Различные формы записи решений

Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.

Решим уравнение (sin^2x=0,64)
Для квадрата синуса решение имеет вид: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=\ =pm arcsin0,8+pi k end На числовой окружности этому решению соответствуют 4 базовых точки, которые можно представить по-разному: begin x=pm arcsin0,8+pi k=\ =pm arccos0,6+pi k=\ =pm arctgfrac43+pi k end

Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: begin sin^2x=frac=0,64Rightarrow 1-cos2x=1,28Rightarrow cos2x=-0,28Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccos(-0,28)+2pi kRightarrow x=pmfrac12 arccos(-0,28)+pi k end Если же решать уравнение с помощью универсальной подстановки: begin sin^2x=left(frac<2tgfrac><1+tg^2frac>right)^2=0,64Rightarrowfrac<2tgfrac><1+tg^2frac>=pm 0,8Rightarrow 1+tg^2frac=pm 2,5tgfracRightarrow\ left[ begin tg^2frac+2,5tgfrac+1=0\ tg^2frac-2,5tgfrac+1=0 end right. Rightarrow left[ begin left(tgfrac+2right)left(tgfrac+frac12right)=0\ left(tgfrac-2right)left(tgfrac-frac12right)=0 end right. Rightarrow left[ begin tgfrac=pm 2\ tgfrac=pmfrac12 end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin x=pm arctg2+2pi k\ x=pm 2arctgfrac12+2pi k end right. end Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin x=frac<sqrt>)

Обычный способ: begin x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi3 +pi k Leftrightarrow\ Leftrightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end 2 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin sinx=frac<2tgfrac><1+tg^2frac>Rightarrow 1+tg^2frac=frac<2tgfrac><sqrt/2>Rightarrow tg^2frac-frac<sqrt>tgfrac+1=0\ D=left(-frac<sqrt>right)^2-4=frac-4=frac43, tgfrac=frac<frac<sqrt>pmfrac<sqrt>>Rightarrow left[ begin tgfrac=frac<sqrt>\ tgfrac=sqrt end right. \ left[ begin frac=fracpi6+pi k\ frac=fracpi3+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: ((-1)^kfracpi3+pi k)

Обычный способ: begin 2x=pm arccosfrac12+2pi kRightarrow\ x=pmfrac12left(arccosfrac12+2pi kright)=\ =pmfrac12cdotfracpi3+pi k=pmfracpi6+pi k end 4 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin cos2x=frac=frac12Rightarrow 2(1-tg^2x)=1+tg^2xRightarrow 3tg^2x=1Rightarrow tgx=pmfrac<sqrt>\ x=pmfracpi6+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi6+pi k)

в) (sinleft(frac+fracpi3right)=1)
Обычный способ: begin frac+fracpi3=fracpi2+2pi kRightarrow frac=fracpi2-fracpi3+2pi k=fracpi6+2pi kRightarrow x=fracpi 3+4pi k end Одна базовая точка на числовой окружности с периодом (4pi).
Универсальная подстановка: begin sinleft(frac+fracpi3right)=frac<2tgfrac<frac+fracpi3>><1+tg^2frac<frac+fracpi3>>=1Rightarrow tg^2left(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)+1=0Rightarrow\ left(tgleft(frac+fracpi6right)-1right)^2=0Rightarrow tgleft(frac+fracpi6right)=1Rightarrow frac+fracpi6=frac+pi kRightarrow\ Rightarrow frac=fracpi4-fracpi6+pi kRightarrow frac=frac+pi kRightarrow x=fracpi3+4pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (fracpi3+4pi k)

г*) (tgleft(3x+fracpi3right)=0)
Обычный способ: begin 3x+fracpi3=arctg0+pi k=pi kRightarrow 3x=-fracpi3+pi kRightarrow x=-fracpi9+frac end Универсальная подстановка: begin tgleft(3x+fracpi3right)=frac<2tgfrac><1-tg^2frac>=0Rightarrow tgfrac=0Rightarrowfrac=pi kRightarrow\ Rightarrow 3x+fracpi3=2pi k=3x=-fracpi3+2pi kRightarrow=-fracpi9+frac end При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: (tgfracrightarrowinfty) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: begin frac=fracpi2+pi kRightarrow 3x+fracpi3=pi+2pi kRightarrow 3x=frac+2pi kRightarrow x=frac+frac end Таким образом, мы получили два семейства решений: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. end Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения (k): begin left[ begin x=-20^+120^k=left<. -20^,100^,220^. right>\ x=40^+120^k=left<. 40^,160^,280^. right> end right. end Теперь представим полученное обычным способом решение в градусах: $$ x=-fracpi9+frac=-20^+60^k=left<. -20^,40^,100^,160^,220^,280^. right> $$ Получаем, что: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. Leftrightarrow x=-fracpi9+frac end Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: (-fracpi9+frac)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса (frac=fracpi2+pi k), т.е. (x=pi+2pi k) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: (x=pi+2pi k). begin f(sin(x), cos(x). )=0Leftrightarrow\ left[ begin fleft(tgleft(fracright)right)=0\ (?) x=pi+2pi k end right. end где слева – исходное уравнение, а справа – универсальная подстановка и дополнительное возможное (не обязательное) семейство решений.

Пример 2. Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin^2x=frac34)

Обычный способ: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac<sqrt>+pi k=pmfracpi3+pi k end

Формулы понижения степени: begin sin^2x=frac=frac34Rightarrow 1-cos2x=frac32Rightarrow cos2x=-frac12Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccosleft(-frac12right)+2pi k=pmfrac+2pi kRightarrow x=pmfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi3+pi k)

Обычный способ: begin 2x=pm arccossqrt+pi k=pm 0+pi k=pi kRightarrow x=frac end Формулы понижения степени: begin cos^2 2x=frac=1Rightarrow 1+cos4x=2Rightarrow\ cos4x=1Rightarrow 4x=0+2pi k=2pi kRightarrow x=frac end

Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (frac)

Обычный способ: begin frac+fracpi3=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac12+pi=pmfracpi6+pi k\ frac=-fracpi3pmfracpi6+pi k= left[ begin fracpi2+pi k\ -fracpi6+pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin sin^2left(frac+fracpi3right)=frac<1-cosleft(2left(frac+fracpi3right)right)>=frac14Rightarrow 1-cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow\ Rightarrow cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow x+frac=pm arccosleft(frac12right)+2pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpmfracpi3+2pi k= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (-pi+2pi k, -fracpi3+2pi k)

Обычный способ: begin x+fracpi4=pm arctgsqrt+pi k=pmfracpi4+pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpi4pmfracpi4+pi k= left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin cos^2left(x+fracpi4right)=frac<1+underbrace_>=frac12\ cos^2left(x+fracpi4right)=frac=frac12 Rightarrow cosleft(2x+fracpi2right)=0Rightarrow\ Rightarrow -sin2x=0Rightarrow sin2x=0 Rightarrow 2x=pi kRightarrow x=frac end Из чертежа видно, что begin left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. Leftrightarrow x=frac end Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: (frac)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

sin^2x (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2x

Решение

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_ = frac <sqrt- b>$$
$$w_ = frac <- sqrt- b>$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, то

Т.к. D = 0, то корень всего один.

$$w_ = 0$$
делаем обратную замену
$$sin = w$$
Дано уравнение
$$sin = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + operatorname$$
$$x = 2 pi n — operatorname + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + operatorname$$
$$x = 2 pi n — operatorname + pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_ = 2 pi n + operatorname <left(w_right)>$$
$$x_ = 2 pi n + operatorname$$
$$x_ = 2 pi n$$
$$x_ = 2 pi n — operatorname <left(w_right)> + pi$$
$$x_ = 2 pi n — operatorname + pi$$
$$x_ = 2 pi n + pi$$