Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.
Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.
При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.
При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:
где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ).
Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ.
При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).
Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:
(-1) m arcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1= π /2, имеем: (- 1) m arcsin 1 + mπ= (- 1) mπ /2 + mπ.
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).
Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.
К примеру, вместо формулы (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1) m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ — формулу х= 180 m и т. д.
Видео:10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать
Как репетитор по математике поясняет формулу корней уравнения SinX=a
Известно, что большинство школьных учебников по математике далеко от методического совершенства, к которому так стремятся их авторы. На мой взгляд, многие из них предлагают туманные или совсем точные объяснения сложных теоретических вопросов. Обычно, если репетитор по математике в совершенстве владеет искусством объяснений, то либо меняет логику учебника полностью, либо дополняет тексты адаптированными для детского восприятия комментариями. Я уже давно пересмотрел подходы к изучению многих тем школьной программы по математике, являющиеся классическими. Невнятная логика переходов от одного факта к другому (от формулы к формуле), сухая схематичность выкладок и обилие математических терминов, — далеко не полный список проблем в построении классических объяснений.
Можно ли как-то исправить недосмотры и переписать учебники с учетом этих замечаний? Думаю, что нельзя. Почему? Если аккуратно подходить к каждому проблемному участку и менять «скупую математику» на «живую» и понятную, то размеры учебников возрастут в несколько раз. Почему? Очень трудно передать коротко те мысли, которые помогают прояснить сложные математические процессы. На некоторые из них придется потратить по 0,5-1,5 страниц печатного текста. Если так править каждый параграф, то и без того увесистые портфели учеников можно будет использовать для занятий тяжелой атлетикой.
Поэтому репетитор по математике как всегда «принимает огонь на себя». Отмечу, что индивидуальные занятия с преподавателем создают наилучшие условия для проникновения в глубины предмета, ибо в переполненном классе сложнее настроить ученика на серьезную вдумчивую работую. Репетитору же, как правило, удается донести до его сознания разного рода тонкости.
Толковое подробное объяснение сложного вопроса может отнять весь урок. И даже это не гарантирует 100%-го понимания темы всеми учащимися. Очень трудно удерживать внимание целой аудитории на детальном рассмотрении важных «мелочей». Особенно если оно долгое. Отдельно взятый ученик может в любой момент отвлечься от доски и полностью выключится из процесса. Преподаватель замеввший его потерянный взгляд и повторяющий часть объяснения заново, рискует запутает других учеников, ибо теряется последовательность изложения логических выводов. Сильному ученику станет скучно и он, скорее всего, потеряет концентрацию.
Неравномерность скорости восприятия информации (даже в классе с приблизительно равным уровнем знаний и способностей) делает аккуратные объяснения тем малоэффективными. Поэтому и здесь индивидуальный репетитор по математике оказывается в более выгодных условиях по сравнению со школьным преподавателем. В тихой и спокойной обстановке при полном контроле за пониманием и вниманием ученика репетитору удается объяснить теорему так, как это не удается сделать в классе.
Какую коррекцию проводит репетитор по математике?
Предлагаю вашему вниманию пример одного из моих объяснений при работе с темой «решение простейших тригонометрических уравнений». Напомню, что подготовка к ЕГЭ по математике включает в себя разбор формул для понимания решений задач типа С1. Что предлагает нам базовый учебник математики А.Н. Колмогорова 10-11 класс? Откроем пункт №9.2, стр.72 (17-е издание). В нем описывается построение формулы корней уравнения вида 
. 
Сделан рисунок круга и даны вполне нормальные объяснения формулам для левой и правой точек – концов соответствующей хорды. 
где 
Далее следует текст (цитирую): Удобно эти решения уравнения 
записывать не двумя, а одной формулой: 
Нетрудно убедиться, что при четных k=2n из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4), а при нечетных k=2n+1 – решения, записываемые формулой (5).
Ну как Вам, понятно? Можно ли считать переход доказанным? Достаточно ли репетитору по математике повторить этот текст на уроке? Думаю, что нет. И вряд ли поможет прямая подстановка выражений 2n и 2n+1, ибо она точного доказательства не даст. Меня всегда возмущала тактика ухода от рассмотрения тонких вопросов. Как только автор с ним сталкивается, он сразу же прибегает к фразе «нетрудно убедиться» или «нетрудно доказать». Давайте разберемся, что именно здесь требуется вообще доказать и какие пояснения репетитору по математике следует предоставить ученику.
Пояснения репетитора к выводу формулы 
Лучше строить рассуждения от обратного. Не подставлять 2n и 2n+1, а выделять их в 4-ой и 5-ой формулах. Некоторым ученикам 10 класса репетитор по математике должен объяснить принцип работы самих формул: для каждого целого числа, подставленного вместо буквы n (я использую всегда самые доступные фразы и термины) каждая формула вычисляет соответствующий ему угол. Подставляя в n все целые знания можно вычислить все множество углов (корней уравнения). Естественно, что запись формул может быть совершенно произвольной, когда множество сохраняется. Если замена на 6-ю формулу не приведет ни к потере, ни к приобретению лишних углов, то эта замена будет корректной. Согласно всем математическим правилам репетитору требуется просто показать совпадение множеств. Как это сделать? Лучше всего подготовить (преобразовать) формулы (4) и (5) к виду, максимально близкому к виду (6).
Понятно, что если вместо коэффициента «единица» перед арксинусом в формуле (4) поставить степень 
, то это не изменит результата при вычислении каждого угла, поскольку 2n – четно. В пятой формуле репетитор по математике переставляет слагаемое 
в конец выражения и выносит его за скобку. Это тождественное преобразование, также не меняющее результата при любом n. Затем вместо коэффициента -1 перед вторым арксинусом репетитор вставляет степень 
. И в этом случае результат сохранится, ибо при любом целом n значение 2n+1 будет нечетным, а при возведении 2n+1 в нечетную степень получим ту же самую «минус единицу».
Итак, репетитор по математике преобразует формулы к следующему виду:
Множители в последнем слагаемом специально переставляются, дабы обеспечить максимально точное расположение выражений 2n и 2n+1 для формулы (6) к моменту из замены на k. Лучше всего их выделить разным цветом.
Далее – самое важное. Текст репетитора (дословно):
Докажем, что каждый угол, вычисляемый по (4) формуле, можно вычислить по формуле (6). Почему? Допустим, в формулу (4) вставилось какое-нибудь целое число, например n=7. Тогда в зеленой рамке получится 14. Если вставить 14 вместо переменной k в формулу (6), то получим те же действия, что и в (4) и, следовательно, совпадут результаты. Очевидность этого совпадения обеспечивает максимально близкий вид 4-ой формулы к 6-ой. Поэтому ни один угол формулы (4) не будет потерян. Аналогичные рассуждения репетитор по математике проводит с формулой (5). Итак, мы гарантируем, что все углы формул (4) и (5) можно вычислить по формуле (6).
И наоборот, любой угол формулы (6) можно получить или по (4) или по (5). Почему? Допустим, что при каком-нибудь значении 
мы нашли угол по (6). Если k – четно, например k=10, то вставляя в 4-ю формулу n=5, мы вычислим тот же угол. Если k — нечетно, например 
(и здесь репетитору по математике лучше использовать примеры с конкретными значениями n), то подставляя n=6 в (5) снова увидим повторение набора действий и, как следствие, ответа. И так для любого числа k. Поэтому ни один угол формулы (6) не будет посторонним 
а оба множества (4)+(5) и (6) совпадут.
Если проводится подготовка к ЕГЭ по математике, то репетитору следует помнить о том, что в С1 наибольшую частоту появления имеют задачи на отбор корней. В этом случае общая формула, о которой идет речь в статье, не используется вовсе. Абитуриент отмечает точки на круге, удовлетворяющие условию SinX=a, отсекает лишнюю и только после этого записывает ответ. Думаю, что в условиях экспресс подготовки к ЕГЭ по математике не стоит тратить время на отработку навыков работы с «минус единицей в степени эн» и ограничиться сериями (4) и (5). Если абитуриент на ЕГЭ запишет ответ в С1 отдельными формулами, вместо общей, то это не приведет к снижению оценки (балла) за все задание. 
Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Автор подхода.
Разумно, но какие-такие «математические правила» не убеждают, что общая формула есть объединение для четных и нечетных и наоборот? И уж очень длинное обсуждение совершенно очевидного факта!
А честно «доказать», что (-1)*(-1)=1, учителя и большинство репетиторов не сумеют, да еще будут отмазываться тупым возражением — «по определению»…
Речь шла о самых обычных правилах доказательства совпадения двух множеств. А совпадает с В, если любой элемент из А лежит в В и, наоборот, любой элемент из В лежит в А. Теперь по поводу очевидности. Надо понимать, что очевидный для репетитора (или для сильного десятиклассника) факт, далеко всегда очевиден слабому ученику, о подаче материала которому как раз и идет речь в статье. По уму — вообще вся школьная математика состоит из «совершенно очевидных фактов». Только почему-то дети воспринимают их по-разному. Рад за то, что Ва очевидны формулы. Но это Вам очевидно. А другому человеку? Репетитор должен уметь смотреть на математику глазами школьника, моделируя у себя в голове его мысли. Математик и репетитор — несколько разные профессии. Вы смотрите на триг. формулы глазами математика, а мне приходится смотреть на них глазами репетитора. Методика — это наука о том, как добиться наилучших результатов в понимании и закреплении материала большей части класса, в которой, как правило, процент сильных детей невысок. На практике репетитору довольно часто приходится разжевывать простейшее, иначе не добиться понимания фактов у определенной категории учащихся.
Мне кажется ученикам не понятно когда в ходе объяснения используется числовая окружность, не проще использовать график функции. А если кто-то не понимает что за корень с -1 в степени н, то можно просто ответ записывать в виде двух корней. Потом поймут что это одно и то же.
Во-первых, на графике не видна причина периодичности синуса и косинуса. Слишком он оторван от определения, которое формулируется на координатах ТОЧЕК КРУГА. Во-вторых, репетитору по математике будет сложнее объяснить и, соответственно, научить использовать длину периода. В-третьих, на графике практически невозможно показывать пересечения корней разных уравнений (если это потребуется). Его преимущество состоит только в лучшей демонстрации бесконечности множества корней изучаемых уравнений.
Видео:Алгебра 10 класс (Урок№42 - Уравнение sin x = a.)Скачать
Конспект урока по теме «Уравнение sin x = a»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Урок 79. Уравнение sin x = a
— ввести определение арксинуса, рассмотреть формулу решения уравнения sin x = a , рассмотреть частные случаи решения этого уравнения; учить решать простейшие тригонометрические уравнения;
— продолжить развитие памяти, внимания, логического мышления, математической зоркости;
— воспитывать усидчивость, самостоятельность, аккуратность.
Из определения синуса следует, что — l 1, то уравнение sin х = а не имеет корней. Например, уравнение s in х = 2 не имеет корней.
Задача 1. Решить уравнение sinx= 1/2.
Напомним, что sin х — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1 ; 0) вокруг начала координатна угол х. Ординату, равную ½ имеют две точки окружности М 1 и М 2 (рис. 128). Так как ½ = s in 
, то точка М 1 получается из точки Р (1 ; 0) поворотом на угол х 1 = , а также на углы х = + 2nk, где k = ± 1, +2, . .
Точка М 2 получается из точки Р (1 ; 0) поворотом на угол х 2 = 
, а также на углы х = . + 2 nk, т. е. на углы х = 
+2nk, где k = ± 1, + 2 , . .
И так, все корни уравнения sin х = ½ можно найти по формулам х = + 2nk и х = +2nk, kϵZ .
Эти формулы объединяются в одну: х = 
.
Рассмотреть решение задачи №2 по учебнику стр. 315.
Итак, каждое из уравнений sinx=1/2 и sinx = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 
каждое из этих уравнении имеет только один корень: х 1 = — корень уравнения s in x = ½ и х 2 = — — корень уравнения smx = -1/2.
Число называют арксинусом числа 1/2 и записывают arcsin1/2 = , число — — называют арксинусом числа — 1/2 и пишут arcsin( — l/2 ) = — .
Вообще уравнение sin х = а, где — 1 имеет только один корень. Если а 
0, то корень заключен в промежутке 
; если а 0, то корень заключен промежутке 
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsina (рис. 130).
Арксинусом числа a ϵ [ — 1; 1] называется такое число α ϵ[- 
], синус которого равен а:
arcsin а = α, если sinα = a и α ϵ[- ].
Корни уравнения sinx = a, где |а| х = (— l ) n arcsin а + пπп , n € Z .
arcsin (— а ) = — arcsin а.
Корни уравнения sinx = a при а = 0, а = 1, a = —1 можно находить по более простым формулам:
sinx = 0, х = πп, n ϵ Z ,
s i n x = l , х = π/2 + 2 πп , n ϵZ ,
sinx = — l , x = — π /2 + 2 π n, n ϵ Z .
📹 Видео
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
Тригонометрическое уравнение sin x=a. Часть 13.7. Алгебра 10 классСкачать
Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать
Уравнение sinx=aСкачать
Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать
Арксинус. Решение уравнения sin t = a | Алгебра 10 класс #27 | ИнфоурокСкачать
Уравнение sin x=a | Тригонометрическое уравнение | Алгебра 10 класс| Простое уравнение тригонометрииСкачать
Решение уравнений вида sin x = aСкачать
Уравнение sin x = aСкачать
Алгебра 10 класс 29 неделя Уравнение sin x=aСкачать
Алгебра 10 класс (Урок№41 - Уравнение cos x = a.)Скачать
КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
10 класс - Алгебра - Арксинус. Решение уравнения sin t = aСкачать
Простейшее уравнение sin x = a.Скачать
простейшие уравнения с sinx: 1)sinx=√2/2; 2)sinx=-√3/2Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
