Уравнение силовой линии магнитного диполя

Силовые линии точечного магнитного диполя.

Найдем уравнение силовой линии для точечного магнитного диполя (см. Рис), который расположен в начале координат и вектор которого направлен на юг (противоположно оси Z). Координаты в данной задаче будем использовать сферические.

Воспользуемся дифференциальным уравнением для силовой линии векторного поля общего вида:

Учитывая, что и , можно записать, что

Для магнитного диполя компоненты вектора поля равны:

Подставляя их в уравнение, находим, что

Где использовано начальное условие, что на экваторе (где магнитная широта равна нулю) расстояние до силовой линии равно r₀. Подставляя явный вид компонент магнитного поля диполя, получаем уравнение

которое после простых преобразований приводится к виду

Интегрируем его, используя начальное условие.

Экспоненцируя обе части выражения, получаем

Введем параметр L, который характеризует расстояние до силовой линии на экваторе, выразив его в радиусах Земли (параметр Мак-Илвайна).

Тогда уравнение для силовой линии точечного магнитного диполя принимает вид

Видео:Лекция №8 "Электричество и магнетизм" (Попов П.В.): Магнитный дипольСкачать

Понятие о магнитном диполь-дипольном взаимодействии

К магнитному диполю относят небольшую петлю с током. Слово «небольшая» означает, что размеры витка с током немного меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током может создавать магнитное поле, которое можно уподобить электрическому при помощи электрического диполя. Магнитный диполь обладает магнитным моментом p m → и электрическим моментом диполя p e → = q l → .

Выражение I S → = p m → ( 1 ) получило название момента магнитного диполя.

По формуле ( 1 ) видно, что величина по модулю равняется произведению силы тока, протекающего в контуре, на площадь, охваченную им. Магнитный момент и положительная нормаль к поверхности S имеют одинаковое направление. Значение векторного потенциала магнитного диполя по формуле определено как:

A → r → = μ 0 4 π p m → × r → r 3 ( 2 ) .

Магнитное поле, создающее магнитный диполь, запишется:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 — p m → r 3 ( 3 ) .

Если даны большие расстояния от диполя в любом направлении, то наблюдается пропорциональные r 3 убывание поля и рост площади витка.

Слово диполь в применении к токам запутывает, так как не имеет отдельных магнитных полюсов, соответствующих электрическим зарядам. Создание магнитного «дипольного» поля происходит за счет элементарной петли с током, а не при помощи двух зарядов.

Видео:Силовые линии электрического поляСкачать

Взаимодействие магнитных диполей

Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков ( 1 ) тока создает магнитное поле, описываемое формулой ( 3 ) , другой ( 2 ) , находясь в нем, взаимодействует с полем. Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то B → ≠ c o n s t . Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю. Элемент контура ( 2 ) подвергается силе d F → , перпендикулярной к вектору индукции поля, B → , создающего диполь ( 1 ) , то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка d l → . Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя 2 ) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.

При неизменной ориентации магнитного момента диполя ( 2 ) , постоянной по отношению к полю диполя ( 1 ) , легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей W p m от x (через B ) возможно по формуле:

F x = — ∂ W p m ∂ x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 4 ) , где B 1 является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем ( 1 ) , p m 2 – магнитным моментом диполя ( 2 ) , a – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:

F = F x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 5 ) .

Из выражения ( 5 ) видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор p m 2 → ↑ ↑ B 1 → ( a = 0 ) , тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания B 1 → (считается, что ∂ B 1 ∂ x > 0 ), кроме силы F .

При действии на контур с током вращательного момента M → :

M → = p m 2 → B 1 → ( 6 ) .

Модуль вектора М запишется как:

M = p m 2 B sin a ( 7 ) .

Видео:Теория поля_семинар-9(2). Силовые линии магнитного диполя.Скачать

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами p m i → , p m j → и располагаются в точках, определенных радиус-векторами r i → r j → . Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

W i j = — p m i → , B j → p m j → , r j → = — μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 — p m j → r 3 ( 8 ) .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

E → = 1 4 πε 0 ε 3 p e → · r → r → r 5 — p e → r 3 ( 1 . 1 ) , где p e → = q l → является электрическим моментом диполя.

По выражению ( 1 . 1 ) наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 — p m → r 3 ( 1 . 2 ) , p m → = I S → обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

W i j = — p m i → , B j → p m j → , r j → = — μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 — p m j → r 3 ( 2 . 1 ) .

Где p m i → , p m j → являются магнитными моментами диполей, r i → , r j → – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование ( 2 . 1 ) , тогда:

W i j = μ 0 4 π p m j p m i r i j 2 — 3 r i j p m j r i j p m i r i j 5 = μ 0 4 π p m j p m j cos υ i j — 3 cos υ j cos υ i r i j 3 ( 2 . 2 ) , с r i j = r i — r j , υ i j , являющимся углом между векторами p m i → , p m j → .

Из ( 2 . 2 ) понятно, что энергия W i j находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами p m j = p m i = p , с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:

Видео:Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??Скачать

ЛЕКЦИЯ №8

Видео:Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

1. Понятие о диполе.

Простейшей системой точечных зарядов является диполь (от лат. «двойной полюс»).

def: Диполем называются два равных по величине, но противоположных по знаку точечных заряда, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (см. рис.8.1).

def: Электрическим дипольным моментом называется величина, определяемая как (8.1)

Следует отметить, что дипольный момент не зависит от положения диполя в пространстве, так как вектор остается неизменным при любом выборе тела отсчета. Поэтому без ограничения общности в дальнейшем начало координат будем выбирать в центре диполя, если другое не оговорено особо.

Видео:НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

2. Поле диполя в дальней зоне.

Очевидно, что напряженность в произвольной точке пространства М (см. рис.8.2) по принципу суперпозиции равна

(8.2)

где , а . После подстановки имеем

(8.3)

Подробнее рассмотрим знаменатели, считая что l>>r и a — угол между и . При разложении в ряд пренебрегаем последним членом.

Аналогично поступаем со вторым знаменателем. При приведении к общему знаменателю в (8.3) ряд слагаемых в числителе взаимно уничтожаются, а в знаменателе пренебрегаем квадратичным членом. В итоге получаем

(8.5)

Окончательно, учитывая, что , имеем

(8.6)

Это напряженность электрического поля диполя в дальней зоне, т.е. в точках пространства, где r>>l.

Видео:3. Поле диполя Электростатика и магнитостатикаСкачать

3. Частные случаи.

Легко понять, что при выборе осей так, как показано на рис.8.3, проекции напряженности и ее модуль равны соответственно

Видно, что напряженность убывает по закону кубов (а не квадратов).

точка	угол	напряженность
A, C	a =0; a=p
B, D	a=p/2

В характерных точках, указанных на рисунке 5.3 выражения для напряженности даны в таблице.

Легко определить угол между напряженностью и радиус вектором (см. рис.8.4)

Используя тригонометрическую формулу , получаем

(8.14)

причем смысл имеет верхний знак.

Видео:Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

4. Диполь во внешнем однородном поле.

На диполь действует пара сил, сумма которых равна 0, то есть центр диполя остается на месте или движется равномерно и прямолинейно (вспомните механику!). Однако момент этой пары сил (рис.8.5) отличен от нуля

(8.15)

и стремится развернуть диполь по полю, причем после поворота диполь окажется в положении устойчивого равновесия. Диполь может быть приведен в равновесие и поворотом против часовой стрелки (см. рис.8.5), но в этом случае равновесие будет неустойчивым.

Видео:Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | ИнфоурокСкачать

5. Векторное произведение (математическое отступление).

Опыт показывает, что студентам время от времени нужно напоминать, что такое векторное произведение двух векторов.

def:Векторным произведением двух векторов и называется вектор, модуль которого равен absin a , где a — угол между векторами, а направление определяется правилом правого винта (буравчика).

Правило правого винта заключается в следующем: винт с правой (обычной) резьбой нужно вращать от первого вектора ко второму. Тогда поступательное движение винта покажет направление векторного произведения. Полезно запомнить, что векторное произведение всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами – сомножителями. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Направление векторного произведения зависит от порядка сомножителей.

Видео:Электродинамика | "магнитный диполь"Скачать

6. Диполь во внешнем неоднородном поле.

Пусть теперь поле неоднородно в пространстве.

Если считать, что в области диполя поле меняется очень слабо, то формула для момента остается прежней (см.8.15), и диполь также стремится развернуться по полю (рис.8.6).

Не строго получим выражение для силы, действующей на диполь.

(8.17)

Опять будем считать, что диполь очень маленький (точечный), то есть заряды смещены друг относительно друга на бесконечно малый вектор . Это означает, что значения напряженности поля в точках нахождения зарядов бесконечно мало отличаются друг от друга, поэтому , где можно записать как полный дифференциал

где — уже упоминавшийся ранее (см. лек.№7 п.16) набла-оператор (оператор Гамильтона). Обратите внимание на расстановку знаков. На вектор напряженности действует весь оператор, стоящий в скобках , а не только оператор , хотя бы потому, что никто не знает, что такое градиент векторного поля (математики такой операции еще не определили).

Таким образом, (8.17) принимает вид

(8.19)

Еще немного поиграем с формулами векторного анализа. Нам известно (а вам?!), что

(8.20)

Второе и четвертое слагаемые равны нулю, т.к. дипольный момент не зависит от координат, как это отмечалось в пункте 1. Третье слагаемое в электростатике также обращается в нуль по теореме о циркуляции (6.15). Тогда силу, действующую на диполь можно записать в виде

(8.21)

Вспомним, что в механике между силой и потенциальной энергией W_p есть связь . Тогда очевидно, что в электростатическом поле диполь обладает потенциальной энергией

(8.20)

Очевидно, что потенциальная энергия минимальна, если дипольный момент и поле сонаправлены, то есть, диполь развернут по полю.

Из (8.19) или (8.21) ясно, что диполь втягивается в область более сильного поля. Проиллюстрируем данный вывод на следующих примерах.

Пусть диполь уже развернулся вдоль поля (см. рис.8.7), то есть . Тогда

,

F_x

Другой пример: диполь симметрично расположен относительно поля (рис.8.8), . Поле тоже считаем симметричным относительно оси OY. Тогда

и

из симметрии поля,

а так как .

· Диполь разворачивается вдоль поля;

· Диполь втягивается в область более сильного поля;

· Электрическое поле может растянуть диполь. (Мы рассматривали только жесткий диполь).

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

7. Общий вид поля диполя.

Легко показать, что в полярных координатах уравнение силовой линии имеет вид (рис.8.9)

Здесь первую полярную координату r обозначим r, чтобы не путать с плотностью заряда, а вторую полярную координату обозначим a , чтобы не путать с потенциалом.

В самом деле, если речь идет о декартовых координатах, то уравнение линии напряженности строится из следующих соображений

Аналогично поступаем и в полярных координатах

Используя формулу (8.14), получаем

.

После чего переменные легко разделяются

.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется достаточно просто

Из него и следует формула (8.26).

Вид поля диполя в дальней зоне представлен на рис.8.10.

Видео:Демонстрация: Силовые линии и эквипотенциальные поверхностиСкачать

8. Потенциал поля диполя.

Поступим аналогично пункту 2.

после разложения знаменателей в ряд и приведения подобных слагаемых получаем

(8.34)

Очевидно, уравнение эквипотенциальной поверхности в полярных координатах имеет вид

Картина эквипотенциальных линий приведена на рис.8.11. Полезно сравнить с силовыми линиями диполя (рис.8.10). Легко написать

откуда вновь можно получить (8.26).

Видео:Физика - Магнитное полеСкачать

9. Дипольный момент системы точечных зарядов.

Квазинейтральная система точечных зарядов занимающая небольшой объем ведет себя как точечный диполь. Действительно, можно разделить все заряды системы попарно, т.е. получить систему диполей, а затем все дипольные моменты перенести в одну точку и сложить. Необходимо только, чтобы размеры системы были достаточно малы. Без аккуратного доказательства примем, что дипольный момент системы зарядов

Очевидно, что дипольный момент заряженного тела вычисляется по формуле

Простой пример: два заряда (рис.8.12)

,

то есть получили результат, известный ранее (8.1).

Система состоящая из двух зарядов — диполь — мультиполь первого порядка, из четырех — квадруполь — мультиполь второго порядка, из восьми — октуполь — третьего порядка и т.д. Тогда поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить в виде разложения по мультиполям.

Видео:Урок 270. Магнитное поле и его характеристикиСкачать

10. Почему так подробно о диполе.

Столь большое внимание, которое было уделено понятию и свойствам электрического диполя, связано с тем, диполь является простейшей моделью полярных молекул, которые мы будем рассматривать при изучении поля в веществе. Необходимо отметить, что дипольный электрический момент является основной характеристикой электрически нейтральных систем зарядов, и поэтому играет большую роль в различных вопросах теории молекул. Если же в системе столь симметричное расположение зарядов, что и дипольный момент равен нулю, то в дело вступает квадрупольный момент и так далее.

Кроме того, электрический диполь – это одно из важных понятий в теории излучения электромагнитных волн. Переменный во времени электрический диполь является наиболее простой (и исторически первой) моделью излучающей системы, с которой подробнее познакомимся в лекции №35.

🔥 Видео

Лекция 3-1 Электрический дипольСкачать

4. Диполь во внешнем поле Электростатика и магнитостатикаСкачать

Лекция 14 Постоянное магнитное полеСкачать

Силовые линии и эквипотенциальные поверхностиСкачать

ЧК_МИФ 3_2_3_3_(ЭД) МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯСкачать

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности средСкачать