Уравнение сил действующих на тело на наклонной плоскости

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых. Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y: N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T — сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей.

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле , ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска?

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM:

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время.

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с² и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное — понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами.

Видео:Урок 87. Движение по наклонной плоскости (ч.1)Скачать

Физика: движение тела по наклонной плоскости. Примеры решения и задачи

Динамика является одним из важных разделов физики, который изучает причины движения тел в пространстве. В данной статье рассмотрим с точки зрения теории одну из типичных задач динамики — движение тела по наклонной плоскости, а также приведем примеры решений некоторых практических проблем.

Видео:ДВИЖЕНИЕ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ | механика 10 классСкачать

Основная формула динамики

Прежде чем переходить к изучению физики движения тела по плоскости наклонной, приведем необходимые теоретические сведения для решения этой задачи.

В XVII Исаак Ньютон благодаря практическим наблюдениям за движением макроскопических окружающих тел вывел три закона, носящих в настоящее время его фамилию. На этих законах зиждется вся классическая механика. Нас интересует в данной статье лишь второй закон. Его математический вид приведен ниже:

Вам будет интересно: Эйлера теорема. Теорема Эйлера для простых многогранников

Формула говорит о том, что действие внешней силы F¯ придаст ускорение a¯ телу массой m. Это простое выражение будем далее использовать для решения задач движения тела по плоскости наклонной.

Отметим, что сила и ускорение — это величины векторные, направленные в одну и ту же сторону. Кроме того, сила — это аддитивная характеристика, то есть в приведенной формуле F¯ можно рассматривать как результирующее воздействие на тело.

Видео:Наклонная плоскость. Расстановка сил | 50 уроков физики (6/50)Скачать

Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней

Вам будет интересно: Афанасьевская культура: локализация, датировка, носители

Ключевым моментом, от которого зависит успех решения задач движения тела по плоскости наклонной, является определение действующих на тело сил. Под определением сил понимают знание их модулей и направлений действия.

Ниже дан рисунок, где показано, что тело (автомобиль) находится в покое на наклоненной под углом к горизонту плоскости. Какие силы на него действуют?

Список ниже перечисляет эти силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения;
• натяжения нити (если присутствует).

Далее опишем подробнее каждую из них применительно к рассматриваемой задаче.

Видео:9 класс, 23 урок, Движение тел по наклонной плоскостиСкачать

Сила тяжести

Вам будет интересно: Антрополог Станислав Владимирович Дробышевский: биография и научная деятельность

В первую очередь это сила тяжести (Fg). Она направлена вертикально вниз. Поскольку тело имеет возможность двигаться только вдоль поверхности плоскости, то при решении задач силу тяжести разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Одна из составляющих направлена вдоль плоскости, другая — перпендикулярна ей. Только первая из них приводит к появлению у тела ускорения и, по сути, является единственным движущим фактором для рассматриваемого тела. Вторая составляющая обуславливает возникновение силы реакции опоры.

Видео:Динамика тела на наклонной плоскости | Физика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Реакция опоры

Второй действующей на тело силой является реакция опоры (N). Причина ее появления связана с третьим законом Ньютона. Величина N показывает, с какой силой плоскость воздействует на тело. Она направлена вверх перпендикулярно плоскости наклонной. Если бы тело находилось на горизонтальной поверхности, то N равнялась бы его весу. В рассматриваемом же случае N равна лишь второй составляющей, полученной при разложении силы тяжести (см. абзац выше).

Реакция опоры не оказывает прямого воздействия на характер движения тела, поскольку она перпендикулярна плоскости наклона. Тем не менее она обуславливает появление трения между телом и поверхностью плоскости.

Видео:ЗАДАЧИ НА НАКЛОННУЮ ПЛОСКОСТЬ - не ГРОБ! КАК ТАКИЕ РЕШАТЬ?Скачать

Сила трения

Третьей силой, которую следует учитывать при исследовании движения тела по наклонной плоскости, является трение (Ff). Физическая природа трения является непростой. Ее появление связано с микроскопическими взаимодействиями соприкасающихся тел, имеющих неоднородные поверхности контакта. Выделяют три вида этой силы:

Трение покоя и скольжения описываются одной и той же формулой:

где µ — это безразмерный коэффициент, значение которого определяется материалами трущихся тел. Так, при трении скольжения дерева о дерево µ = 0,4, а льда о лед — 0,03. Коэффициент для трения покоя всегда больше такового для скольжения.

Трение качения описывается по отличной от предыдущей формуле. Она имеет вид:

Здесь r — радиус колеса, f — коэффициент, имеющий размерность обратной длины. Эта сила трения, как правило, намного меньше предыдущих. Заметим, что на ее значение влияет радиус колеса.

Сила Ff, какого бы типа она ни была, всегда направлена против движения тела, то есть Ff стремится остановить тело.

Видео:Движение тела по наклонной плоскостиСкачать

Натяжение нити

При решении задач движения тела по наклонной плоскости эта сила не всегда присутствует. Ее появление определяется тем, что находящееся на наклонной плоскости тело связано с помощью нерастяжимой нити с другим телом. Часто второе тело свисает на нити через блок за пределами плоскости.

На находящийся на плоскости предмет, сила натяжение нити воздействует либо ускоряя его, либо замедляя. Все зависит от модулей сил, действующих в физической системе.

Появление этой силы в задаче значительно усложняет процесс решения, поскольку приходится рассматривать одновременно движение двух тел (на плоскости и свисающего).

Далее приведем пример решения двух задач без участия силы натяжения нити.

Видео:Сложение сил, действующих на тело вдоль одной прямой. 7 класс.Скачать

Задача на определение критического угла

Теперь пришло время применить описанную теорию для решения реальных задач движения по наклонной плоскости тела.

Предположим, что брус из дерева имеет массу 2 кг. Он находится на деревянной плоскости. Следует определить, при каком критическом угле наклона плоскости брус начнет по ней скользить.

Скольжение бруса наступит только тогда, когда суммарная действующая вниз вдоль плоскости сила на него окажется больше нуля. Таким образом, чтобы решить эту задачу, достаточно определить результирующую силу и найти угол, при котором она станет больше нуля. Согласно условию задачи на брус будут вдоль плоскости оказывать действие только две силы:

• составляющая силы тяжести Fg1;
• трение покоя Ff.

Чтобы началось скольжение тела, должно выполняться условие:

Отметим, что если составляющая силы тяжести превысит трение покоя, то она также будет больше силы трения скольжения, то есть начавшееся движение будет продолжаться с постоянным ускорением.

Рисунок ниже показывает направления всех действующих сил.

Обозначим критический угол символом θ. Несложно показать, что силы Fg1 и Ff будут равны:

Fg1 = m × g × sin(θ);

Ff = µ × m × g × cos(θ).

Здесь m × g — это вес тела, µ — коэффициент силы трения покоя для пары материалов дерево-дерево. Из соответствующей таблицы коэффициентов можно найти, что он равен 0,7.

Подставляем найденные величины в неравенство, получаем:

m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).

Преобразуя это равенство, приходим к условию движения тела:

Мы получили весьма интересный результат. Оказывается, значение критического угла θ не зависит от массы тела на наклонной плоскости, а однозначно определяется коэффициентом трения покоя µ. Подставляя его значение в неравенство, получим величину критического угла:

θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35o.

Видео:Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Задача на определение ускорения при движении по наклонной плоскости тела

Теперь решим несколько иную задачу. Пусть на стеклянной наклонной плоскости находится брус из дерева. Плоскость к горизонту наклонена под углом 45o. Следует определить, с каким ускорением будет двигаться тело, если его масса равна 1 кг.

Запишем главное уравнение динамики для этого случая. Поскольку сила Fg1 будет направлена вдоль движения, а Ff против него, то уравнение примет вид:

Подставляем полученные в предыдущей задаче формулы для сил Fg1 и Ff, имеем:

m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.

Откуда получаем формулу для ускорения:

a = g × (sin(θ) — µ × cos(θ)).

Снова мы получили формулу, в которой нет массы тела. Этот факт означает, что бруски любой массы будут соскальзывать за одно и то же время по наклонной плоскости.

Учитывая, что коэффициент µ для трущихся материалов дерево-стекло равен 0,2, подставим все параметры в равенство, получим ответ:

Таким образом, методика решения задач с наклонной плоскостью заключается в определении результирующей силы, действующей на тело, и в последующем применении второго закона Ньютона.

Видео:ФИЗИКА, ЕГЭ: Динамика тел на наклонной плоскости. Проецировние силСкачать

Описание сил, удерживающих тело на наклонной плоскости

Видео:Урок 39 (осн). Сила трения. Коэффициент тренияСкачать

Сила трения покоя

На тело, лежащее на наклонной плоскости действуют сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. Но если бы на него действовали только две эти силы, то тело обязательно соскальзывало бы вниз. Существует сила, которая мешает лежащему на наклонной поверхности телу двигаться, ее называют силой трения.

Когда тело находится в покое на наклонной плоскости, оно удерживается силой трения. Если тело, лежащее на горизонтальной поверхности, пытаться сдвинуть, то сила трения создаст сопротивление этому движению.

Сила трения покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая относительному движению.

Сила трения покоя возникает при попытке вывести тело из состояния покоя, и приложена к этому телу. Направление силы трения покоя — против того движения, которое должно было бы возникнуть (вдоль поверхности соприкосновения).

Сила трения покоя всегда по модулю равна приложенной внешней силе и увеличивается по мере увеличения этой силы.

где F т р — сила трения покоя,

F — приложенная внешняя сила.

На рисунке ниже изображено направление и место приложения силы трения покоя.

Причины возникновения силы трения

Возникновение силы трения связано с двумя причинами.

1. Неровная поверхность соприкасающихся тел. Даже ровные на вид поверхности имеют шероховатости, которыми они цепляются друг за друга, что создает силу, препятствующую движению.
2. Если поверхности тел идеально гладкие и имеют минимум неровностей, то контакт между такими поверхностями очень тесный. При соприкосновении часть молекул располагается настолько близко друг от друга, что становится заметным притяжение между молекулами соприкасающихся тел.

Видео:№ 2.15 Тело на наклонной плоскости│Задача по Динамике с нуляСкачать

Предельная сила трения покоя

Существует предельная или максимальная величина силы трения покоя, равная величине силы, необходимой, чтобы вывести тело из состояния покоя. Если приложить к телу силу меньше предельной силы трения покоя, то тело не сдвинется. Если приложить силу больше предельной силы трения покоя, то тело придет в движение.

Величина модуля максимальной силы трения покоя прямо пропорциональна модулю силы нормальной реакции опоры. Максимальная сила трения покоя зависит от массы покоящегося тела и характеристик соприкасающихся поверхностей, и не зависит от площади соприкосновения тел.

F т р . м а к с = μ N

где F т р . м а к с — максимальная сила трения покоя,

N — сила нормальной реакции опоры (для покоящегося на горизонтальной поверхности тела равна силе тяжести, действующей на тело, или силе давления тела на плоскость, N = Р = m т е л а g ) ,

μ — коэффициент пропорциональности или коэффициент трения.

Коэффициент трения покоя μ характеризует две соприкасающиеся поверхности и зависит от материалов, из которых они изготовлены, и качества обработки поверхности. 0 Определение 2

Сила трения скольжения — сила, возникающая между контактирующими телами, движущимися относительно друг друга.

При равномерном скольжении сила трения скольжения лишь немного меньше предельной силы трения покоя. Приближенно можно считать, что они равны. Также при равномерном прямолинейном скольжении по горизонтальной поверхности модуль силы трения скольжения равен модулю силы, своим действием вызывающей движение тела.

F т р . с к = F т р . м а к с

F т р . с к = F т я г и

где F т р . с к — сила трения скольжения,

F т р . м а к с — предельная сила трения покоя,

F т я г и — сила, своим действием вызывающая движение тела.

При скольжении на каждое из соприкасающихся тел действует своя сила трения. Сила трения скольжения параллельна плоскости соприкосновения тел и направлена противоположно скорости относительного движения тела.

Видео:Наклонная плоскостьСкачать

Сила трения на наклонной плоскости

Для силы трения на наклонной плоскости также справедлива формула F т р = μ N .

На тело, находящееся на наклонной плоскости или самопроизвольно скользящее по ней, действуют три силы: сила тяжести G, равная mg, нормальная сила реакции опоры N и сила трения F т р .

Уравнение движения тела, находящегося на наклонной плоскости

m a → = m g → + N → + F т р →

Сложив силы m g → и N → получим равнодействующую силу F → , стремящуюся привести тело в движение и направленную вниз, вдоль наклонной плоскости, F → = m g → + N → . При этом F=mg·sinα, а N = m g · cos α , где α — угол наклона плоскости. Следовательно,

F т р = μ N = μ m g · cos α

Уравнение движения принимает следующий вид:

Тогда силу трения можно найти по формуле:

F т р = m g · s i n α — m a .

Кроме того на тело может действовать F в н — приложенная внешняя сила.

В этом случае F — равнодействующая силы тяжести, силы нормальной реакции опоры и приложенной силы F → = m g → + N → + F в н → . Тогда

F т р = m g · s i n α + F в н — m a , если направления движения и приложенной силы совпадают.

F т р = m g · s i n α — F в н -ma, если направления движения и приложенной силы противоположны.

Видео:Нахождение проекции силы тяжести для тела на наклонной плоскости. ЕГЭ 2023 по Физике на Изи.Скачать

Сила трения на графике

На графике ось абсцисс — приложенная сила, ось ординат — сила трения. На первом этапе с увеличением приложенной силы растет сила трения покоя, в этот период тело еще не движется. Точка максимума — предельное значение силы трения покоя, за которой наступает скольжение.

Если и дальше увеличивать приложенную силу, то на тело будет действовать уже не сила трения покоя, а сила трения скольжения, при этом она будет иметь постоянное значение (горизонталь на графике).

Видео:Урок 88. Движение по наклонной плоскости (ч.2)Скачать

Задачи на силы трения покоя и скольжения с решениями

Дано: деревянный брусок покоится на наклонной плоскости, расположенной под углом 20 ° , величина силы трения покоя — 0 , 68 Н .

Найти: величину силы тяжести, действующей на брусок.

Решение:

Так как брусок покоится, сумма всех действующих на него сил равна нулю: m g · s i n α — F т р = 0 . Откуда m g = F т р s i n α . s i n 20 ° ≈ 0 , 34 .

m g = F т р s i n 20 ° = 0 , 68 Н 0 , 34 = 2 Н .

Ответ: на брусок действует сила тяжести 2 Н .

Дано: брусок медленно и равномерно движется по горизонтальной поверхности и при этом давит на поверхность с силой, равной 30 Н , сила трения равна 6 Н .

Найти: коэффициент трения скольжения.

Решение:

Выразим коэффициент трения из формулы F т р = μ P и подставим известные величины:

μ = F т р Р = 6 Н 30 Н = 0 , 2 .

Ответ: коэффициент трения скольжения равен 0 , 2 .

Дано: на верстаке лежат металлическая четырехкилограммовая шайба и пластиковый предмет с весом 2 к г . Чтобы подвинуть шайбу, нужно приложить силу 20 Н . Коэффициент трения между предметом из пластика и верстаком в два раза меньше, чем коэффициент трения между шайбой и верстаком.

Найти: максимальные силы трения покоя для шайбы и пластикового предмета.

Решение:

1. Максимальная сила трения покоя для шайбы равна силе, которую нужно приложить, чтобы сдвинуть шайбу с места. F m a x 1 = 20 Н .
2. Сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя, поэтому сила трения скольжения для шайбы F с к о л ь ж 1 = F m a x 1 = 20 Н .
3. Из формулы F т р е н и я = μ · m · g выразим коэффициент μ . μ = F т р е н и я m · g .
4. Коэффициент трения для шайбы μ 1 = F с к о л ь ж 1 m 1 · g .
5. Коэффициент трения для пластикового предмета μ 2 = F с к о л ь ж 2 m 2 · g .
6. μ 2 = ½ μ 1 , следовательно, F с к о л ь ж 2 m 2 · g = F с к о л ь ж 1 m 1 · g · 1 2 .
7. 2 F с к о л ь ж 2 m 2 · g = F с к о л ь ж 1 m 1 · g .
8. 2 F с к о л ь ж 2 m 2 = F с к о л ь ж 1 m 1 .
9. 2 F с к о л ь ж 2 = F с к о л ь ж 1 · m 2 m 1 .
10. F с к о л ь ж 2 = F с к о л ь ж 1 · m 2 2 m 1 = 20 · 2 2 · 4 = 5 ( Н ) .

Ответ: максимальная сила трения покоя для шайбы 20 Н , для пластикового предмета — 5 Н .

🌟 Видео

Урок 101. Скатывание тела с наклонной плоскостиСкачать

Скатывание тела (колеса, цилиндра) по наклонной плоскостиСкачать

Наклонная плоскость ЕГЭ по физикеСкачать

Популярная задача ЕГЭ по физике │тележка на наклонной плоскости - ДинамикаСкачать

Определение КПД наклонной плоскостиСкачать