Уравнение шредингера и методы его решения

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Видео:Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Уравнение шредингера и методы его решения

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Видео:Лекции 5-6. Уравнение Шредингера и его приближенные решения. Межатомные.Скачать

Гидродинамика Шрёдингера на пальцах

В этой статье в качестве эксперимента я постараюсь максимально доступно рассказать, как работает новый метод расчёта гидродинамики, основанный на решении уравнения Шрёдингера.

Всем привет. В этой статье я хотел бы рассказать о новом методе расчёта гидродинамики, основанном на решении уравнения Шрёдингера вместо уравнений, типично используемых для гидродинамики вроде Навье-Стокса. Сам метод очень подробно и полно раскрыт в диссертации Albert Chern’а, названной «Fluid Dynamics with Incompressible Schrödinger Flow». Однако, статья Chern’а кому-то может показаться написанной на не самом доступном языке, поэтому своей статьёй я бы хотел в первую очередь если не объяснить в деталях, как работает этот метод, то хотя бы объяснить, какими интересными свойствами он обладает, и что же именно скрывается за его математикой. Попутно я кратко расскажу о том, как устроены классические методы расчёта гидродинаимики и как новый подход от них отличается. В качестве эксперимента я бы хотел попробовать написать статью так, чтобы каждый, кто отдалённо интересуется программированием физики, нашёл в ней что-то интересное, понятное, и новое для себя — от начинающего программиста до бывалых расчётчиков.

Видео:Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

Вступление

Почему это важно? В первую очередь потому, что это обозначает глубинное родство квантовомеханических и гидродинамических систем. В диссертации того паренька больше сотни страниц уделено тому, как это вообще так получилось. С участием явления сверхтекучести, которая является загадочным связующим звеном, так как проявляет очевидные свойства идеальной жидкости, являющиеся исключительно следствием квантовой механики. Я же в этой статье далее я рассмотрю только некоторые из параллелей, которые из этого, простите, вытекают.

Следующее очень важное следствие эквивалентности уравнения Шрёдингера и Навье-Стокса — это что решение одного из них эквивалентно решению другого. Так вот уравнение Навье-Стокса — нелиненое, его очень неудобно и неэффективно в общем случае решать, в то время как уравнение Шрёдингера — линеное и его решать гораздо проще. Чтобы составить представление, насколько же неудобным по сей день считается уравнение Навье-Стокса, могу сообщить, что существует целый международный фонд грантов для исследователей, которым хоть какую-то базу под них подстроит, так как(цитата):

Even basic properties of the solutions to Navier–Stokes have never been proven.

Уравнение Шрёдингера же, хоть и описывает мутную квантовую физику, поддаётся решению гораздо легче и эффективнее. Короче, я могу очень долго гудеть про то, как это невероятно и офигенно, но давайте уже перейдём к чему-то более конкретному.

Видео:Шрёдингер и его уравнение — Дэвид Клэри / ПостНаукаСкачать

Решение классической гидродинамики на пальцах

Что вообще такое — уравнение гидродинамики? Что такое уравнение Навье-Стокса и как его понять? С ответом на этот вопрос гораздо лучше меня справились миллионы авторов статей по этому делу, например, классическая статья от нвидии, по которой многие начинали: https://developer.download.nvidia.com/books/HTML/gpugems/gpugems_ch38.html Однако, я попробую написать очень сжато и на пальцах, что это всё значит и что с этим обычно делают.
Уравнение Навье-Стокса описывает закон, которому обязана подчиняться скорость каждой точки пространства, заполненного равномерной несжимаемой жидкостью. Представьте себе, например, бассейн с водой, в котором выделили некоторый куб, достаточно далеко от стенок, поверхности и дна, в котором нет ничего кроме воды. Вода в нём может как угодно течь, но не может ни образовывать пузырей, ни с чем-то сталкиваться (мы для простоты опустим эти эффекты). Тогда само уравнение Навье-Стокса описывает закон, которому будет подчиняться скорость каждой точки воды в этом кубе:

(frac=-(vec u cdot vec nabla)vec u-fracvec nabla p + nu ^2 vec u + vec F)
(vec nabla vec u = 0)

прежде чем вообще смотреть на это уравнение, предлагаю сразу из него выбросить ненужное — то, что нам всё равно не пригодится для понимания и только место занимает. Это член, отвечающий за диффузию (nu ^2 vec u) (у идеальной жидкости один фиг диффузии нет), и за внешнюю силу (vec F) (так как мы обойдёмся без неё). Остаётся система:
(frac=-(vec u cdot vec nabla)vec u-fracvec nabla p)
(vec nabla vec u = 0)
Здесь перевёрнутый треугольник называется оператором Набла, который обозначает дифференцирование. Причём смысл этого оператора меняется в зависимости от того, где именно он стоит (например, перед вектором или скаляром). Я постараюсь объяснить смысл каждого его вхождения по порядку. На пальцах смысл всей формулы в следующем. (vec u(vec x)) — это значение скорости жидкости, которое определяется в каждой точке пространства (vec x) . Уравнение описывает закономерности, которым обязана подчиняться эта величина, если она описывает поведение несжимаемой жидкости. Работает хоть для двумерного, хоть для трёхмерного случая. В левой части первого уравнения стоит (frac) — это величина называется производной по времени и показывает, как быстро и куда(это вектор) изменится скорость в точке (vec x) в момент времени (t) .

Нулевой вектор производной по времени обозначает, что скорость в этой точке сейчас не меняется, а, например, вектор (10, 0)[м/c 2 ] обозначает, что за следующую секунду скорость вырастет на 10[м/с] по оси x(если сама производная не поменяется).

Слагаемое вида (-(vec v cdot vec nabla)vec u) называется адвекцией и говорит, что поле скоростей (vec u) в этой точке утекает в направлении (vec v) . В нашем же случае (vec u = vec v) , то есть поле скоростей сносит само себя. Это, кстати, и называется нелинейностью и из-за этого возникает миллион проблем при решении этого уравнения.

В принципе, смысл этого члена достаточно интуитивно можно представить именно как утекание каждой точки воды по вектору её скорости. Однако, в общем случае производная векторного поля (vec u) по направлению (vec v) обозначается как ((vec v cdot vec nabla)vec u) и обозначает, как меняется функция (vec u) в направлении (vec v) для этой точки.

Слагаемое же (-fracvec nabla p) является ускорением, которое получает жидкость в точке из-за градиента давления.

Оператор (vec nabla) , действующий на скалярное поле(например, давление), называется градиентом. Если слева от некоторой точки давление больше, чем справа, то градиент в ней будет направлен вправо и будет увлекать за собой жидкость в этом направлении. Например, ветер всегда дует в направлении, обратном градиенту давления воздуха (отсюда и минус). Электрический ток течёт в направлении градиента электрического потенциала:
(E=vec nabla phi)

Второе уравнение (vec nabla vec u = 0) называется уравнение непрерывности, а оператор (vec nabla) здесь действует на вектор и называется дивергенцией.

Оператор дифференцирования, действующий на вектор, называется дивергенцией. Дивергенция, равная нулю, говорит, что для каждого маленького кубика сколько в него жидкости втекает, столько и вытекает. А так как любой объём можно разбить на маленькие кубики, то свойство будет справедливо и для объёма любой формы. Это свойство называют также условием несжимаемости, так как если бы в какой-то объём втекало больше жидкости, чем вытекало, это бы означало, что жидкость в объёме накапливается, сжимаясь. Другой случай применения дивергенции, который может помочь её представить — это теорема Гаусса:
(vec nabla E=rho)
Эта теорема говорит, что напряжённость электрического поля, которая «вытекает» из некоторого объёма, всегда вызвана электрическим зарядом плотности (rho) внутри этого объёма. Если в объёме заряда нет, то и дивергенция нулевая.

То есть, одним предложением уравнение Навье-Стокса можно описать так: темп изменения скорости определяется течением и градиентом давления, но жидкость при этом не может сжиматься.

Видео:Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший выводСкачать

Классическое решения уравнения Навье-Стокса

Посмотрим теперь, как это уравнение можно программно решить. Для этого можно использовать подход, который называется расщеплением — разбить сложный физический процесс, состоящий из нескольких элементарных, на отдельные чередующиеся стадии и считать, что на каждой стадии работает только один элементарный процесс, а остальные выключены. Как ни странно, можно доказать (см. статью выше), что это — на самом деле математически обоснованная стратегия. Поэтому будем считать, что состояние скоростей для каждой точки в текущий момент времени (vec u(vec x, t)) нам известно. А для расчёта состояния в следующий момент времени (t+dt) , разобьём сложный процесс гидродинамической эволюции на простые стадии:
1) снесём поле скоростей по течению. это может немного «сжать» жидкость.
2) найдём такое давление, чтобы жидкость «расжалась».
Первый шаг называется адвекцией, второй — проекцией.

Видео:Уравнение ШрёдингераСкачать

Адвекция

Адвекция, или течение, можно приближённо посчитать достаточно легко — если известно, что в точке (vec x) , в момент времени (t) скорость равна (vec u(vec x, t)) , то в момент времени (t+dt) скорость в неё притечёт жидкость из точки (vec x — vec u(x, t)cdot dt) .
(vec u^*(vec x, t+dt)=vec u(vec x — vec u(vec x, t), t))
То есть мы получили промежуточное значение скорости, котороже уже утекло по течению, но теперь в нём нарушено условие непрерывности.

Это особенно удобно программируется на GPU, так как это можно посчитать, если хранить скорость в текстуре и её обновлять, просто читая тексели со смещением (- vec u(x, t)cdot dt) и используя стандартную аппаратную линейную интерполяцию.

Видео:Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.Скачать

Проекция

Проекция берёт скорость, для которой нарушено условие непрерывности (vec u^*) и ищет такое давление, которое её «выправит» до нормальной скорости (vec u) . Умные мужики доказали, что такое поле можно найти единственным образом и оно всегда будет градиентом некоторого скалярного поля (давления, в нашем случае):
(vec u(vec x, t+dt)=vec u^*(vec x, t+dt) + vec nabla p)
Помножим обе стороны этого равенства на оператор дифференцирования:
(vec nabla vec u(vec x, t+dt)=vec nabla vec u^*(vec x, t+dt) + vec nabla^2 p)
«ПОГОДИ-КА СУСЕЛ, ЭТО ЕЩЁ ЧТО» — можете меня спросить вы. Всё по порядку, но на самом деле отсюда для общего понимания достаточно знать, что если (vec u^*(vec x)) известно(а оно известно), то отсюда можно найти давление (p(vec x)) . Если вспомнить, что в нашем случае дивергенция скорости равна нулю, то остаётся вот такое выражение.
(vec nabla^2 p=-vec nabla u^*)

В правой части этого равенства стоит дивергенция скорости, которую можно легко приблизительно посчитать, если известна скорость (vec u^*) (а она известна). В левой части стоит штука, которая называется лапласианом давления.

Лапласиан — это оператор дифференцирования (ещё называется оператор набла) в квадрате, то есть применённый дважды к скалярному полю. Первый раз применяем оператор дифференцирования — получаем градиент. Второй раз — получаем дивергенцию. Таким образом оператор лапласа — это дивергенция градиента скалярного поля. Его можно представить как изменение потока скорости через маленький кубик, которое будет вызвано давлением в точке. Ещё одна аналогия — как поменяется дивергенция электрического поля в объёмчике, если в него положить заряд плотностью (rho) (опять же, теорема Гаусса):
(vec nabla vec E = rho) , (vec nabla phi=vec E) => (vec nabla^2 vec phi = rho)

Уравнение вида «лапласиан чего-то неизвестного равен чему-то известному» называется уравнением Пуассона. Что бы это ни значило, существует стандартный итеративный алгоритм, который позволяет его решить, то есть найти такое давление, чтобы его лапласиан был равен чему угодно. «Что угодно» мы знаем — это дивергенция промежуточной скорости, поэтому считаем по ней давление. Далее для давления считаем градиент и вычитаем результат из промежуточной скорости, чтобы получить окончательную скорость для следующего шага по времени:
(vec u=vec u^* + vec nabla p)

Шаги адвекции и проекции повторяем до посинения, рассчитывая всё дальше и дальше эволюцию поля течений по времени. Для визуализации можно, например, напускать частиц, которые могу сноситься этим полем скоростей. Результат выглядит так:

Важно понять, что в этом видосе, равно как и во всех остальных гифках этой статьи, жидкость на самом деле находится в большом кубе (границы которого не показаны), а не только там, где видны частицы. Частицы только уносятся полем скоростей, как, например, частицы дыма уносятся полем скоростей воздухе. Сами частицы никакой роли в физике процесса не играют и только позволяют относительно наглядно его продемонстрировать. Частицы обычно добавляются заранее туда, где ожидаются какие-то интересные турбулентности.

Видео:Сущёв И. - Квантовая теория. Ч.2 - 1. Численные методы решения уравнения ШрёдингераСкачать

Важные особенности классического подхода

«Всё здорово, сусел, но в названии статьи ты написал что-то там про Шрёдингера! Он вообще где? Зачем нам это всё?» — спросите вы. Вопрос резонный. Но всю крутость подхода со Шрёдингером можно осознать, только если иметь представление о слабых сторонах классического солвера, который мы рассмотрели в предыдущей главе. В чём же они заключаются? Давайте об этом поговорим.

Основа любого расчётного метода — это то, как в нём представлены моделируемые данные. В рассмотренном нами подходе мы храним значение скорости для каждой точки. Например, в текселях двумерной или трёхмерной текстуры. Этот способ здорово работает, если требуется описать ровное поле течений, в котором нет особенностей (так называются завихрения и разные другие неоднородности). Неоднородностей обычно нет в вязких жидкостях вроде мёда или майонеза, поэтому метод очень здорово подходит, чтобы моделировать майонез. Но более текучие среды (например, вода, воздух и дым) отличаются тем, что в них существенную роль играют злополучные турбулентные течения — мелкие завихрения, имеющие очень сложную и нерегулярную структуру, даже образующие фракталы, которые очень неудобно описывать просто их значениями в каждой точке текстуры/массива. Если попытаться их моделировать, то все мелкие особенности быстро смазываются и расплываются, что соответствует поведению вязкой жидкости. Такое поведение называется численной вязкостью — это вязкость жидкости, которая появляется не потому что она является частью уравнения, которое мы решаем, а это паразитная вязкость, всплывающая как паразитное следствие нашего метода решения. Более того, напомню, что первое, что мы сделали, не успев взглянуть на уравнение Навье-Стокса — выкинули из него вязкость, так в ней недостатка точно не будет.

А вот избавиться от вязкости гораздо труднее, чем случайно её посчитать. Один из способов — это измельчать расчётную сетку. Чтобы таким методом получить что-то хоть как-то похожее на дым, понадобится сетка минимум 1024x1024x1024, то есть как минимум гигабайт памяти, если хранить по 1 байту на узел. А хранить захочется как минимум трёхкомпонентную скорость, то есть, скорее всего, 32 гигабайта в сумме. Это не только не разумно с точки зрения затрат памяти, это ещё и очень медленно. Другой способ — это представлять скорость не её направлением в каждой точке, а как сумму маленьких элементарных вихрей. Этот метод называется также методом дискретных вихрей. В нём вообще всё не так просто с процессами порождения новых вихрей и удаления старых, с поддержанием нужной плотности (так как вихри друг друга уносят, как частицы) и ещё миллион проблем, можете сами почитать, если интересно. Другой подход основан на том, что в реальных течениях вихри имеют свойство образовывать вращающиеся нити. Представьте медленно движущийся жгут, вокруг которого быстро вращается жидкость. Если такой жгут замыкается в кольцо, получается тороидальный вихрь, образующий знакомое кольцо дыма:

Существуют подходы, которые вместо хранения величины скорости в точках, хранят именно параметры таких жгутов. Но такие методы полагаются на топологию, поэтому в них необходимо считать, как жгуты взаимодействуют, сливаются, распадаются и вообще происходящее быстро теряет простоту и наглядность.

Однако, у классического метода есть одно очень важное положительное свойство — в нём вообще нет параметров. Обратите внимание, что для расчёта используется только скорость и больше вообще ничего — ни вязкости, ни даже плотности. В уравнении Навье-Стокса без вязкости есть плотность, но её можно «спрятать» в нормировку давления, поэтому можно сказать, что в исходном уравнении параметров также нет. Забегая вперёд, замему, что в солвере на уравнении Шрёдинге будет параметр. Загадочный.

На следующей странице мы рассмотрим, как же применить уравнения Шрёдингера, чтобы смоделировать тот же самый процесс, и какой в этом профит. Будет много картинок.

📹 Видео

Уравнение Шредингера Стационарные состоянияСкачать

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | НаучпопСкачать

10. Уравнение ШрёдингераСкачать

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"Скачать

Простым Языком #1 Кот ШредингераСкачать

Корректный вывод уравнения Шрёдингера и его физический смысл: Липовка А.А. - Глобальная волнаСкачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Урок 32. Уравнение ШрёдингераСкачать

Уравнение ШрёдингераСкачать

Петров С.В. - Квантовая механика - 7. Особенности решения уравнения ШредингераСкачать

Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)Скачать