Уравнение серединных перпендикуляров треугольника по координатам (6 видео)

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Содержание

Серединный перпендикуляр к отрезку
Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку
Серединный перпендикуляр
💥 Видео

Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Уравнение серединных перпендикуляров треугольника по координатам

На рисунке 1 прямая ( small l ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB .)

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку

Теорема 1. 1) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. 2) Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. 1) Пусть точка ( small O ) середина отрезка ( small AB ) и пусть прямая ( small q ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB ) (Рис.2). Рассмотрим любую точку ( small M ) на прямой ( small q ). Докажем, что ( small AM=BM. ) Если точка ( small M ) совпадает с точкой ( small O ), то равенство ( small AM=BM ) верно поскольку ( small AO=BO ) (( small O )-середина отрезка). Пусть ( small M ) и ( small O ) различные точки. Тогда прямоугольные треугольники ( small MOA ) и ( small MOB ) равны по двум катетам (( small AO=OB ), ( small OM )− общий). Следовательно ( small AM=BM. )

2) Пусть точка ( small P ) равноудалена от от концов отрезка ( small AB ) (Рис.3). Тогда выполено равенство ( small AP=BP ). Докажем, что ( small P ) лежит на серединном перпендикуляре ( q ). Если точка ( small P ) принадлежит прямой ( small AB ), то поскольку она равноудалена от концов отрезка ( small AB, ) она совпадает с точкой ( small O ), т.е. лежит на прямой ( q.) Если же ( small P ) не лежит на прямой ( small AB ), то треугольник ( small ABP ) равнобедренный, поскольку ( small AP=BP .) Отрезок ( small PO ) медиана этого равнобедренного треугольника и, значит, является также высотой этого треугольника. Тогда ( small PO⊥AB .) Прямые ( small PO ) и ( q ) проходят через точку ( small O ) и перпендикулярны к ( small AB .) Следовательно эти прямые совпадают, т.е. точка ( small P ) принадлежит прямой ( q. )

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Серединный перпендикуляр

Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Что можно сказать о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника? К сторонам многоугольника?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, если

точка C — середина отрезка AB,

Чтобы построить серединный перпендикуляр к данному отрезку с помощью угольника, нужно:

1) найти середину отрезка;

2) провести через эту точку прямую, перпендикулярную данному отрезку (для этого угольник прикладываем прямым углом к середине отрезка так, чтобы она сторона угольника проходила через отрезок, а через другую сторону проводим прямую):

Свойства серединного перпендикуляра.

1) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Например, прямая m — геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B (рисунок 1).

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной около треугольника окружности.

3) Если около многоугольника можно описать окружность, то центр этой описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.