Уравнение с параметром класс 8 класс (3 видео)

Алгебра. 8 класс

Тема: Уравнения с параметром

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим уравнение
ax + b = 0
Приведем уравнение к виду
ax = —b
Найдём корни уравнения, рассмотрев различные вариант значений параметров a и b.
Рассмотрим случаи

a = 0, b = 0 → 0x = 0 → 0 = 0 → x — любое число
a = 0, b ≠ 0 → 0x = b → 0 = b → корней нет
a ≠ 0 → x = (-b)/a

Решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Впишите верный ответ.

При каком значении a уравнение имеет бесконечное число решений?

Содержание

Квадратные уравнения с параметром
Понятие уравнения с параметром и его решения
Примеры
Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».
📺 Видео

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения с параметром

Понятие уравнения с параметром и его решения

Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.

Рассмотрим несложный пример.

Пусть нам дан прямоугольный участок площадью a. С точки зрения практической, мы хотим обнести участок забором, т.е. нас интересует зависимость периметра от длины x при некоторой площади a (ширина будет равна $frac$):

Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.

Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.

Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.

Решить уравнение с параметром – это найти множество корней $$ для любого значения параметра a .

Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D = 50^2-4a = 2500-4a = 4(625-a) $$

Чтобы решения существовали, потребуем:

$$ D ge 0 Rightarrow 625-a ge 0 Rightarrow a le 625 $$

При $a lt 625$ два корня $x_ = 25 pm sqrt$

При a = 625 один корень $x_0 = 25$

При $a gt 625$ решений нет

Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:

Исследуем решение. Полученный корень $x_2 = 25+ sqrt ge 25 gt 0$ — положительный. И $x_1 = 25- sqrt$ при $0 lt a lt 625$ меняется в пределах $0 lt x_1 lt 25$, т.е. также положительный.

Запишем ответ для модели с условиями:

При $0 lt a lt 625$ два корня $x_ = 25 pm sqrt$

При a = 625 один корень $x_0$ = 25

При $a gt 625$ решений нет

Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.

Решить уравнение с параметром F(x,a) при дополнительных условиях на переменную x и параметр a – это найти допустимое множество корней $$ для любого допустимого значения параметра a .

Заметим, что согласно полученным результатам, максимальная площадь, которую мы можем огородить нашим забором длиной 100 м, равна a = 625 $м^2$. Участок при этом представляет собой квадрат с длиной $x_0 = 25$ м и шириной $ frac = 25$ м.

Примеры

Пример 1. При каких p квадрат разности корней уравнения $x^2-4x+p = 0$ равен 32?

Пусть $x_1, x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета и условию задачи:

$$ <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1 x_2 = p \ x_1^2-x_2^2 = 32 end right.> Rightarrow <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1 x_2 = p \ (x_1+x_2 )(x_1-x_2 ) = 32 end right.> Rightarrow <left< begin x_1+x_2 = 4 \ x_1-x_2 = 8 \ x_1 x_2 = p end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin 2x_1 = 4+8 = 12 \ 2x_2 = 4-8 = -4 \ x_1 x_2 = p end right.> Rightarrow <left< begin x_1 = 6 \ x_2 = -2 \ p = 6 cdot (-2) = -12 end right.> $$

Пример 2. При каких значениях a уравнение

имеет один корень? Найдите этот корень.

$$ D = (a+2)^2-4(a+5) = a^2+4a+4-4a-20 = a^2-16 $$

Уравнение имеет один корень, если D = 0:

$$ a^2-16 = 0 Rightarrow a = pm 4 $$

При a = -4 уравнение имеет вид $x^2+2x+1 = 0$, т.е. $(x+1)^2 = 0$, $x_0 = -1$

При a = 4 уравнение имеет вид $x^2-6x+9 = 0$, т.е. $(x-3)^2 = 0, x_0 = 3$

При a = -4, $x_0$ = -1

При a = 4, $x_0$ = 3

Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения

$$ x^2+x+p = 0 и x^2+px+1 = 0 $$

имели общий корень. Найдите этот корень.

Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.

$$ x(1-p) = 1-p Rightarrow left[ begin <left< begin p = 1 \ x in Bbb R — любой end right.> \ <left< begin p neq 1 \ x = 1 end right.> end right. $$

При p = 1 уравнения совпадают $x^2+x+1 = 0$, но решений не имеют, т.к. $D lt 0$.

При x = 1 уравнения парабол имеют вид: $p+2 = 0 Rightarrow p = -2$.

При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.

Пример 4. Найдите все целые значения a, при которых уравнение $frac = frac$ имеет решение.

Особая точка: a = 4. Уравнение $x^2-2x+4 = 0$ решений не имеет, т.к. $D lt 0$.

Решаем уравнение в общем виде:

Потребуем $D ge 0$

$$ -4(a-3)(a-1) ge 0 Rightarrow (a-3)(a-1) le 0 $$

Начертим график параболы

Значение $f(a) le 0$ не положительно, только на отрезке

Это значит, что $D ge 0$, и уравнение имеет решения, только при трёх целочисленных a $in$

При a = 1 и a = 3 D = 0, уравнение имеет вид $x^2-2x+1 = 0$ и одно решение $x_0 = 1$.

При a = 2 уравнение имеет вид: $x^2-2x = 0 Rightarrow x(x-2) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 0 \ x_2 = 2 end right. $

При a = 1 и a = 3 один корень $x_0 = 1$

При a = 2 два корня $x_1 = 0, x_2 = 2$

При всех других целых a уравнение решений не имеет.

Пример 5. При каких b и c уравнение $x^2+bx+c = 0$ имеет корнями b и c?

По условию $x_1 = b, x_2 = c$

По теореме Виета:

$$ <left< begin x_1+x_2 = b+c = -b \ x_1 x_2 = bc = c end right.> Rightarrow <left< begin c = -2b = -2 \ b = 1end right.> $$

Уравнение $x^2+x-2 = 0$ имеет корнями 1 и -2.

Ответ: b = 1, c = -2

Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения

$$ x^2+(a^2+3a+7)x = 0 и x^2+(4a+19)x+(a^2+7a-44) = 0 $$

имеют один и те же решения.

Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.

Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:

$$ <left< begin a^2+3a+7 = 4a+19 \ 0 = a^2+7a-44 end right.> Rightarrow <left< begin a^2-a-12 = 0 \ a^2+7a-44 = 0 end right.> Rightarrow <left< begin (a-4)(a+3) = 0 \ (a-4)(a+11) = 0 end right.> Rightarrow a = 4 $$

Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:

$$ <left< begin a^2+3a+7 = 0 \ 4a+19 = 0 \ a^2+7a-44 = 0 end right.> Rightarrow <left< begin D lt 0, a in varnothing \ a = — frac \ a = end right.> Rightarrow a in varnothing $$

Пример 7. Решите уравнение:

При a = 1 уравнение имеет вид $x^2 = 0$ и один корень $x_0 = 0$

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№33 - Уравнения с параметром. Контрольный урок.)Скачать

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Зургамбаева Нурпатча Оштаевна, учитель математики

Цели: Создание условий для усвоения понятия «уравнения с параметром».

Задачи: сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. ( Приложение 2 ) .

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка ( Приложение 1, слайды 15-16 )

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

8. Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а≠0 называется… .

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Определение. Уравнение вида f(а,в,с …,х) =0, переменные а,в,с … которые при решении уравнения являются постоянными называются параметрами, а само уравнение , уравнением с параметрами.

ру – р – 1 = 0; х – 2 х = а 3 – 2 а 2 – 9 а + 18; 3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х , а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары ( х , а ), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х , удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а .

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А . Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а ( А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а .

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными .

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах можно рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы :

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (обучающийся решает у доски).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = (a-2)(a 2 -9)/(a-2),

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

D = (–10 а ) 2 – 4 · 3 · 3 а 2 = 100 а 2 – 36 а 2 = 64 а 2 .

Если а ≠ 0, то D > 0 и

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

D = (– а ) 2 – 4 · 1 · ( а – 3) = а 2 – 4 а + 12 = ( а – 2) 2 + 8, D > 0 при любом а , 2 корня.

х ₁ 2 + х ₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№ 645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

Какие уравнения мы сегодня изучили?

Какое уравнение называются уравнением с параметром? (Слайд с определением). Приведите свои примеры.

Уравнения с параметрами встречаются в экзаменах 9 и 11 классов. (Можно предложить на дом задания из ГИА).

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Алгебра, 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ ЛебединцкваЕ.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интелект-Центр, 2007.

Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворовой (компакт-диск) – издательство «Учитель». 2011.

Тема урока: Уравнения и неравенства с параметрами.

Цель урока :Создание условий для усвоения темы «Уравнения и неравенства с параметрами».

Задачи урока: формировать умения решать иррациональные уравнения с параметрами; формировать умения решать задачи исследовательского характера – квадратные уравнения с параметрами.

I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

II .Математический диктант.

1. При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю:

;

2. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

;

3. При каких значениях оба корня уравнения равны нулю:

;

Объяснение нового материала .
Объяснение нового материала (стр. 369-372):
1. Решить уравнение .
2. При каких значениях параметра корни уравнения меньше 1.

Творческая мастерская.
Учащиеся работают в четырех группах. Каждая группа получает по 4 задания. Задания выполняются и оформляются коллективно, но у доски каждая группа должно успеть показать решение не менее двух задач.

Задания для 1 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

При каких значениях сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

При каких значениях и корни уравнения равны и ?

Задания для 2 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите и корни каждого уравнения.

Задания для 3 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найдите .

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

Задания для 4 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найдите .

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите и и корни каждого уравнения.

Домашнее задание: №1863-1866; теория в учебнике стр. 365-372.

Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня С .

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий наиболее сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Организация решения тестовых заданий.
Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

С1 Сколько корней имеет уравнение ?

A) 1 B) 2 C) D) 3 E) бесконечно много

С2 Найдите сумму корней уравнения .

A) B) -1 C) 1 D) E)

С3 Решите неравенство

A) B) C) D) E)

С4 Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству .

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

С5 Решите неравенство .

A) [0; ) B) [-1; 1] C) (- ; ] D) [0; 2] E)

С6 Решите неравенство: .

A) (0; 1) B) [-1; 0) C) [-1; 1] D) [- ; 0) ? (1;+ ) E) (1; + )

С7 Найдите середину отрезка, на котором решается неравенство .

A) 0,5 B) 0,4 C) 0,25 D) E)

С8 Найдите наибольшее целое решение неравенства:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

С9 Решите неравенство: .

A) B) (1; 5) C) (-2; 3) D) ( ; 10) E) не имеет решений

С10 На интервале [0; 2 ] найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству:

A) B) C) D) E)

С11 Найдите все решения неравенства принадлежащие промежутку .

A) B) C) D) E)

С12 Сколько корней имеет уравнение: .

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

С13 Решите уравнение: .

A) 1; 9; B) 1; 9 C) 1; D) 9; E) 4; 1;

С14 Найдите сумму корней уравнения .

A) 39 B) 130 C) 169 D) 24 E) 78

С15 x и z удовлетворяют равенству . Вычислите | z + 3 | x

A) 9 B) 0 C) 3 D) 1 E) 27

С16 Вычислите:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

С17 Сколько корней имеет уравнение

A) B) бесконечно много C) 1 D) 2 E) 3

С18 Решите неравенство

A) (1; 3] B) (-1; 1) C) [1; + ) D) (3; + ) E) (1; 3)

С19 y и t удовлетворяют равенству . Вычислите .

A) B) C) 0 D) 1 E) —

С20 Решите уравнение .

A) B) C) — D) E) —

С21 Решите неравенство .

A) [ -1;0 ) B) [ -2;-1 ] C) -2; -1 D) -1 E) ( -3;0 ) ( 0;1)

С22 Сколько корней имеет уравнение: ?

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

С23 Какому отрезку принадлежат корни уравнения = x2 – x + 0,75?

A) [0; ] B) [- ; 0] C) [ ; 2 ] D)[1,5 ; 2 ] E)

С24 Решите неравенство .

A) (- ; -1] B) C) [-1; 0) D) (0; ) E) [-1; 1)

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания: При каких значениях параметра система имеет единственное решение? ( Ответ: )

Урок 89. Зачет по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Цели урока: проверить теоретические и практические знания по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств».

Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Работа в группах.
Учитель сам выделяет пять лидеров, анализируя работу всех групп прошлого урока. Эти лидеры собирают учащихся в пять группы по пять человек в каждой. Каждая группа получает набор заданий. Лидер группы распределяет задания между всеми учащимися. Учитель готовит билетики с номерами заданий. После 10 минут решения, учитель вытягивает билетики и вызывает к доске для решения на оценку, учеников из всех групп, задавая вопросы по теории. Повторяя эту процедуру несколько раз, учитель сможет дополнительно оценить учащихся в течение урока.

№ 1712, 1778, 1784, 1834, 1841

№ 1713, 1779, 1784, 1835, 1843

№ 1716, 1780, 1785, 1836, 1844

№ 1719, 1781, 1785, 1837, 1845

№ 1722, 1783, 1786, 1839, 1846

Лидеры групп собираются в пятую группу для решения заданий повышенной сложности. Решение может быть коллективное, учащиеся могут помогать друг другу, но оценка будет выставятся индивидуально.

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческое задание : При каких значениях параметра система имеет решение? ( Ответ : )

Урок 89. Зачет по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

№ 1712, 1778, 1784, 1834, 1841

№ 1713, 1779, 1784, 1835, 1843

№ 1716, 1780, 1785, 1836, 1844

№ 1719, 1781, 1785, 1837, 1845

№ 1722, 1783, 1786, 1839, 1846

Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня А.

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий базового уровня , более сложного уровня , наиболее сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Учитель распределяет тестовые задания на пять уроков следующим образом:
Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня .
Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня и тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 93 . Решение тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 94 . Составление констекта по теме для решения тестовых заданий наиболее сложного уровня .
Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня .

Организация решения тестовых заданий.
Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

А1. Система линейных уравнений

А1.1 Решите систему уравнений:

A) (4; 4) B) (-4; -4) C) (-4; 4) D) (4; -4) E) бесконечно

А1.2 Сколько решений имеет система уравнений:

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) бесконечно много

А1.3 Найдите значение выражения , где – решение системы уравнений

A) 16 B) 18 C) 20 D) 14 E) 22

А1.4 Если 3 a — b = 7, b — c = 5 и 3 c — a = 2, то чему равно a + c ?

A) 10 B) 14 C) 8 D) 6 E) 7

А1.5 Если 2 m + n = 2; 2 n + p = 6 и 2 p + m = 4, то чему равно m + n + p ?

A) 6 B) 4 C) 5 D) 3 E) 8

А1.6 Известно, что 2 q — 4 p = -9; 2 t — 4 q = -7 и 2 p — 4 t = 2. Чему равно p + q + t ?

A) -7 B) 8 C) 7 D) -8 E) 6

A) 18 B) 4 C) 20 D) 23 E) невозможно определить

А1.9 Вычислить , если a = 4 b ( b 0 ) и c + 3 b = 0 .

A) — B) 1 C) 1 D) -1 E) —

А2. Квадратные уравнения. Теорема Виета

А2.1 x ₁ и x ₂ – корни уравнения . Найдите .

A) B) C) D) E)

А2.2 Найдите x ₁ 4 +x ₂ 4 где x ₁ и x ₂ – корни уравнения .

A) 207 B) 192 C) 243 D) 168 E) 252

А2.3 Найдите сумму всех корней уравнения: .

A) 7 B) 3,5 C) 0 D) 2 E) невозможно определить

А2.4 Найдите отношение суммы всех корней уравнения к их произведению.

A) 1 B) 0 C) D) E) невозможно определить

А2.5 Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения: .

A) 5 B) 1 C) 7 D) 0 E) 6

А2.6 Определите число корней уравнения x 4 -( .

A) 2 B) 4 C) 1 D) 0 E) 3

А2.7 Найдите сумму действительных корней уравнения: .

A) 3 B) 9 C) -9 D) 8 E) 4

А2.8 Определите сумму всех действительных корней уравнения .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 2,5 E) невозможно определить

А2.9 Вычислите произведение корней уравнения

A) 4 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2

А2.10 Сколько корней имеет уравнение ?

A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 5

А3. Алгебраические, дробно-линейные уравнения

А3.1 Найдите произведение корней уравнения

A) 3 B) 2 C) 6 D) -2 E) 1

А3.2 Найдите сумму чисел целых корней уравнения

A) -3 B) 1 C) -5 D) 3 E) 4

А3.3 Найдите сумму корней уравнения

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

А3.4 Найдите произведение всех действительных корней уравнения
(4x 2 – 7x – 5)(5x 2 + 13x + 3)(3 x – x 2 – 8) = 0.

A) 1 B) 0 C) 0,75 D) -0,75 E) 1,25

А3.5 При каком значении a значение дроби равно ?

A) 3 B) 2 C) 27 D) 8 E) 9

А3.6 Найдите сумму действительных корней уравнения:
(x 2 + 5 x + 4)(x 2 + 5 x + 6) = 120.

A) 3 B) -3 C) 2 D) -5 E) -4

А3.7 В каком промежутке содержаться решения уравнения: .

A) (- ; -1) B) [-1; 8) C) [2; 8) D) [3; 8) E) [4; 8)

А3.8 Вычислите , если .

A) 110 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

А3.9 Известно, что . Найдите значение

A) 27 B) 24 C) 18 D) 21 E) определить нельзя

А3.10 Чему равно , если ?

A) 81 B) 79 C) 49 D) 63 E) 77

А4. Система алгебраических уравнений

А4.1 Решите систему:

A) (1; -2) B) (-1; -2) C) (1; 2) D) (-1; -2) и (1; -2) E) (-1; 2) и (1; -2)

А4.2 Найдите , если x 2 + y 2 = 225 и x 2 -y 2 = 63.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

А4.3 Сколько решений имеет система:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) не имеет

А4.4 Известно, что . Найдите x 2 –y 2

A) 16 B) 20 C) 25 D) 34 E) 42

А4.5 Найдите p + q , если и .

A) 12 B) 14 C) ±12 D) ±12 E) ±14

А4.6 Вычислите , если

A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4

А4.7 Найдите , если

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 9

A) 162 B) 271 C) 354 D) 216 E) 273

А4.9 Найдите x 4 y – xy 4 , если .

A) 275 B) 405 C) 600 D) 480 E) 510

A) 47 B) 29 C) 51 D) 24 E) 18

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания : При каких значениях параметра все решения уравнения удовлетворяют неравенству ?
( Ответ: )

Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня А и тестовых заданий более сложного уровня В.

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий базового уровня , более сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Организация решения тестовых заданий.
Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня и тестовых заданий более сложного уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

А5. Линейные неравенства и системы

А5.1 Решите неравенство: .

A) (-2,5; 0) B) (- ; -2,5) C) (- ; 0) D) x R E)

А5.2 Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства .
A) -6 B) -7 C) -5 D) -4 E) -8

А5.3 Укажите наибольшее целое решение неравенства .

A) 2 B) -1 C) 1 D) 0 E) -2

А5.4 Сколько натуральных решений имеет система

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

А5.5 Найдите сумму всех целых решений системы неравенств:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

А5.6 Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы:

A) 8 B) 11 C) 12 D) 9 E) 10

А5.7 На сколько больше наибольшее целое, чем наименьшее целое решение системы

A) 17 B) 19 C) 16 D) 12 E) 18

А5.8 Чему равно среднее пропорциональное между наибольшим и наименьшим решениями системы

A) 2 B) 10 C) 4 D) 6 E) 8

А5.9 Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:

A) -5 B) -3 C) -6 D) -4 E) 3

А5.10 Найдите среднее арифметическое целых решений системы:

A) 3 B) 2,5 C) 2 D) 1,5 E) 1

А6. Алгебраические неравенства и системы

А6.1 Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства .

A) 1 B) -1 C) -2 D) 2 E) 7

А6.2 Решите неравенство

A) (-1; 0] B) (-2; 1] C) (-2; 0] D) (-2; 0] E) (-2; -1]

А6.3 Решите неравенство: .

A) (1; ) B) [1; ) C) (- ; 1) D) (- ; 1] E)

А6.4 Укажите решение неравенства: .

A) (- ; -1,5) B) (-1,5; 2) C) (-4; -1,5) D) (-1,5; -1,2) E) (- ; -2,5)

А6.5 Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства .

A) -30 B) -35 C) -36 D) -42 E) -48

А6.6 Сколько целых решений имеет неравенство ?

A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) бесконечно много

А6.7 Решите неравенство: .

A) (-3; 1] B) (-3; 0) (0; 1] C) (- ; -3) (1; ) D) (- ; -3) [1; )
E) (- ; -3) [1; )

А6.8 Сколько целых решений имеет неравенство:
.

A) 5 B) 4 C) 3 D) бесконечно много E) 2

А6.9 Решите неравенство: .

A) (- ; 0) (4; + ) B) (- ; -4) (0; 4) C) [-4; 4] D) E) (- ; + )

А6.10 Решите неравенство: > x.

A) (- ; -1) (0; 1) B) [0; 1) C) (-1; 1) D) E) (- ; 1)

В1. Система алгебраических уравнений

В1.1 Если и , то чему равно xy?

В1.2 Найдите |a+ b| , если и

A) 13 B) 12 C) 5 D) E) 14

В1.3 Найдите сумму всех значений x , являющихся решением системы уравнений

В1.4 Вычислите , если , и .

A) 2 B) 15 C) 6 D) 8 E) 3

В1.5 Вычислите: , если .

A) 3 B) 2 C) D) 3 E) 9

В1.6 Вычислить , если

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 6

В1.7 Найдите из системы уравнений

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 3

В1.8 Числа x, y и z связаны соотношениями и . Найдите .

A) B) 2 C) D) E)

В1.9 Если ( x ; y ) – решение системы , то чему равно xy ?

A) 15 B) -6 C) -8 D) 6 E) 12

В2. Линейные неравенства и системы

В2.1 Сколько целых решений имеет система неравенств:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

В2.2 Найдите сумму целых решений системы неравенств:

A) 12 B) 9 C) 7 D) 8 E) 1

В2.3 Найдите сумму целых решений системы неравенств:

A) 2 B) 3 C) -1 D) -3 E) 1

В2.4 Укажите наибольшее целое решение системы неравенств:

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) 0

В2.5 Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств

A) -9 B) -8 C) 7 D) 9 E) 8

В2.6 Решите систему неравенств:

A) (-11; 2] B) [-2; 7) C) (-7; -2] D) [2; 11) E) (- ; -7)

В2.7 Сколько целых чисел входит в решение системы неравенств

A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 12

В2.8 Найдите сумму целых решений системы неравенств

A) 6 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15

В2.9 Сколько простых чисел входят в решения двойного неравенства

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 7

В2.10 При каких значениях y значения дроби принадлежат промежутку (-1; 1) ?

A) (-1; 2) B) (0; 2) C) (- ; 1) D) (-2; 2) E) другой ответ

В3. Алгебраические неравенства и системы

В3.1 Решите неравенство

A) (- : 1) [1,5; ) B) (1; 2] C) (1; 2) D) (1; 1,5] E) (1; 1,5)

В3.2 Укажите число целых решений неравенства .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

В3.3 Укажите все решения неравенства

A) (-3; 1) B) (1; 3) C) (-1; 3) D) (-; 1) E) (3; )

В3.4 Найдите все значения , для которых дробь отрицательна.

A) (2,5; 5) B) (- : -1) C) (- : -1] (2,5; 5] D) (- : -1) (2,5; 5) E) (- ; 2,5)

В3.5 Решите неравенство .

A) (- ; ) B)(-4; -3) (3; 4) C) ( ; -4) (-3; 3) (4; ) D) ( ; -4) (4; ) E) ( ; -4) (3; 4) (6; )

В3.6 Найдите число целых решений неравенства .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

В3.7 Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений системы неравенств
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

В3.8 Найдите разность между наибольшим и наименьшим решениями системы
A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10

В3.9 При каких значениях a неравенство 1 E) (-3; -2)

В3.10 Сколько целых решений имеет неравенство x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 24 ?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания: Найти все значения параметра , при которых неравенство выполняется для всех таких , что . ( Ответ : )