Уравнение с двумя переменными параметром

Видео:График уравнения с двумя переменными. Задача с параметромСкачать

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm<a^2=2Rightarrow a=pmsqrt> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm<R=|a+1|=OA=sqrt>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrtRightarrow a+1=pmsqrtRightarrow a_=-1pmsqrt>. )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & endright. )

Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корнейII ряд – II вариант

Ответ: корней нетIII ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у — любое
• x=n-2y

в) если m1 и n — любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2 5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b 2bx+2y=b
• bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

• 3х-2у=5
• 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) b10

Видео:Алгебра. 11 класс (Урок№46 - Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.)Скачать

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №46. Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) уравнения с двумя переменными с параметрами;

2) уравнения с двумя переменными с параметрами;

3) системы с двумя переменными с параметрами.

Глоссарий по теме урока

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными.

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Параметр (от греч рarametron – отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенной элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже встречались с уравнениями и неравенствами с параметрами. Наша задача обобщить изученный материал.

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел(х;у), при подстановке которой в уравнение f(x;y)=0 оно обращается в верное равенство.

Уравнение х 2 +у 2 =1 имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел, лежащая на окружности, R=1.

Изменяем уравнение: х 2 +у 2 =а. Это уравнение с двумя переменными и с параметром а.

1. При а=0 одно решение х=0, у=0.
2. При а 0 бесконечно много решений.

Если поставить знак 2 +у 2 2 +В 2 ≠0) есть уравнение прямой

х 2 +у 2 =R 2 (R ≠ 0) есть уравнение окружности

ху=а (а ≠ 0) есть уравнение гиперболы

у=ах 2 +bх+с (а ≠ 0) есть уравнение параболы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решение уравнений с параметрами возможно аналитически и графически. Решение уравнений графически позволяет наглядно представить решение.

Задание 1. Сколько решений имеет система?

Построим графики уравнений.

Из рисунка видно, при любом значении а, система будет иметь 2 решения.

Задание 2: Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение?

1. При, а ≥ 0: |х 2 -2х-3|=а ↔ х 2 -2х-3=а или х 2 -2х-3=-а
2. Все ли корни подходят? Чтобы это выяснить, построим график функции, а =|х 2 -2х-3|.
3. Количество корней можно увидеть на графике:

1. Ответ: Если а 4, 2 корня; если 0 Назад Вперёд

   🌟 Видео

   Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

   

   Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

   

   Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

   

   9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать

   

   Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрамиСкачать

   

   Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

   

   ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

   

   Неравенства с двумя переменными. 9 класс.Скачать

   

   9 класс. Алгебра. Уравнение с двумя параметрамиСкачать

   

   Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

   

   Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать

   

   Уравнения с параметром. Алгебра 7 класс.Скачать

   

   График линейного уравнения с двумя переменными. 6 класс.Скачать

   

   Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

   

   9 класс. Алгебра. Уравнение с параметрами.Скачать

   

   Уравнение с двумя переменными ➜ Это интересно!Скачать

   

   ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать