п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$
Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.
п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:
Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm<a^2=2Rightarrow a=pmsqrt> $$
п.3. Примеры
Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).
Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm<R=|a+1|=OA=sqrt>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrtRightarrow a+1=pmsqrtRightarrow a_=-1pmsqrt>. )
Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.
При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать
Решение систем линейных уравнений с параметрами
Разделы: Математика
Цель:
- повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
- дать определение системы линейных уравнений с параметрами
- научит решать системы линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
- Организационный момент
- Повторение
- Объяснение новой темы
- Закрепление
- Итог урока
- Домашнее задание
2. Повторение:
I. Линейное уравнение с одной переменной:
1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной
[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
[- Если а=0, b
0, то уравнение не имеет решений, х
— Если а=0, b=0, то х R
— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х = 
3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)
| I ряд – I вариант |
Ответ: много корней
Ответ: корней нет
Ответ: единственный корень
II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]
3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]
5. Выясните, что представляет собой график уравнения:
[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3
Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]
6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?
[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]
7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]
8. Что значит решить систему уравнений?
[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]
9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).
10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]
11. Каким уравнением обычно задается прямая?
12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:
I вариант:
|
k1 = k2, b1b2, нет решений;
- y=-х+8
- y=2x-1,
k1k2, одно решение;
- y=-x-1
- y=-x-1,
k1 = k2, b1 = b2, много решений.
Вывод:
- Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
- Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
- Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.
III. Объяснение новой темы.
где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если 
, то система имеет единственное решение
2) Если 
, то система не имеет решений
3) Если 
, то система имеет бесконечно много решений.
IV. Закрепление
Пример 1.
При каких значениях параметра а система
- 2х — 3у = 7
- ах — 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
а) 
, а=4
б) 
, а?4
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а4, то решение единственное.
Пример 2.
Решите систему уравнений
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Решение: а) 
, т.е. при m1 система имеет единственное решение.
б) 
, т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет
в) 
, при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество
- у — любое
- x=n-2y
в) если m1 и n — любое, то
y= 
x=
Пример 3.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- ах-3ау=2а+3
- х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение
1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у 
]
Следовательно, при а=0 система не имеет решений
Следовательно, у 
. При этом х=1-ау=1+3у
3) а0 и а-3. Тогда у=-
, х=1-а(-
=1+1=2
1) если а=0, то (х; у)
2) если а=-3, то х=1+3у, у
3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-
Рассмотрим II способ решения системы (1).
Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:
Т.к. А1В2-А2В10, то х =
т.к. А2В1-А1В2 0 у =
Для удобства решения системы (1) введем обозначения:
— главный определитель
Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:
х= 
; у=
Приведенные формулы называют формулами Крамера.
— Если 
, то система (1) имеет единственное решение: х=
; у=
— Если 
, 
или 
, 
, то система (1) не имеет решений
— Если , 
, , 
, то система (1) имеет бесконечное множество решений.
В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.
Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.
Пример 4.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
- (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4
Решение: Найдем определитель системы:
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
1) 
Тогда
х= 
у=
2) 
или а=2
При а=0 определители 
Тогда система имеет вид:
- 5х+3у=2
5х+3у=2 - 10х+6у=4
5х+3у=2 
При а=2 
Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.
1) если а 
и а
, то х= 
у=
2) если а=0, то х
, 
3) если а=2, то (х; у)
Пример 5.
Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений
Решение: 
= 
=а+1-2b
= 
= b -6; 
= 3a+3-b
1) 
. Тогда
х= 
у=
2) 
Подставив выражение параметра а в систему, получим:
- 2bx+2y=b 2bx+2y=b
- bx+y=3 2bx+2y=6
2bx+2y=6Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.
Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению
12х+2у=6 
у=3-6х
1) если 
, (а
), то x=
, y=
2) если b
, a
, то система не имеет решений
3) если b=6, а=11, то х
, у=3-6х
Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.
При каких значениях параметра система уравнений
- 3х-2у=5
- 6х-4у=b
а) имеет бесконечное множество решений
б) не имеет решений
б) b10
Видео:График уравнения с двумя переменными. Задача с параметромСкачать
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №46. Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) уравнения с двумя переменными с параметрами;
2) уравнения с двумя переменными с параметрами;
3) системы с двумя переменными с параметрами.
Глоссарий по теме урока
Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными.
Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Параметр (от греч рarametron – отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенной элемент из множества элементов того же рода.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже встречались с уравнениями и неравенствами с параметрами. Наша задача обобщить изученный материал.
Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел(х;у), при подстановке которой в уравнение f(x;y)=0 оно обращается в верное равенство.
Уравнение х 2 +у 2 =1 имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел, лежащая на окружности, R=1.
Изменяем уравнение: х 2 +у 2 =а. Это уравнение с двумя переменными и с параметром а.
- При а=0 одно решение х=0, у=0.
- При а 0 бесконечно много решений.
Если поставить знак 2 +у 2 2 +В 2 ≠0) есть уравнение прямой
х 2 +у 2 =R 2 (R ≠ 0) есть уравнение окружности
ху=а (а ≠ 0) есть уравнение гиперболы
у=ах 2 +bх+с (а ≠ 0) есть уравнение параболы
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Решение уравнений с параметрами возможно аналитически и графически. Решение уравнений графически позволяет наглядно представить решение.
Задание 1. Сколько решений имеет система?
Построим графики уравнений.
Из рисунка видно, при любом значении а, система будет иметь 2 решения.
Задание 2: Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение?
- При, а ≥ 0: |х 2 -2х-3|=а ↔ х 2 -2х-3=а или х 2 -2х-3=-а
- Все ли корни подходят? Чтобы это выяснить, построим график функции, а =|х 2 -2х-3|.
- Количество корней можно увидеть на графике:
- Ответ: Если а 4, 2 корня; если 0 Назад Вперёд
💡 Видео
Алгебра. 11 класс (Урок№46 - Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.)Скачать
Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрамиСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать
Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать
9 класс. Алгебра. Уравнение с двумя параметрамиСкачать
ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать
Неравенства с двумя переменными. 9 класс.Скачать
9 класс. Алгебра. Уравнение с параметрами.Скачать
Уравнения с параметром. Алгебра 7 класс.Скачать
Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
График линейного уравнения с двумя переменными. 6 класс.Скачать
Уравнение с двумя переменными ➜ Это интересно!Скачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
