Уравнение ромба в координатной плоскости (5 видео)

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

Видео:Линейное уравнение в координатной плоскости.Скачать

Уравнение ромба в координатной плоскости

Помощь для выполнения домашнего задания.

1. — прямая. Соответственно, решением неравенства , является полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой.

2. — гипербола, т.к. отсюда . Эта гипербола делит плоскость на 3 (. ) области, поэтому знак неравенства надо проверять в каждой из них.

3. — «лежачая парабола», т.е. парабола, повернутая на 90 по часовой стрелке. Делит плоскость на 2 части (внутри параболы и вне ее.)

4. — окружность с центром в начале координат, радиуса R (где R>0). Решением неравенства является круг (т.е. вся область, лежащая внутри окружности, вместе с границей), а неравенства — область вне круга.

5. — при а > 0 – квадрат с вершинами в точках (а;0), (0; а), (-а; 0), (0; -а). Соответственно, решением неравенства является область внутри квадрата, а неравенства — область вне квадрата.

Преобразования графиков:
1. Чтобы построить график уравнения f(x-a; y-b)=0, надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0, а затем сместить его на а единиц по оси Ох, и на b единиц по оси Оy.
2. Чтобы построить график уравнения , надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Оy (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую левее оси Оy).
3. Чтобы построить график уравнения , надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Ох (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую ниже оси Ох).
4. Соответственно, чтобы построить график уравнения , надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0 (т.е. убрать все модули) в первой четверти, а затем выполнить симметрию этого графика относительно всех осей.
Неравенства с двумя переменными.

Чаще всего для решения используют «метод областей». То есть сначала в неравенстве заменяют знак неравенства на знак «=» и изображают полученный график на координатной плоскости. Затем «методом пробной точки» проверяют знак неравенства в каждой из образовавшихся областей.

Кроме этого, отдельно можно рассмотреть неравенства вида и . Для их решения сначала строят график функции . Тогда решением первого неравенства будут точки, лежащие ниже этого графика, а решением второго, соответственно, точки, лежащие выше.

Можно еще выделить неравенства вида . (Знак неравенства может быть и другим). Чтобы его решить, нужно сплошной линией изобразить график уравнения и пунктирной линией — график уравнения и проверить знак неравенства в каждой получившейся области(выбрав любую точку из каждой области).

Изобразите решение неравенства и определите все значения а, при которых данное неравенство имеет хотя бы одно решение.

Данное неравенство равносильно следующему: .

Построим график уравнения .

Для этого сначала построим график уравнения .

а) В свою очередь, для построения этого графика воспользуемся правилом 4 преобразования графиков. Здесь f(x; a) = 5x + 2a . Графиком этого уравнения является прямая, пересекающая оси координат в точках (2, 0 ) и (0, 5). Т.к. мы рассматриваем случай без модулей (т.е. x и y ), то возьмем только часть этой прямой, лежащую в первой четверти.

б) чтобы построить график уравнения , выполним симметрию полученного отрезка относительно всех координатных осей и начала координат. Получим ромб с «центром» в начале координат.

б) Теперь сместим этот график на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Получили график уравнения

Видим, что координатная плоскость оказалась разбита на 2 области, внутри ромба и вне его. Видим, что, например, точка (3,-1) принадлежит внутренней области. Подставим ее координаты в неравенство. Убеждаемся, что неравенство в данной точке выполнено. Значит, все точки этой области удовлетворяют неравенству. Для проверки подставим и точку из внешней области в неравенство. Например, это точка (0, 8). При данных значениях переменных неравенство обращается в неверное числовое неравенство, а, значит, никакая точка из внешней области не удовлетворяет неравенству. Окончательно получаем, что решением неравенства является «внутренность» ромба . Показываем это штриховкой.

Теперь надо ответить на второй вопрос задачи. Проводя горизонтальные прямые при различных значениях а, видим, что данное неравенство имеет хотя бы одно решение при .

Ответ: данное неравенство имеет решение при

Пример 2. Изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

1. Построим линии, ограничивающие график неравенства. Это будут линии, которые являются изображением множеств тех точек, в которых числитель и знаменатель обращаются в 0. Т.е. построим графики уравнений

(А)

и (Б)

А) Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (2, -3) и радиусом, равным 4 – изображается сплошной линией, т.к. неравенство нестрогое.

Б) График этого уравнения – «лежачая парабола», опущенная на 1 единицу вниз – изображается пунктирной линией в силу область определения неравенства.

2. Пусть , . Тогда наше неравенство принимает вид .

Окружность и парабола разбивают координатную плоскость на 4 области.

Заметим, что область внутри окружности соответствует неравенству , т.е. . Область вне окружности – неравенству , т.е. .

Аналогично, область «внутри», или правее параболы соответствует неравенству или , а область «вне», или левее параболы – неравенству или .

3. Выясним, какой знак принимает дробь в каждой из областей.

Точки, принадлежащие области I, лежат внутри параболы, но вне круга, значит, для этих точек выполняется и . Значит, для всех этих точек выполняется , и область I является решением неравенства.

В области II , но , значит, и неравенство здесь не выполняется.

В области III и , тогда . Значит, область III тоже входит в решение неравенства.

И, наконец, в области IV и , т.е. дробь неположительна и неравенство не выполнено.

Таким образом, решением неравенства является объединение областей I и III.

Соответственно, решением неравенства, является полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой

23 09 2014
1 стр.

Обоснование выбора темы: Варианты решений часто встречающихся уравнений с модулями

15 09 2014
1 стр.

Панель графики содержит для создания объектов, позволяющих составить графическое произведение

08 10 2014
1 стр.

Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений

13 10 2014
1 стр.

Преобразование целых выражений. Системы линейных уравнений. Решение уравнений и задач. Признаки равенства треугольников. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Сумма уг

26 09 2014
5 стр.

Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений

11 10 2014
4 стр.

С 01 декабря по 15 декабря 2011 года в мбоу мук для учащихся 5-11 классов проводился виртуальный конкурс компьютерной графики «Пиксель-арт»

26 09 2014
1 стр.

Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов и эквивалентного источника). Машинный метод решения

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

Уравнение ромба в координатной плоскости

Логические выражения

П Р А К Т И К У М П О И Н Ф О Р М А Т И К Е

Е.В. Андреева, И.С. Гущин

Москва

Введение

В программе курса “Основы информатики и вычислительной техники” в физико-математической школе-интернате им. А.Н. Колмогорова (СУНЦ МГУим. М.В. Ломоносова) предусмотрено обучение детей одному из языков программирования высокого уровня, например, языку Паскаль. Обязательной составной частью обучения языку программирования является выполнение школьниками практических заданий. Практические задания преподаватели информатики стараются составлять так, чтобы, во-первых, при изучении тех или иных алгоритмических или языковых конструкций продемонстрировать и по возможности привить стильпрограммирования, присущий изучаемому языку (каждый язык программирования требует своего стиля ее написания эффективной и легко отлаживаемой программы), во-вторых, помочь ученику закрепить какой-либо материал, изученный на уроках математики, физики, химии и т.д., в-третьих, дать школьнику возможность потренировать свою сообразительность при решении нового для него класса задач.

Практические задания по информатике в СУНЦ МГУ называются практикумами, если данный тип заданийобязателен для выполнения всеми учащимися, каждыйученик получает свой собственный вариант задания, и результат работы каждого учащегося будет проверен и оценен соответствующим образом. Желательным при этом является самостоятельность выполнения задания каждым из школьников. На выполнение практикума учитель отводит фиксированное время (обычно одну или две недели), и оценку “отлично” можно получитьтолько в случае выполнения задания полностью и в срок.

Методические указания

Предлагаемое в данной разработке задание условноназывается “Логические выражения. Метод координат наплоскости”. Для выполнения данного задания от школьника требуется: во-первых, знать тему “Декартовы координаты на плоскости” (например, по учебнику геометрии А.В. Погорелова для 7—11-х классов), в частности,нужно знать и понимать определение уравнения фигурына плоскости в декартовых координатах, знать вид уравнения прямой, окружности, параболы, ромба и/или других фигур в этих координатах; во-вторых, надо уметь описывать в виде неравенств геометрические места точек наплоскости, ограниченные указанными выше линиями; в-третьих, надо знать (или придумать) приемы восстановления уравнений указанных выше линий по их изображению на координатной плоскости.

Из курса информатики для выполнения задания потребуется:

· знание логических операций NOT, AND, OR;
· определение логического выражения;
· интерпретация логических операций NOT, AND,OR с точки зрения простейших понятий теории множеств;
· знакомство с синтаксисом логических выражений испособами их записи в изучаемом языке программирования (например, в Паскале);
· знание стандартных арифметических функцийизучаемого языка программирования, таких, как:вычисление квадратного корня, модуля числа и т.п.

Чтобы избежать бездумного копирования программучащимися друг у друга, учитель подготавливает числовариантов задания, равное числу учащихся. Преподаватель может оформить рисунок задания вручную, илииспользуя графические возможности какого-либо языка программирования, или какие-либо графические компьютерные технологии. В СУНЦ МГУ для генерациизаданий используется специально написанная программа. Сложность заданий при этом может варьироваться.

Некоторые ведущие специалисты по программированию (например, известный специалист и педагог из Великобритании К.А.Р. Хоар) приветствуют употребление подпрограмм уже в начальной стадии обучения программированию (в связи с этим заметим, что, например, язык Си с самого начала требует знакомства с понятием функции как подпрограммы, и весь текст программы на Си построен с использованием функций). Поэтому, в зависимости от возможности применения при выполнении задания подпрограмм, учащимся предлагается одиниз двух вариантов формулировки задания: первый (более простой и быстрый для дальнейшей проверки), когда вся работа оформляется учеником в виде одной подпрограммы (в Паскале в виде функции), и второй, когда работа оформляется в виде основной программы (без подпрограмм). В последнем случае от выполняющего задание требуется дополнительное внимание для соблюдения формальных соглашений при написании текстапрограммы, которые необходимы для автоматической проверки, а для проверяющего требуются дополнительные тестирующие программы. Заметим, что данный практикум школьники выполняют на начальном этапе обучения программированию, то есть скорее всего использование функций в данном случае для большинства учащихся возможно лишь в рамках модели, предложенной учителем на уроке.Как уже было упомянуто выше, проверка задания осуществляется автоматически с помощью программы,специально созданной для этого практикума. При этомпроще четко формализовать критерии оценки, практически исчезает возможность пропустить ошибку в программе ребенка (можно быстро рассмотреть практически все случаи) и можно одновременно работать с большим числом учащихся. Подробнее о вариантах проверки предлагаемого практикума, основанных на визуализации работы школьника, будет рассказано ниже.

Для выполнения задания дается одна или две недели,в зависимости от способностей учащихся и наличия у них доступа к компьютеру. Для обучения хорошему стилю программирования можно (и нужно) требовать, чтобы для описания каждой линии, фигуры или подобласти была введена своя,осмысленно поименованная логическая переменная, и только из этих переменных должно потом конструироваться основное логическое выражение.Задание может быть сформулировано и для выполнения его в электронной таблице Excel, только учителю придется приложить несколько больше усилий по организации визуальной проверки логических выражений,полученных школьниками на языке формул Excel.

Условие задания

Приведем пример условия задания данного практикума, сформулированное для изучающих язык программирования Паскаль. Работу учащимся предлагается оформить в виде функции.

Практикум “Логические выражения. Метод координат на плоскости”.

1. На выданном вам рисунке на координатной плоскости изображены окружности, прямые, параболы, ромбы, прямоугольники (некоторые из упомянутых линиймогут отсутствовать). Несколько областей, ограниченных этими линиями, заштрихованы. Данные линии можно описать уравнениями в декартовой прямоугольной системе координат (x, y) на плоскости:

у = f(x), или x = f(y), или f(x, y) = 0

На рисунке изображены также оси координат и координатная сетка, линии которой проведены через единицу масштаба. Восстановите по рисунку уравнения всех линий, изображенных на нем.

2. Напишите программу, которая позволит определять,принадлежит ли точка с координатами (x₀ , y₀ ) фигуре,состоящей из всех заштрихованных на рисунке областей,или нет. Точки на границах областей не рассматривать,то есть ваша программа может считать их как принадлежащими фигуре, так и не принадлежащими ей.

3. Программа запрашивает значения x ₀ , y ₀ , и они вводятся с клавиатуры во время ее выполнения. В качестве ответа программа выдает на экран TRUE, если точка с введенными координатами x₀ , y ₀ принадлежит заштрихованной фигуре, и FALSE, если точка x ₀, y ₀ не принадлежит ей.

4. В целях автоматической проверки вашей работына компьютере нужно:

a) всю вычислительную часть программы, в которой по координатам точки на плоскости получается результат вычисления логического выражения, обозначающих принадлежность этой точке заданной фигуре на плоскости, оформить в виде функции со следующим заголовком:

function Result(x, y: real): boolean;

Функция получает в качестве входных параметров два числа x, y действительного типа и должна выдавать результат логического типа: TRUE, если точка с координатами x, y оказалась внутри одной из заштрихованных областей, и FALSE, если точкаx, y лежит в незаштрихованной части плоскости.На границах областей функция может выдавать любой результат.Описание этой функции (заголовок и тело функции) надо поместить в файл с именем RESULT.PAS.

б) Для проверки правильности работы вашей функции, а следовательно, и выполнения задания в целом воспользуйтесь следующей программой:

PROGRAM Region;
var x, y: real;

BEGIN
write (‘Введите координаты точки (x,y):’);
readln(x,y);
writeln(Result(x,y));
readln
END.

Варианты заданий

На рис. 1—8 приведены восемь вариантов, которые соответствуют 32 различным заданиям. Из каждого рисунка можно сделать 4 различных задания, поразному обозначая направления осей OX и OY (каждый следующий вариант задания получается из предыдущего путем поворота его на 90°, например, по часовой стрелке).

Пример выполнения задания. Приведем образец для выполнения задания на примере рис. 1. На занятиях также полезно предварительно разобрать один из вариантов с той или иной степенью детализации, в зависимости от степени математической и программистской подготовки учащихся. Содержание такого занятия может выглядеть так. На данном рисунке изображено пять линий: две окружности, ромб и две параболы. Они ограничивают четыре заштрихованные части плоскости. Восстановим уравнения этих линий. В прямоугольной декартовой системе координат координаты точек (x, y), лежащих на окружности радиуса R с центром в точке (a, b), удовлетворяют уравнению: (x — a) 2 + (y — b) 2 = R 2 . Левая окружность имеет радиус 2,5. Центр ее в точке (—1, 2).

Поэтому ее описывает уравнение (x + 1) 2 + (y — 2) 2 = 2,5 2 .Правая окружность имеет радиус 3. Центр ее — в точке (3, —1). Поэтому ее уравнение (x — 3) 2 + (y + 1) 2 = 3 2 . Точки внутри левого круга удовлетворяют неравенству: (x+ 1) 2 + (y — 2) 2 2 .Аналогично, точки внутри правого круга удовлетворяют неравенству: (x — 3) 2 +(y+1) 2 2 . Координаты точек, лежащих на ромбе, показанном на рис. 9 (единичный ромб), удовлетворяют уравнению |x| + |y | = 1.

В этом нетрудно убедиться,раскрыв знак модуля и получив уравнения прямых для каждой из четвертей. Так, для точек первой четверти при x > 0, y > 0 имеем: x + y =1 — это уравнение прямой, проходящей через точки (1, 0) и (0, 1), что соответствует рисунку .

Точки внутри рассматриваемого ромба удовлетворяют неравенству |x| + |y| k x + b. Ромб в нашей задаче отличается от рассмотренного выше тем, что он растянут в 4 раза по оси x и в 3 раза по оси y и его центр смещен в точку (—2, —2). При растяжении линии в k раз по оси x ее уравнение отличается от исходного тем, что х делится на k. Аналогично, если линия растягивается по y в k раз, то в ее уравнении y надо разделить на k. При сдвиге линии по оси x на величину c в ее уравнении вместо x надо взять x — c, аналогично при сдвиге по y на с надо в уравнении y заменить на y — c .

Поэтому для нашего ромба получаем уравнение |x + 2| / 4 + |y + 2| / 3 = 1. Для проверки можно подставить координаты вершин ромба в уравнение и убедиться, что они удовлетворяют ему. Координаты точек внутри ромба удовлетворяют неравенству |x + 2| / 4 + |y + 2| / 3

Общее уравнение прямой, не параллельной оси OY, имеет вид: y = kx + b.Чтобы найти коэффициенты k и b для нашей прямой, подставим в общее уравнение координаты указанных точек,получим два линейных уравнения с двумя неизвестными:1 = k(—2) + b, —2 = k•2 + b.Решив систему, получим k = —3/4, b = —1/2. Получаем уравнение прямой y = —3/4x — 1/2. Тот же метод можно применить и для нахождения уравнения параболы, но уже по трем точкам, так как общее уравнение параболы y = ax 2 + bx + c имеет три неизвестных коэффициента. Рассмотренный прием называется методом неопределенных коэффициентов. Но мы найдем уравнения парабол уже испытанным методом преобразования фигур.

Координаты точек (x, y) , лежащих на параболе, проходящей через начало координат и точки (1, 1) и удовлетворяют уравнению y = x 2 . Вертикальная парабола на рисунке получается из рассмотренной выше сжатием по оси y в 2 раза и сдвигом по оси y на —5, поэтому ее уравнение получится из уравнения выше делением y на 1/2 и заменой y на y — (—5). В результате получаем уравнение (y + 5) / 0,5 = x 2 или y = 0,5x 2 — 5.Аналогично горизонтальная парабола получается из параболы x = y 2 сдвигом на —1 по x и на —2 по y. Ее уравнение имеет вид: x — (—1) = (y — (—2)) 2 или x = (y + 2) 2 — 1. Координаты точек внутри (над) первой параболы удовлетворяют неравенствуy > 0,5x 2 — 5. Координаты точек внутри (правее) второй параболы удовлетворяют неравенству x > (y + 2) 2 — 1.Рассмотрим теперь заштрихованные области. Область 1 представляет собой точки, находящиеся в круге 1 И НЕ вкруге 2, И НЕ внутри ромба. Область 2 представляет собой точки, находящиеся в ромбе И внутри параболы 1, И НЕ в круге 1, И НЕ внутри параболы 2. Область 3 представляет собой точки, находящиеся в параболе 1 И в параболе 2, И НЕ внутри ромба, И в круге 2. С 4-й, внешней, областью надо быть поосторожнее. На первый взгляд кажется, что область 4 представляет собой множество точек, находящихся НЕ внутри параболы 1 И НЕ внутр и параболы 2 И НЕ в круге 2. Но этому же условию удовлетворяют, например, и точки слева от параболы 1,не входящие в рассматриваемую область. Поэтому для описания точек, принадлежащих 4-й области, надо добавить условие: И лежащие в первой четверти — то есть удовлетворяют системе неравенств: И лежащие в первой четверти — то есть удовлетворяют системе неравенств : x > 0 И y > 0.О подобном условии при объяснении выполнения задания школьникам можно не упоминать, предоставив им возможность догадаться о его необходимости самостоятельно.

Часто школьники формулируют подобные условия лишь после визуальной проверки их работы, в результате которой обнаруживаются “лишние” точки, то есть такие, для которых логическая функция ученика сообщает, что они принадлежат заштрихованной фигуре. “Лишние” точки могут оказаться и вне той части плоскости, которая изображена на рисунке с заданием. В этом случае при проверке их также нужно суметь продемонстрировать школьнику.Вся заштрихованная фигура F представляет собой объединение четырех рассмотренных областей: F есть объединение точек, лежащих в области 1, ИЛИ в области 2, ИЛИ в области 3, ИЛИ в области 4. При записи сформулированного логического выражения на языке программирования выделенные заглавными буквами слова И, ИЛИ, НЕ нужно заменить на соответствующие логические операции (например, AND, OR, NOT в Паскале).Заметим, что использование логического отрицания НЕ в данном случае правомерно лишь потому, что точки на границе областей по условию задания мы не рассматриваем. Таким образом, не вполне корректное с точки зрения математики выражение позволяет более наглядно продемонстрировать смысл логических связок. Например, если точки внутри круга уже были описаны, то для описания точек, расположенных вне круга, проще использовать не отдельное неравенство, а выражение — НЕ внутри круга. Однако следует обратить внимание учащихся, что на самом деле выражение NOT (x 2 + y 2 2 ) соответствует(x 2 + y 2 R 2 ), а не (x 2 + y 2 > R 2 ).

Разобравшись с логическим выражением, можно приступить к составлению программы. Хорошим стилем программирования, не позволяющим запутаться и наделать ошибок, является следующий: для каждой необходимой для рассмотрения части плоскости надо ввести свою логическую переменную,принимающую истинное значение только для точек, принадлежащих именно этой части плоскости; этой переменной надо присвоить соответствующее арифметически-логическое выражение;· имя переменной должно быть мнемонично, то есть смысл его должен быть понятен любому человеку без перевода; окончательное логическое выражение конструируется с помощью логических операций только из таких переменных.Проиллюстрируем сказанное примером. Требуемая по условию задания функция для рассматриваемого примера может иметь следующий вид:

Function Result(x, y: real): Boolean;

var Circle1, Circle2, Rhomb, Parab1, Parab2,
XoY1, Reg1, Reg2, Reg3, Reg4 : Boolean;

BEGIN
Circle1 := sqr(x+1.0)+sqr(y-2.0)
Circle2 := sqr(x-3.0)+sqr(y+1.0)
Rhomb := abs(x+2.0)/4.0+abs(y+2.0)/3.0
Parab1 := y > 0.5*sqr(x)-5.0;
Parab2 := x > sqr(y+2.0)-1.0;
XoY1 := (x > 0.0) AND (y > 0.0);
Reg1 := Circle1 AND NOT Rhomb AND NOT Circle2; Reg2 := Rhomb AND Parab1 AND NOT Circle1 AND NOT Parab2; Reg3 := Parab1 AND Parab2 AND NOT Rhomb ANDCircle2;
Reg4 := NOT Parab1 AND NOT Parab2 AND NOT Circle2 AND XoY1;
Result:= Reg1 OR Reg2 OR Reg3 OR Reg4

Ее текст помещается в файл RESULT.PAS.Особого внимания в данной программе заслуживают присваивания логическим переменным логических выражений вида: b:= x=1. Как показывает практика, такие операции непривычны даже для программировавших ранее школьников. Таким образом, еще одна задача данного практикума — научить составлению и использованию в программировании произвольных логических выражений.

Тестирующая программа

Учитель проверяет выполненное задание с помощью специальной программы, которая высвечивает на экране точки, в которых функция учащегося дает результат TRUE. В графическом режиме компьютера просматриваются все пиксели из прямоугольника, ограничивающего рисунок. В результате на экране получается рисунок, который в случае правильного выполнения задания должен совпасть с рисунком, выданным в качестве задания. Несмотря на свою простоту, подобная проверка производит большой эффект на школьников, начинающих изучать программирование. Подобные визуальные средства проверки работ учащихся позволяют укрепить авторитет преподавателя, развить и закрепить интерес учащихся к предмету. Очевидно, что с помощью такой визуальной проверки невозможно определить, как именно поступает функция Result(x,y) с граничными точками областей. Это еще одна из причин, по которой в задании граничные точки не рассматриваются. Кроме того, в силу приближенности вычислений, выполняемых с действительными числами на компьютере, точно учесть все граничные точки заштрихованной фигуры зачастую практически невозможно. А, на наш взгляд, ставить задачу более строго, чем на практике будет проверяться ее решение, особого смысла нет. Приведем текст программы, позволяющей продемонстрировать, чему на самом деле соответствует логическое выражение, построенное и запрограммированное школьником и помещенное в файл

PROGRAM CheckTask_2;
Uses Graph;
const
xGrMin = 120;
xGrSize = 400;
xGrMax = xGrMin+xGrSize;
yGrMin = 70;
yGrSize = 300;
yGrMax = 370;
xMin = -8.0;
xMax = 8.0;
dX = (xMax-xMin)/xGrSize;
sX = 1.0/dX;
yMin = -6.0;
yMax = 6.0;
dY = (yMax-yMin)/yGrSize;
sY = 1.0/dY;

PROCEDURE GrInit;
var
grDriver : Integer;
grMode : Integer;
ErrCode : Integer;
BEGIN
grDriver := Detect;
InitGraph(grDriver,grMode, »);
<Предполагается, что графический драйвер egavga.bgi находится
в текущей директории, иначе укажите путь>
ErrCode := GraphResult;
if ErrCode grOk then
BEGIN
writeln(‘Ошибка установки граф. режима:’,GraphErrorMsg(ErrCode));
Halt(1)
END
END;

Function gX(x:real):word;
BEGIN
gX:=xGrMin+round((x-xMin)*Sx)
END;

Function gY(y:real):word;
BEGIN
gY:=yGrMax-round((y-yMin)*sY)
END;

PROCEDURE Grid;

var i:integer;
BEGIN
SetColor(red);
SetLineStyle(DottedLn,0,1);
for i:=round(yMin) to round(yMax) do
line(xGrMin,gY(i*1.0), xGrMax,gY(i*1.0));
for i:=round(xMin) to round(xMax) do
line(gX(i*1.0),yGrMin,gX(i*1.0),yGrMax)
END;

PROCEDURE Axis;

BEGIN
SetLineStyle(SolidLn,0,1);
Line(xGrMin,gY(0),xGrMax,gY(0));
Line(gX(0),yGrMin,gX(0),yGrMax)
END;

PROCEDURE ShowResult;
var x,y: real;
i,j: word;
BEGIN
y:=yMax;
for j:= yGrMin to yGrMax do
BEGIN
x:=xMin;
for i:= xGrMin to xGrMax do
BEGIN
if Result(x,y) then PutPixel(gX(x),gY(y),White);
x:=x+dX
END;
y:=y-dY
END
END;

BEGIN
GrInit;
Grid;
Axis;
Show Result;
readln;
CloseGraph
END.

Дополнительные замечания если тема “Подпрограммы и их параметры” еще не изучалась, а выполнение задания по образцу без детального объяснения учитель считает нецелесообразным, то нужно изменить пункт 4 условия задания на следующий:

4* . Для автоматической проверки работы на компьютере нужно:

· чтобы начало программы (первая строка ее текста) имело вид: var x,y: real;

· чтобы результат присваивался переменной с именем R логического типа.Например, программа может выглядеть так:

var x, y: real;
Circle1, Circle2, Rhomb, Parab1, Parab2, XoY1, Reg1, Reg2, Reg3, Reg4, R: Boolean;

BEGIN
write(‘Введите координаты точки (x,y): ‘);
readln(x,y);
Circle1 := sqr(x+1.0)+sqr(y-2.0) 0.5*sqr(x)-5.0;

Parab2 := x > sqr(y+2.0)-1.0;

XoY1 := (x > 0.0) AND (y > 0.0);

Reg1:= Circle1 AND NOT Rhomb AND NOT Circle2;
Reg2:= Rhomb AND Parab1 AND NOT Circle1 AND NOT Parab2;
Reg3:= Parab1 AND Parab2 AND NOT RhombAND Circle2;
Reg4:= NOT Parab1 AND NOT Parab2 ANDNOT Circle2 AND XoY1;
R:= Reg1 OR Reg2 OR Reg3 OR Reg4;
writeln(R);
readln
END.

Для автоматической визуальной проверки такого задания учителю придется написать дополнительную программу-конвертор, преобразующую текст программы школьника в функцию Result(x,y). При указанных в 4* ограничениях на текст программы это сделать не очень сложно. Все операторы — write, writeln, read, readln —из программы школьника при этом просто удаляются. Затем как программа-конвертор, так и приведенная выше программа-визуализатор записываются в командный файл, параметром которого служит имя файла с программой школьника, а результатом работы — картинка на экране компьютера. Эффект в таком случае достигается даже больший, чем при проверке задания, выполненного в виде функции. Причем лучших учащихся обычно заинтересовывает задача написания программы-конвертора, решение которой без знания теории конечных автоматов (в данномслучае для упрощенного синтаксического разбора текст а программы школьника) в полном объеме невозможно (например, окончанием оператора write не обязательно является первый встреченный символ “;”, ведь этот символ может быть просто вставлен школьником в строковую константу и т.д.). То есть проверка практикума “для всех”может дать тему для дополнительной работы со способными учениками, которая в курс школьной информатики не войдет, но пригодится при решении олимпиадных задач.