Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

Показательные уравнения

Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.

Показательные уравнения.Решу ЕГЭ 2022 по математике профиль на 100 баллов

Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

Видео:Показательная функция. 11 класс.Скачать

Показательная функция. 11 класс.

Определение

Показательным уравнением называется уравнение, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 16? Понятно, что в степень 4.

При том, x = 4 — единственное решение данного уравнения. Как вы

думаете почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2**x:

Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания Рис. 1 График показательной функции

данная функция монотонно возрастает (это когда x2 ˃ x1, y2 ˃ y1) и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Не существует других

значений x, кроме 4, таких, что 2**x = 16.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 Вконтакте

  • Одноклассники
  • Facebook
  • Twitter
  • Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияЕГЭ по математике 2022Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияКрасивой незнакомке я дарю цветы

    Видео:Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

    Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | Математика

    Нет комментариев

    Оставить комментарий

    Подписка на статьи

    Делюсь интересной информацией не только на блоге, но и в социальных сетях!

    YouTube Instagram Facebook Вконтакте Одноклассники Twitter

    Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

    11 класс, 12 урок, Показательные уравнения

    Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

    Содержание:

    Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнения такого вида принято называть показательными.

    Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Решении показательных уравнений

    При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

    Пусть Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Каждому значению показательной функции Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниясоответствует единственный показатель s.

    Пример:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решив это уравнение, получим

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Ответ: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

    Пример:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    а) Данное уравнение равносильно уравнению

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решая его, получаем:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияоткуда находим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    б) Разделив обе части уравнения на Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияполучим уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияравносильное данному. Решив его, получим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияУравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Ответ: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

    Пример:

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Обозначим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниятогда Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Таким образом, из данного уравнения получаем

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    откуда находим: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Итак, с учетом обозначения имеем:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

    Пример:

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

    Пример:

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример:

    При каком значении а корнем уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияявляется число, равное 2?

    Решение:

    Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решив это уравнение, найдем

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Ответ: при Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Показательные уравнения и их системы

    Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

    1 Приведение к одному основанию.

    Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания. Отсюда Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №1

    Решите уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Заметим, что Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияи перепишем наше уравнение в виде

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

    Пример №2

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Переходя к основанию степени 2, получим:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Согласно тождеству (2), имеем Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    2 Введение новой переменной.

    Пример №3

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Применив тождество 2, перепишем уравнение как Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Введем новую переменную: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияПолучим уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    которое имеет корни Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияОднако кореньУравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияне удовлетворяет условию Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияЗначит, Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №4

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Разделив обе части уравнения на Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияполучим:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    последнее уравнение запишется так: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решая уравнение, найдем Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Значение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияне удовлетворяет условию Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияСледовательно,

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №5

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Заметим что Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияЗначит Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Перепишем уравнение в виде Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Обозначим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияПолучим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Получим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Корнями данного уравнения будут Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Следовательно, Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    III Вынесение общего множителя за скобку.

    Пример №6

    Решить уравнение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    После вынесения за скобку в левой части Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания, а в правой Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания, получим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияРазделим обе части уравнения на Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияполучим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Системы простейших показательных уравнений

    Пример №7

    Решите систему уравнений: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

    системе :Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияОтсюда получим систему Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Очевидно, что последняя система имеет решение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №8

    Решите систему уравнений: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияПоследняя система, в свою очередь, равносильна системе: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияПодставив полученное значение во второе уравнение, получим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №9

    Решите систему уравнений: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Сделаем замену: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияТогда наша система примет вид: Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Очевидно, что эта система уравнений имеет решение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Тогда получим уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Приближенное решение уравнений

    Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания(читается как «кси»), что Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Рассмотрим отрезок Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниясодержащий лишь один корень уравнения .

    Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    1. вычисляется значение f(х) выражения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания
    2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания
    3. вычисляется значение Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниявыражения f(х) в точке Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания
    4. проверяется условие Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания
    5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания(левый конец отрезка переходит в середину);
    6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
    7. для нового отрезка проверяется условие Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания
    8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

    Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниявычисляются значения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Оказывается, что для корня Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияданного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияи Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияудовлетворяющие неравенству Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пример №10

    Найдите интервал, содержащий корень уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Поделив обе части уравнения на 2 , получим, Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Так как, для нового уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Значит, в интервале, Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияуравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияне имеет ни одного корня, так как,

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниявыполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияДля Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияпроверим выполнение условия

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

    Нахождение приближенного корня с заданной точностью

    Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниякорень уравнения принадлежит интервалу

    Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияПустьУравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияЕсли Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияприближенный

    корень уравнения с точностью Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания. Если Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниято корень лежит в интервале Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияесли Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниято корень лежит в интервале Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

    Пример №11

    Найдите приближенное значение корня уравнения Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основанияс заданной точностьюУравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Решение:

    Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

    (-1; 0). Из того, что Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основаниязаключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

    Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Пусть Уравнение решаемое приведением к показательной функции одного основания

    Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    📸 Видео

    11 класс, 11 урок, Показательная функция, её свойства и графикСкачать

    11 класс, 11 урок, Показательная функция, её свойства и график

    Показательная функция. Видеоурок 10. Алгебра 10 классСкачать

    Показательная функция. Видеоурок 10. Алгебра 10 класс

    ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

    ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравнений

    ✓ Логарифм. Начало | Показательная функция | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Логарифм. Начало | Показательная функция | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

    Показательная функция | 10 класс АлимовСкачать

    Показательная функция | 10 класс Алимов

    Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

    Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

    Алгебра 10 класс (Урок№21 - Показательная функция.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№21 - Показательная функция.)

    Производная показательной функции. 11 класс.Скачать

    Производная показательной функции. 11 класс.

    Показательные уравнения. Видеоурок 11. Алгебра 10 классСкачать

    Показательные уравнения. Видеоурок 11. Алгебра 10 класс

    Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

    Показательные уравнения — что это такое и как решать

    4.1. Показательные уравнения.Скачать

    4.1. Показательные уравнения.

    10 класс. Алгебра. Системы показательных уравнений.Скачать

    10 класс. Алгебра.  Системы показательных уравнений.

    Показательная функция - bezbotvyСкачать

    Показательная функция - bezbotvy
    Поделиться или сохранить к себе: