Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .
| y/x | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 100 | 2 | 2 | ||||
| 120 | 4 | 3 | 10 | 3 | ||
| 140 | 2 | 50 | 7 | 10 | ||
| 160 | 1 | 4 | 3 | |||
| 180 | 1 | 1 |
Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
где x x , y — выборочные средние величин x и y, σx, σy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и 
Определим коэффициент корреляции:
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
и уравнение x(y):
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.
Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:
| X / Y | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 1 | 5 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 6 | 3 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 2.57 и σy = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
yx = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
xy = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.
Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение
Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.
Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4
Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение
Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.
| X / Y | 0 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 |
| 0 | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 25 | 108 | 44 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 30 | 50 | 60 | 21 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 11 | 33 | 32 | 13 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 5 | 5 | 13 | 13 | 7 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Решение.
Скачать решение
Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:
- Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
- Определить линии регрессии и построить их графики.
Скачать
Видео:Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать
Решения задач: линейная регрессия и коэффициент корреляции
Парная линейная регрессия — это зависимость между одной переменной и средним значением другой переменной. Чаще всего модель записывается как $y=ax+b+e$, где $x$ — факторная переменная, $y$ — результативная (зависимая), $e$ — случайная компонента (остаток, отклонение).
В учебных задачах по математической статистике обычно используется следующий алгоритм для нахождения уравнения регрессии.
- Выбор модели (уравнения). Часто модель задана заранее (найти линейную регрессию) или для подбора используют графический метод: строят диаграмму рассеяния и анализируют ее форму.
- Вычисление коэффициентов (параметров) уравнения регрессии. Часто для этого используют метод наименьших квадратов.
- Проверка значимости коэффициента корреляции и параметров модели (также для них можно построить доверительные интервалы), оценка качества модели по критерию Фишера.
- Анализ остатков, вычисление стандартной ошибки регрессии, прогноз по модели (опционально).
Ниже вы найдете решения для парной регрессии (по рядам данных или корреляционной таблице, с разными дополнительными заданиями) и пару задач на определение и исследование коэффициента корреляции.
Видео:Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать
Примеры решений онлайн: линейная регрессия
Простая выборка
Пример 1. Имеются данные средней выработки на одного рабочего Y (тыс. руб.) и товарооборота X (тыс. руб.) в 20 магазинах за квартал. На основе указанных данных требуется:
1) определить зависимость (коэффициент корреляции) средней выработки на одного рабочего от товарооборота,
2) составить уравнение прямой регрессии этой зависимости.
Пример 2. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y:
X 100 150 200 250 300
Y 60 35 20 20 15
Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.
Пример 3. Найти выборочные числовые характеристики и выборочное уравнение линейной регрессии $y_x=ax+b$. Построить прямую регрессии и изобразить на плоскости точки $(x,y)$ из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию. Проверить адекватность линейной регрессионной модели по коэффициенту детерминации.
Пример 4. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеня и его прочностью.
Решая задачу необходимо построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициенты корреляции между двумя заданными величинами.
Пример 5. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей X и стоимостью ежемесячного технического обслуживания Y. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Корреляционная таблица
Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблице
Пример 7. В таблице 2 приведены данные зависимости потребления Y (усл. ед.) от дохода X (усл. ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между X и Y существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение $s$ и коэффициент детерминации $R^2$.
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и X.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом $x_n=7$ усл. ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным 0,05.
Пример 8. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден.ед.) приводится в таблице:
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
А) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
В) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.
Коэффициент корреляции
Пример 9. На основании 18 наблюдений установлено, что на 64% вес X кондитерских изделий зависит от их объема Y. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что между X и Y существует зависимость?
Пример 10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: $overline=82$ у.е., $S_x=31$ у.е., $overline=39$ у.е., $S_y=29$ у.е., $overline =3709$ (у.е.)2. При $alpha=0,05$ проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход $Х=130$ у.е.
Видео:Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать
Уравнение регрессии x на y и y на x
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакты
 |
