Уравнение регрессии параболы второй степени

1. Полиномальное уравнение регрессии:
   y = a + bx + cx 2 (см. метод выравнивания)
2. Гиперболическое уравнение регрессии:
3. Квадратичное уравнение регрессии:

1. Показательное уравнение регрессии:
2. Экспоненциальное уравнение регрессии:
3. Степенное уравнение регрессии:
4. Полулогарифмическое уравнение регрессии: y = a + b lg(x)

Видео:Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимацияСкачать

Нелинейные регрессии

полиномы разных степеней

у =а + bх +сх +dx3+ ε,

степенная y = axb ε

показательная у = аbх ε

В параболе второй степени

у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε

заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε

для оценки параметров которого используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

y= a0+a1x+a2x2+a3x3+ ε,

при замене х=х1, х2=х2, х3=х3 получим трехфакторную модель линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + а3 х3 + ε,

Для полинома k-порядка

y= a0+a1x+a2x2+…+akxk+ ε

получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + …+ аk хk + ε

Приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии

оценка параметров которого может быть дана МНК.

Система нормальных уравнений составит:

В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида

Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная

z = 1/x и y = а + bz + ε,

то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно:

z =1/y и z = a + bx +ε.

В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Линеаризация

• Парабола
• Гипербола
• Полулогарифмическая функция

Модели, нелинейные по параметрам

• нелинейные модели внутренне линейные
  — нелинейные модели внутренне нелинейные.

в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

где у – спрашиваемое количество;

ε – случайная ошибка.

логарифмирование данного уравнения по основанию ε приводит его к линейному виду:

lnу = lnа + b lnx + ln ε.

Если же модель представить в виде

то она становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида

В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель

т.к. логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

lnу = а + b х +lnε.

Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Среди них можно назвать и обратную модель вида:

В степенной функции

параметр b является коэффициентом эластичности. Его величина, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности:

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия

то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lnу, 1/у.

Так, в степенной функции y = axbε

МНК применяется к преобразованному уравнению

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Соответственно, если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным ∑(y-ŷх) =0, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

Корреляция для нелинейной регрессии

Для равносторонней гиперболы

Линейный коэффициент корреляции между переменными y и lnx

Ошибка разности между индексом детерминации R2yx и коэффициентом детерминации r2yx:

Видео:Нелинейная регрессия в MS Excel. Как подобрать уравнение регрессии? Некорректное значение R^2Скачать

Уравнение параболической регрессии

В некоторых случаях эмпирические данные статистической совокупности, изображенные наглядно с помощью координатной диаграммы, показывают, что увеличение фактора сопровождаются опережающим ростом результата. Для теоретического описания такого рода корреляционной взаимосвязи признаков можно взять уравнение параболической регрессии второго порядка:

(11.16)

где , – параметр, показывающий среднее значение результативного признака при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); – коэффициент пропорциональности изменения результата при условии абсолютного прироста признака-фактора на каждую его единицу; с – коэффициент ускорения (замедления) прироста результативного признака на каждую единицу фактора.

Положив в основу вычисления параметров , , с способ наименьших квадратов и приняв условно срединное значение ранжированного ряда за начальное, будем иметь Σх=0, Σх 3 =0. При этом система уравнений в упрощенном виде будет:

Из этих уравнений можно найти параметры , , с, которые в общем виде можно записать так:

(11.20)

(11.21)

(11.22)

Отсюда видно, что для определения параметров , , с необходимо рассчитать следующие значения: Σ у, Σ ху, Σ х 2 , Σ х 2 у, Σ х 4 . С этой целью можно воспользоваться макетом табл. 11.9.

Допустим, имеются данные об удельном весе посевов картофеля в структуре всех посевных площадей и урожае (валовом сборе) культуры в 30 сельскохозяйственных организациях. Необходимо составить и решить уравнение корреляционной взаимосвязи между этими показателями.

Т а б л и ц а 11.9. Расчет вспомогательных показателей для уравнения

Параболической регрессии

№ п.п.	х	у	ху	х 2	х 2 у	х 4
х1	у1	х1у1
х2	у2	х2у2
…	…	…	…	…	…	…
n	хn	уn	хnуn
Σ	Σх	Σу	Σху	Σх 2	Σх 2 у	Σх 4

Графическое изображение поля корреляции показало, что изучаемые показатели эмпирически связаны между собой линией, приближающейся к параболе второго порядка. Поэтому расчет необходимых параметров , , с в составе искомого уравнения параболической регрессии проведем с использованием макета табл. 11.10.

Т а б л и ц а 11.10. Расчет вспомогательных данных для уравнения

Параболической регрессии

Подставим конкретные значения Σ у=495, Σ ху=600, Σ х 2 =750, Σ х 2 у=12375, Σ х 4 =18750, имеющиеся в табл. 11.10, в формулы (11.20), (11.21), (11.22). Получим

Таким образом, уравнение параболической регрессии, выражающие влияние удельного веса посевов картофеля в структуре посевных площадей на урожай (валовой сбор) культуры в сельскохозяйственных организациях, имеет следующий вид:

(11.23)

Уравнение 11.23 показывает, что в условиях заданной выборочной совокупности средний урожай (валовой сбор) картофеля (10 тыс. ц) может быть получен без влияния изучаемого фактора – повышения удельного веса посевов культуры в структуре посевных площадей, т.е. при таком условии, когда колебания удельного веса посевов не будут оказывать воздействие на размер урожая картофеля (х=0). Параметр (коэффициент пропорциональности) в=0,8 показывает, что каждый процент повышения удельного веса посевов обеспечивает прирост урожая в среднем на 0,8 тыс. т, а параметр с=0,1 свидетельствует о том, что на один процент (в квадрате) ускоряется приращение урожая в среднем на 0,1 тыс. т картофеля.

🌟 Видео

МНК. Пример 2. Парная регрессияСкачать

Что такое полиномиальная регрессия? Душкин объяснитСкачать

РЕАЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ | Линейная регрессия | LinearRegression | МАШИННОЕ ОБУЧЕНИЕСкачать

Полиномиальная регрессияСкачать

Решение систем уравнений второй степениСкачать

Парная регрессия: парабола второго и третьего порядкаСкачать

Метод наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимацияСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№25 - Решение систем уравнений второй степени.)Скачать

Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Лекция 8. Линейная регрессияСкачать

Множественная степенная регрессияСкачать

Решение систем уравнений второй степени | Алгебра 9 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Эконометрика. Нелинейная регрессия. Степенная функция.Скачать

Эконометрика. Нелинейная регрессия. Гипербола.Скачать