Уравнение регрессии интерпретация его параметров

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

Видео:Эконометрика. Оценка значимости параметров уравнения регрессии. Критерий Стьюдента.Скачать

Интерпретация уравнения регрессии

Видео:Интерпретация коэффициента при логарифмировании в уравнениях регрессииСкачать

Интерпретация уравнения регрессии

• Интерпретация регрессионных уравнений Существует два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап Уточнить, потому что уравнения интерпретируются устно Тот, кто не является статистиком. Во вторых это Нет необходимости решать, делать это или больше. Тщательное исследование зависимости. Оба этапа очень важны.

• На втором этапе мы рассмотрим несколько поз А пока давайте обратим основное внимание на первый этап. Это объясняет Определяется регрессионной моделью функции спроса, то есть регрессией между расами Потребители переходят на еду (у) и располагаемый личный доход (х) Данные Отображается в графическом формате (рисунок 2.7). Предположим, что истинная модель описывается y = a + $ x + u, (2,41) И регрессионная оценка £ = 55,3 + 0,093 *. (2,42)

Данные приведены в таблице. Б.1 в США за период с 1959 по 1983 год. Людмила Фирмаль

Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом: коэффициент в х (коэффициент градиента) Единица у увеличивается на 0,093 единицы. х и у оба измеряются в мил Миллиарды долларов по фиксированной цене. Поэтому склон Если выручка увеличится на 1 миллиард долларов, 64 Питательные вещества увеличились на 93 миллиона долларов.

Это значит Из реальных долларовых доходов 9,3 цента тратятся на еду. Как насчет констант уравнения? Формально она Если x = 0, указывает уровень прогнозирования ^. Это ясно имеет смысл. Иногда нет. Если х = 0 достаточно далеко от значения выборки х, В этом случае буквальная интерпретация может привести к неверным результатам.

Даже если Линия регрессии является очень точным представлением наблюдаемого значения выборки. Нет гарантии, что то же самое произойдет с экстраполяцией влево или вправо. в 150 грамм 100 грамм 50 Стоимость пища 200 400 600 800 —100 • ”0 120—0 X доходов Рисунок 2.7. Зависимость расходов на питание от дохода (США, 1959-1983).

В рассматриваемом случае путем экстраполяции на вертикальную ось Если доход равен нулю, стоимость еды Сделал бы 55,3 миллиарда долларов. Такое толкование может быть правдоподобным в отношении Лица, которые могут тратить накопления пищи Кредиты или заемные средства. Тем не менее, это не имеет смысла, если По отношению ко всему.

В этом случае константа сделает единственное Функция: может определить положение линии регрессии на графике Поддельный. Примеры констант с ясным значением приведены в упражнении. Институт 2.1. При интерпретации уравнений регрессии очень важно помнить три Вещь. Во-первых, a является только оценкой a, а a b является оценкой (3. Интерпретация на самом деле просто оценка.

Во-вторых Уравнение регрессии отражает только общую тенденцию выборки. В то же время Индивидуальные наблюдения подвержены случайности. третий В этих случаях точность интерпретации зависит от точности спецификации уравнения. По сути, мы построили довольно простую зависимость от функции спроса Мы вернемся к этому в следующем разделе и уточнить.

• Определяя как определения, так и статистические методы, используемые при измерении Коэффициент уравнения. В то же время читателям рекомендуется начать с Упражнение 2.4, определить путем проведения параллельных экспериментов Функция спроса на другие товары приведена в таблице. B.1. После оценки регрессии возникают следующие вопросы:

Есть ли способ определить точность оценки? Это очень важно Рост будет обсуждаться в следующем разделе. Сначала рассмотрим дальше Подробно объясните роль остаточного члена и его влияние на оценки a и p. Интерпретация уравнений линейной регрессии.

Представьте себе простой способ интерпретации линейных коэффициентов. Людмила Фирмаль

Уравнение регрессии у = а + бх Если есть простая естественная единичная переменная Измерение. Сначала увеличим х на 1 единицу ( Единица переменной х) увеличивается у в б (единица переменной у). Второй этап Проверка того, что собой представляет хна на самом деле, Замените слово «единица измерения» на фактическое количество.

Третий этап Проверка возможности более простого выражения результата Это может быть не очень удобно. В примере В этом разделе указана единица измерения для х и у Потому что миллиарды долларов были потрачены, Замечательное упрощение. Константа а дает предсказанное значение у (единица ^). х = 0 Это может иметь или не иметь смысла в зависимости от значения Конкретная ситуация. Упражнение 1 2.1.

Регрессия стоимости продуктов питания (на основе того же Данные, для которых уже описана функция спроса, описанная в тексте) Меню определено как f = 1 в 1959 году, t = 2 в 1960 году и т. Д. Нини: у = 95,3 + 2,53 /. Интерпретация в Сравнение результатов оценки регрессии с аналогом Аналогичные результаты для модели регрессии функции спроса Пожалуйста, смотрите текст.

В этом случае постоянная Есть простая интерпретация. 2.2. Регрессивная зависимость от одноразовой зависимости стоимости жилья 1 Упражнение 2.4 особенно важно в том смысле, что оно запускает серию регрессий для развлечения. Общий спрос. Это оценивается читателем на протяжении всей книги.

Если это упражнение Если это делается группой студентов, учитель должен дать студентам задания Товарные. Более подробная информация о доступных данных доступна в Приложении B.go Личный доход в соответствии с таблицей. B.1, оба количества Можно оформить миллиарды долларов с 1959 по 1983 В следующем формате: j> = -27,6 + 0,178х.

Регрессивная зависимость и определение стоимости жилья с течением времени То же самое, что и упражнение 2.1, можно выразить как: f = 48,9 + 4,84 г. Вот экономическая интерпретация этих регрессий. У них разные предложения Описание тех же данных в переменной y. Сколько они Вы можете согласиться? 2,3.

Создайте уравнение регрессии между p и e из данных упражнения 1.3, сначала используйте все 12 наблюдений, затем исключите наблюдения 1. Дает экономическую интерпретацию для Японии. 2,4. В таблице. B.1 — потребительские расходы США располагаемый личный доход за период 1959-1983 гг. Назовите один продукт — не еду, а не домашнюю Пропустите регрессию между y и x. х — располагаемый личный доход, использующий Данные за 25 лет.

Интерпретация коэффициентов регрессии 2.5. Таким образом, регрессия между характеристиками продукта и временем Мы сделаем это в упражнении 2.1. Правильная интерпретация и сравнение У нее есть интерпретация регрессии, полученная в упражнении 2.4. 2.6. Два человека строят один и тот же набор временных тенденций 25 наблюдений за переменной y с использованием модели: у = а + р / + и

Где t — время (принимает значения непрерывно от 1 до 25), а -case Член чаепития. Получите первое уравнение: j> = 6,70 + 1,79 /. Вторая по ошибке оценивает регрессию между / и у и этим уравнением По мнению: t = -0,25 + 0,44 >>. Из этого уравнения он получает: у = 0,57 + 2,27 /. Объясните это уравнение и несоответствие между уравнениями, Получено первым исследователем. 2,7.

Как изменяется регрессионный балл в упражнении 2.1 Фактическая дата (1959-1983) используется как / вместо числа из 1 до 25? 2,8. Исследователи, 1 Не начинайте сначала вычислять коэффициент регрессии. Заполнены большинство арифметических расчетов в упражнении 1.3. 2 Учителя являются учениками, если это групповое занятие.

Удар, чтобы дать задачу оценки регрессии различных видов товаров в дополнение к еде жилья.люги, основанные на данных АМЕ (у) и общем располагаемом личном доходе (х) Риканская экономика (обе измеряются в миллиардах долларов) Фиксированная цена) с использованием данных и модели временных рядов за год: y = a + px + u. 1.

Исследователь выполняет регрессионный анализ, чтобы получить уравнение. Используйте обычный метод наименьших квадратов. Если предположить, что Обе ценности могут быть значительно недооценены внутренней системой Личные счета за желание людей не платить налоги Правительство, исследователи принимают два альтернативных улучшения Недооцененная оценка. 2.

Исследователи добавляют $ 90 млрд к показателю каждый год >> и Показатель х 200 миллиардов долларов. 3. Исследователь увеличивает x и y на 10% Каждый год. Оценить влияние корректировок (2) и (3) на результаты рег. ressii. 2.9. Исследователи имеют общие годовые данные временных рядов.

Заработная плата (W), валовой доход (P) и валовой доход (Y) Для страны сроком на n лет. По определению Y = W + T1. Получите регулярное уравнение, используя метод наименьших квадратов Рссии: fr = a0 + aiY; ft = Z> 0 + bxY. Указывает, что коэффициент регрессии автоматически удовлетворяет Следующее уравнение: но х + * я = 1; * o + K = 0. Интуитивно объясните, почему так должно быть. 2.10.

Исследователи не имеют нестохастической части истинной модели у пропорционально х. y = $ x + u. Исходя из исходного принципа, выведите формулу b, оценка МНК б. В этом случае (2.31) указывает, что это можно записать следующим образом. S = bj] + b2J, xj -2 £ Xx,. > 7 Для этого b = 2, xiyi / Zxf. 2,11. Выведите оценку наименьших квадратов модели из первого предположения. у = а + у. 68 То есть у это просто сумма констант Случайные участники с нами. Сначала переопределите 5, а затем дифференцируйте Цитирование.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Уравнение регрессии интерпретация его параметров

Регрессионный анализ позволяет приближенно определить форму связи между результативным и факторными признаками, а также решить вопрос о том, значима ли эта связь. Вид функции, с помощью которой приближенно выражается форма связи, выбирают заранее, исходя из содержательных соображений или визуального анализа данных. Математическое решение задачи основано на методе наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов. Рассмотрим содержание метода на конкретном примере. Пусть имеются данные о сборе хлеба на душу населения по совокупности черноземных губерний. От каких факторов зависит величина этого сбора? Вероятно, определяющее влияние на величину сбора хлеба оказывает величина посева и уровень урожайности. Рассмотрим сначала зависимость величины сбора хлеба на душу населения от размера посева на душу ( столбцы 1 и 2 табл .4 ) Попытаемся представить интересующую нас зависимость с помощью прямой линии. Разумеется, такая линия может дать только приближенное представление о форме реальной статистической связи. Постараемся сделать это приближение наилучшим. Оно будет тем лучше, чем меньше исходные данные будут отличаться от соответствующих точек, лежащих на линии. Степень близости может быть выражена величиной суммы квадратов отклонении, реальных значений от, расположенных на прямой. Использование именно квадратов отклонений (не просто отклонений) позволяет суммировать отклонения различных знаков без их взаимного погашения и дополнительно обеспечивает сравнительно большее внимание, уделяемое большим отклонениям. Именно этот критерий (минимизация суммы квадратов отклонений) положен в основу метода наименьших квадратов.

В вычислительном аспекте метод наименьших квадратов сводится к составлению и решению системы так называемых нормальных уравнений. Исходным этапом для этого является подбор вида функции, отображающей статистическую связь.

Тип функции в каждом конкретном случае можно подобрать путем прикидки на графике исходных данных подходящей, т. е. достаточно хорошо приближающей эти данные, линии. В нашем случае связь между сбором хлеба на душу и величиной посева на душу может быть изображена с помощью прямой линии ( рис. 14 ) и записана в виде

где у—величина сбора хлеба на душу (результативный признак или зависимая переменная); x—величина посева на душу (факторный признак или независимая переменная); a o и a 1 — параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Для нахождения искомых параметров нужно составить систему уравнений, которая в данном случае будет иметь вид

Полученная система может быть решена известным из школьного курса методом Гаусса. Искомые параметры системы из двух нормальных уравнений можно вычислить и непосредственно с помощью последовательного использования нижеприведенных формул:

где y i — i-e значение результативного признака; x i — i-e значение факторного признака; и — средние арифметические результативного и факторного признаков соответственно; n— число значений признака y i , или, что то же самое, число значений признака x i .

Пример 9. Найдем уравнение линейной связи между величиной сбора хлеба (у) и размером посева (х) по данным табл. 4. Проделав необходимые вычисления, получим из (6.17):

Таким образом, уравнение связи, или, как принято говорить, уравнение регрессии, выглядит следующим образом:

Интерпретация коэффициента регрессии. Уравнение регрессии не только определяет форму анализируемой связи, но и показывает, в какой степени изменение одного признака сопровождается изменением другого признака.

Коэффициент при х, называемый коэффициентом регрессии, показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

В примере 9 коэффициент регрессии получился равным 24,58. Следовательно, с увеличением посева, приходящегося на душу, на одну десятину сбор хлеба на душу населения в среднем увеличивается на 24,58 пуда.

Средняя и предельная ошибки коэффициента регрессии. Поскольку уравнения регрессии рассчитываются, как правило, для выборочных данных, обязательно встают вопросы точности и надежности полученных результатов. Вычисленный коэффициент регрессии, будучи выборочным, с некоторой точностью оценивает соответствующий коэффициент регрессии генеральной совокупности. Представление об этой точности дает средняя ошибка коэффициента регрессии ( ), рассчитываемая по формуле

у i , — i-e значение результативного признака; ŷ i — i-e выравненное значение, полученное из уравнения (6.15); x i —i-e значение факторного признака; σ x —среднее квадратическое отклонение х; n — число значений х или, что то же самое, значений у; m—число факгорных признаков (независимых переменных).

В формуле (6.18), в частности, формализовано очевидное положение: чем больше фактические значения отклоняются от выравненных, тем большую ошибку следует ожидать; чем меньше число наблюдений, на основе которых строится уравнение, тем больше будет ошибка.

Средняя ошибка коэффициента регрессии является основой для расчета предельной ошибки. Последняя показывает, в каких пределах находится истинное значение коэффициента регрессии при заданной надежности результатов. Предельная ошибка коэффициента регрессии вычисляется аналогично предельной ошибке средней арифметической (см. гл. 5), т. е. как t где t—величина, числовое значение которой определяется в зависимости от принятого уровня надежности.

Пример 10. Найти среднюю и предельную ошибки коэффициента регрессии, полученного в примере 9.

Для расчета прежде всего подсчитаем выравненные значения ŷ i для чего в уравнение регрессии, полученное в примере 9, подставим конкретные значения x i :

ŷ i = 17,6681 +24,5762*0,91 = 40,04 и т. д.

Затем вычислим отклонения фактических значений у i , от выравненных и их квадраты

Далее, подсчитав средний по черноземным губерниям посев на душу ( =0,98), отклонения фактических значений x i от этой средней, квадраты отклонений и среднее квадратическое отклонение , получим все необходимые составляющие формул (618) и (619):

Таким образом, средняя ошибка коэффициента регрессии равна 2,89, что составляет 12% от вычисленного коэффициента

Задавшись уровнем надежности, равным 0,95, найдем по табл. 1 приложения соответствующее ему значение t=1,96, рассчитаем предельную ошибку 1,96*2,89=5,66 и пределы коэффициента регрессии для принятого уровня надежности ( В случае малых выборок величина t находится из табл. 2 приложения. ). Нижняя граница коэффициента регрессии равна 24,58-5,66=18,92, а верхняя граница 24,58+5,66=30,24

Средняя квадратическая ошибка линии регрессии. Уравнение регрессии представляет собой функциональную связь, при которой по любому значению х можно однозначно определить значение у. Функциональная связь лишь приближенно отражает связь реальную, причем степень этого приближения может быть различной и зависит она как от свойств исходных данных, так и от выбора вида функции, по которой производится выравнивание.

На рис. 15 представлены два различных случая взаимоотношения между двумя признаками. В обоих случаях предполагаемая связь описывается одним и тем же уравнением, но во втором случае соотношение между признаками х и у достаточно четко выражено и уравнение, по-видимому, довольно хорошо описывает это соотношение, тогда как в первом случае сомнительно само наличие сколько-нибудь закономерного соотношения между признаками. И в том, и в другом случаях, несмотря на их существенное различие, метод наименьших квадратов дает одинаковое уравнение, поскольку этот метод нечувствителен к потенциальным возможностям исходного материала вписаться в ту или иную схему. Кроме того, метод наименьших квадратов применяется для расчета неизвестных параметров заранее выбранного вида функции, и вопрос о выборе наиболее подходящего для конкретных данных вида функции в рамках этого метода не ставится и не решается. Таким образом, при пользовании методом наименьших квадратов открытыми остаются два важных вопроса, а именно: существует ли связь и верен ли выбор вида функции, с помощью которой делается попытка описать форму связи.

Чтобы оценить, насколько точно уравнение регрессии описывает реальные соотношения между переменными, нужно ввести меру рассеяния фактических значений относительно вычисленных с помощью уравнения. Такой мерой служит средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по приведенной выше формуле (6.19).

Пример 11. Определить среднюю квадратическую ошибку уравнения, полученного в примере 9.

Промежуточные расчеты примера 10 дают нам среднюю квадратическую ошибку уравнения. Она равна 4,6 пуда.

Этот показатель аналогичен среднему квадратическому отклонению для средней. Подобно тому, как по величине среднего квадратического отклонения можно судить о представительности средней арифметической (см. гл. 5), по величине средней квадратической ошибки регрессионного уравнения можно сделать вывод о том, насколько показательна для соотношения между признаками та связь, которая выявлена уравнением. В каждом конкретном случае фактическая ошибка может оказаться либо больше, либо меньше средней. Средняя квадратическая ошибка уравнения показывает, насколько в среднем мы ошибемся, если будем пользоваться уравнением, и тем самым дает представление о точности уравнения. Чем меньше σ y.x , тем точнее предсказание линии регрессии, тем лучше уравнение регрессии описывает существующую связь. Показатель σ y.x позволяет различать случаи, представленные на рис. 15. В случае б) он окажется значительно меньше, чем в случае а). Величина σ y.x зависит как от выбора функции, так и от степени описываемой связи.

Варьируя виды функций для выравнивания и оценивая результаты с помощью средней квадратической ошибки, можно среди рассматриваемых выбрать лучшую функцию, функцию с наименьшей средней ошибкой. Но существует ли связь? Значимо ли уравнение регрессии, используемое для отображения предполагаемой связи? На эти вопросы отвечает определяемый ниже критерий значи-мости регрессии.

Мерой значимости линии регрессии может служить следующее соотношение:

где ŷ i —i-e выравненное значение; —средняя арифметическая значений y i ; σ y.x —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по формуле (6.19); n—число сравниваемых пар значений признаков; m—число факторных признаков.

Действительно, связь тем больше, чем значительнее мера рассеяния признака, обусловленная регрессией, превосходит меру рассеяния отклонений фактических значений от выравненных.

Соотношение (6.20) позволяет решить вопрос о значимости регрессии. Регрессия значима, т. е. между признаками существует линейная связь, если для данного уровня значимости вычисленное значение F ф [m,n-(m+1)] превышает критическое значение F кр [m,n-(m+1)], стоящее на пересечении m-го столбца и [n—(m+1)]-й строки специальной таблицы ( см. табл. 4 приложения ).

Пример 12. Выясним, связаны ли сбор хлеба на душу населения и посев на душу населения линейной зависимостью.

Воспользуемся F-критерием значимости регрессии. Подставив в формулу (6.20) данные табл. 4 и результат примера 10, получим

Обращаясь к таблице F-распределения для Р=0,95 (α=1—Р=0,5) и учитывая, что n=23, m =1, в табл. 4А приложения на пересечения 1-го столбца и 21-й строки находим критическое значение F кр , равное 4,32 при степени надежности Р=0,95. Поскольку вычисленное значение F ф существенно превосходит по величине F кр , то обнаруженная линейная связь существенна, т. е. априорная гипотеза о наличии линейной связи подтвердилась. Вывод сделан при степени надежности P=0,95. Между прочим, вывод в данном случае останется прежним, если надежность повысить до Р=0,99 (соответствующее значение F кр =8,02 по табл. 4Б приложения для уровня значимости α=0,01).

Коэффициент детерминации. С помощью F-критерия мы Установили, что существует линейная зависимость между величиной сбора хлеба и величиной посева на душу. Следовательно, можно утверждать, что величина сбора хлеба, приходящегося на душу, линейно зависит от величины посева на душу. Теперь уместно поставить уточняющий вопрос — в какой степени величина посева на душу определяет величину сбора хлеба на душу? На этот вопрос можно ответить, рассчитав, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Оно показывает долю разброса, учитываемого регрессией, в общем разбросе результативного признака и носит название коэффициента детерминации. Этот показатель, равный отношению факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, насколько «удачно» выбран вид функции ( Отметим, что по смыслу коэффициент детерминации в регрессионном анализе соответствует квадрату корреляционного отношения для корреляционной таблицы (см. § 2). ). Проведя расчеты, основанные на одних и тех же исходных данных, для нескольких типов функций, мы можем из них выбрать такую, которая дает наибольшее значение R 2 и, следовательно, в большей степени, чем другие функции, объясняет вариацию результативного признака. Действительно, при расчете R 2 для одних и тех же данных, но разных функций знаменатель выражения (6.21) остается неизменным, а числитель показывает ту часть вариации результативного признака, которая учитывается выбранной функцией. Чем больше R 2 , т. е. чем больше числитель, тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Наконец, отметим, что введенный ранее, при изложении методов корреляционного анализа, коэффициент детерминации совпадает с определенным здесь показателем, если выравнивание производится По прямой линии. Но последний показатель (R 2 ) имеет более широкий спектр применения и может использоваться в случае связи, отличной от линейной ( см. § 4 данной главы ).

Пример 13. Рассчитать коэффициент детерминации для уравнения, полученного в примере 9.

Вычислим R 2 , воспользовавшись формулой (6.21) и данными табл. 4:

Итак, уравнение регрессии почти на 78% объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, По-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Случай двух независимых переменных. Простейший случай множественной регрессии. В предыдущем изложении регрессионного анализа мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным. Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.

В математической статистике разработаны методы множественной регрессии ( Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум. ), позволяющие анализировать влияние на результативный признак нескольких факторных. К рассмотрению этих методов мы и переходим.

Возвратимся к примеру 9. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу. Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см. столбец З табл. 4). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.

После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:

где у—сбор хлеба на душу; х 1 —размер посева на душу; x 2 —урожай с десятины (в пудах); а 0 , а 1 , а 2 —параметры, подлежащие определению.

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ. При ручном счете можно воспользоваться известным из школьного курса методом Гаусса.

Пример 14. По данным табл. 4 описанным способом найдем параметры a 0 , а 1 , а 2 уравнения (6.22). Получены следующие результаты: a 2 =0,3288, a 1 =28,7536, a 0 =-0,2495.

Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x 1 ) и уровнем урожайности (х 2 ) имеет вид:

у=-0,2495+28,7536x 1 +0,3288x 2 .

Интерпретация коэффициентов уравнения множественной регрессии. Коэффициент при х 1 в полученном уравнении отличается от аналогичного коэффициента в уравнении примера 9.

Коэффициент при независимой переменной в уравнении простой регрессии отличается от коэффициента при соответствующей переменной в уравнении множественной регрессии тем, что в последнем элиминировано влияние всех учтенных в данном уравнении признаков.

Коэффициенты уравнения множественной регрессии поэтому называются частными или чистыми коэффициентами регрессии.

Частный коэффициент множественной регрессии при х 1 показывает, что с увеличением посева на душу на 1 дес. и при фиксированной урожайности сбор хлеба на душу населения вырастает в среднем на 28,8 пуда. Частный коэффициент при x 2 показывает, что при фиксированном посеве на душу увеличение урожая на единицу, т. е. на 1 пуд с десятины, вызывает в среднем увеличение сбора хлеба на душу на 0,33 пуда. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение сбора хлеба в черноземных губерниях России идет, в основном, за счет расширения посева и в значительно меньшей степени—за счет повышения урожайности, т. е. экстенсивная форма развития зернового хозяйства является господствующей.

Введение переменной х 2 в уравнение позволяет уточнить коэффициент при х 1 . Конкретно, коэффициент оказался выше (28,8 против 24,6), когда в изучаемой связи вычленилось влияние урожайности на сбор хлеба.

Однако выводы, полученные в результате анализа коэффициентов регрессии, не являются пока корректными, поскольку, во-первых, не учтена разная масштабность факторов, во-вторых, не выяснен вопрос о значимости коэффициента a 2 .

Величина коэффициентов регрессии изменяется в зависимости от единиц измерения, в которых представлены переменные. Если переменные выражены в разном масштабе измерения, то соответствующие им коэффициенты становятся несравнимыми. Для достижения сопоставимости коэффициенты регрессии исходного уравнения стандартизуют, взяв вместо исходных переменных их отношения к собственным средним квадратическим отклонениям. Тогда уравнение (6.22) приобретает вид

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6.22), определяем стандартизованные частные коэффициенты уравнения, так называемые бета-коэффициенты, по формулам:

где β 1 и β 2 —бета-коэффициенты; а 1 и а 2 —коэффициенты регрессии исходного уравнения; σ у , , и — средние квадратические отклонения переменных у, х 1 и х 2 соответственно.

Вычислив бета-коэффициенты для уравнения, полученного в примере 14:

видим, что вывод о преобладании в черноземной полосе россии экстенсивной формы развития хозяйства над интенсивной остается в силе, так как β 1 значительно больше, чем β 2 .

Оценка точности уравнения множественной регрессии.

Точность уравнения множественной регрессии, как и в случае уравнения с одной независимой переменной, оценивается средней квадратической ошибкой уравнения. Обозначим ее , где подстрочные индексы указывают, что результативным признаком в уравнении является у, а факторными признаками х 1 и x 2 . Для расчета средней квадратической ошибки уравнения множественной регрессии применяется приведенная выше формула (6.19).

Пример 15. Оценим точность полученного в примере 14 уравнения регрессии.

Воспользовавшись формулой (6.19) и данными табл. 4, вычислим среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Оценка полезности введения дополнительной переменной. Точность уравнения регрессии тесно связана с вопросом ценности включения дополнительных членов в это уравнение.

Сравним средние квадратические ошибки, рассчитанные для уравнения с одной переменной х 1 (пример 11) и для уравнения с двумя независимыми переменными х 1 и х 2 . Включение в уравнение новой переменной (урожайности) уменьшило среднюю квадратическую ошибку почти вдвое.

Можно провести сравнение ошибок с помощью коэффициентов вариации

где σ f —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения; —средняя арифметическая результативного признака.

Для уравнения, содержащего одну независимую переменную:

Для уравнения, содержащего две независимые переменные:

Итак, введение независимой переменной «урожайность» уменьшило среднюю квадратическую ошибку до величины порядка 7,95% среднего значения зависимой переменной.

Наконец, по формуле (6.21) рассчитаем коэффициент детерминации

Он показывает, что уравнение регрессии на 81,9% объясняет колебания сбора хлеба на душу населения. Сравнивая полученный результат (81,9%) с величиной R 2 для однофакторного уравнения (77,9%), видим, что включение переменной «урожайность» заметно увеличило точность уравнения.

Таким образом, сравнение средних квадратических ошибок уравнения, коэффициентов вариации, коэффициентов детерминации, рассчитанных до и после введения независимой переменной, позволяет судить о полезности включения этой переменной в уравнение. Однако следует быть осторожными в выводах при подобных сравнениях, поскольку увеличение R 2 или уменьшение σ и V σ не всегда имеют приписываемый им здесь смысл. Так, увеличение R 2 может объясняться тем фактом, что число рассматриваемых параметров в уравнении приближается к числу объектов наблюдения. Скажем, весьма сомнительными будут ссылки на увеличение R 2 или уменьшение σ, если в уравнение вводится третья или четвертая независимая переменная и уравнение строится на данных по шести, семи объектам.

Полезность включения дополнительного фактора можно оценить с помощью F-критерия.

Частный F-критерий показывает степень влияния дополнительной независимой переменной на результативный признак и может использоваться при решении вопроса о добавлении в уравнение или исключении из него этой независимой переменной.

Разброс признака, объясняемый уравнением регрессии (6.22), можно разложить на два вида: 1) разброс признака, обусловленный независимой переменной х 1 , и 2) разброс признака, обусловленный независимой переменной x 2 , когда х 1 уже включена в уравнение. Первой составляющей соответствует разброс признака, объясняемый уравнением (6.15), включающим только переменную х 1 . Разность между разбросом признака, обусловленным уравнением (6.22), и разбросом признака, обусловленным уравнением (6.15), определит ту часть разброса, которая объясняется дополнительной независимой переменной x 2 . Отношение указанной разности к разбросу признака, регрессией не объясняемому, представляет собой значение частного критерия. Частный F-критерий называется также последовательным, если статистические характеристики строятся при последовательном добавлении переменных в регрессионное уравнение.

Пример 16. Оценить полезность включения в уравнение регрессии дополнительной переменной «урожайность» (по данным и результатам примеров 12 и 15).

Разброс признака, объясняемый уравнением множественной регрессии и рассчитываемый как сумма квадратов разностей выравненных значений и их средней, равен 1623,8815. Разброс признака, объясняемый уравнением простой регрессии, составляет 1545,1331.

Разброс признака, регрессией не объясняемый, определяется квадратом средней квадратической ошибки уравнения и равен 10,9948 (см. пример 15).

Воспользовавшись этими характеристиками, рассчитаем частный F-критерий

С уровнем надежности 0,95 (α=0,05) табличное значение F (1,20), т. е. значение, стоящее на пересечении 1-го столбца и 20-й строки табл. 4А приложения, равно 4,35. Рассчитанное значение F ф значительно превосходит табличное, и, следовательно, включение в уравнение переменной «урожайность» имеет смысл.

Таким образом, выводы, сделанные ранее относительно коэффициентов регрессии, вполне правомерны.

Важным условием применения к обработке данных метода множественной регрессии является отсутствие сколько-нибудь значительной взаимосвязи между факторными признаками. При практическом использовании метода множественной регрессии, прежде чем включать факторы в уравнение, необходимо убедиться в том, что они независимы.

Если один из факторов зависит линейно от другого, то система нормальных уравнений, используемая для нахождения параметров уравнения, не разрешима. Содержательно этот факт можно толковать так: если факторы х 1 и x 2 связаны между собой, то они действуют на результативный признак у практически как один фактор, т. е. сливаются воедино и их влияние на изменение у разделить невозможно. Когда между независимыми переменными уравнения множественной регрессии имеется линейная связь, следствием которой является неразрешимость системы нормальных уравнений, то говорят о наличии мультиколлинеарности.

На практике вопрос о наличии или об отсутствии мультиколлинеарности решается с помощью показателей взаимосвязи. В случае двух факторных признаков используется парный коэффициент корреляции между ними: если этот коэффициент по абсолютной величине превышает 0,8, то признаки относят к числу мультиколлинеарных. Если число факторных признаков больше двух, то рассчитываются множественные коэффициенты корреляции. Фактор признается мультиколлинеарным, если множественный коэффициент корреляции, характеризующий совместное влияние на этот фактор остальных факторных признаков, превзойдет по величине коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и совокупностью всех независимых переменных.

Самый естественный способ устранения мультиколлинеарности — исключение одного из двух линейно связанных факторных признаков. Этот способ прост, но не всегда приемлем, так как подлежащий исключению фактор может оказывать на зависимую переменную особое влияние. В такой ситуации применяются более сложные методы избавления от мультиколлинеарности ( См.: Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятии. М., 1966; Ковалева Л. Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М., 1980. ).

Выбор «наилучшего» уравнения регрессии. Эта проблема связана с двойственным отношением к вопросу о включении в регрессионное уравнение независимых переменных. С одной стороны, естественно стремление учесть все возможные влияния на результативный признак и, следовательно, включить в модель полный набор выявленных переменных. С другой стороны, возрастает сложность расчетов и затраты, связанные с получением максимума информации, могут оказаться неоправданными. Нельзя забывать и о том, что для построения уравнения регрессии число объектов должно в несколько раз превышать число независимых переменных. Эти противоречивые требования приводят к необходимости компромисса, результатом которого и является «наилучшее» уравнение регрессии. Существует несколько методов, приводящих к цели: метод всех возможных регрессий, метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный и ступенчатый регрессионный методы.

Метод всех возможных регрессий заключается в переборе и сравнении всех потенциально возможных уравнений. В качестве критерия сравнения используется коэффициент детерминации R 2 . «Наилучшим» признается уравнение с наибольшей величиной R 2 . Метод весьма трудоемок и предполагает использование вычислительных машин.

Методы исключения и включения являются усовершенствованными вариантами предыдущего метода. В методе исключения в качестве исходного рассматривается регрессионное уравнение, включающее все возможные переменные. Рассчитывается частный F-критерий для каждой из переменных, как будто бы она была последней переменной, введенной в регрессионное уравнение. Минимальная величина частного F-критерия (F min ) сравнивается с критической величиной (F кр ), основанной на заданном исследователем уровне значимости. Если F min >F кр , то уравнение остается без изменения. Если F min кр , то переменная, для которой рассчитывался этот частный F-критерий, исключается. Производится перерасчет уравнения регрессии для оставшихся переменных, и процедура повторяется для нового уравнения регрессии. Исключение из рассмотрения уравнений с незначимыми переменными уменьшает объем вычислений, что является достоинством этого метода по сравнению с предыдущим.

Метод включения состоит в том, что в уравнение включаются переменные по степени их важности до тех пор, пока уравнение не станет достаточно «хорошим». Степень важности определяется линейным коэффициентом корреляции, показывающим тесноту связи между анализируемой независимой переменной и результативным признаком: чем теснее связь, тем больше информации о результирующем признаке содержит данный факторный признак и тем важнее, следовательно, введение этого признака в уравнение.

Процедура начинается с отбора факторного признака, наиболее тесно связанного с результативным признаком, т. е. такого факторного признака, которому соответствует максимальный по величине парный линейный коэффициент корреляции. Далее строится линейное уравнение регрессии, содержащее отобранную независимую переменную. Выбор следующих переменных осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции, в которых исключается влияние вошедших в модель факторов. Для каждой введенной переменной рассчитывается частный F-критерий, по величине которого судят о том, значим ли вклад этой переменной. Как только величина частного F-критерия, относящаяся к очередной переменной, оказывается незначимой, т. е. эффект от введения этой переменной становится малозаметным, процесс включения переменных заканчивается. Метод включения связан с меньшим объемом вычислений, чем предыдущие методы. Но при введении новой переменной нередко значимость включенных ранее переменных изменяется. Метод включения этого не учитывает, что является его недостатком. Модификацией метода включения, исправляющей этот недостаток, является шаговый регрессионный метод.

Шаговый регрессионный метод кроме процедуры метода включения содержит анализ переменных, включенных в уравнение на предыдущей стадии. Потребность в таком анализе возникает в связи с тем, что переменная, обоснованно введенная в уравнение на ранней стадии, может оказаться лишней из-за взаимосвязи ее с переменными, позднее включенными в уравнение. Анализ заключается в расчете на каждом этапе частных F-критериев для каждой переменной уравнения и сравнении их с величиной F кр , точкой F-распределения, соответствующей заданному исследователем уровню значимости. Частный F-критерий показывает вклад переменной в вариацию результативного признака в предположении, что она вошла в модель последней, а сравнение его с F кр позволяет судить о значимости рассматриваемой переменной с учетом влияния позднее включенных факторов. Незначимые переменные из уравнения исключаются.

Рассмотренные методы предполагают довольно большой объем вычислений и практически неосуществимы без ЭВМ. Для реализации ступенчатого регрессионного метода вполне достаточно малой вычислительной техники.

Ступенчатый регрессионный метод включает в себя такую последовательность действий. Сначала выбирается наиболее тесно связанная с результативным признаком переменная и составляется уравнение регрессии. Затем находят разности фактических и выравненных значений и эти разности (остатки) рассматриваются как значения результативной переменной. Для остатков подбирается одна из оставшихся независимых переменных и т. д. На каждой стадии проверяется значимость регрессии. Как только обнаружится незначимость, процесс прекращается и окончательное уравнение получается суммированием уравнений, полученных на каждой стадии за исключением последней.

Ступенчатый регрессионный метод менее точен, чем предыдущие, но не столь громоздок. Он оказывается полезным в случаях, когда необходимо внести содержательные правки в уравнение. Так, для изучения факторов, влияющих на цены угля в Санкт-Петербурге в конце XIX— начале XX в., было получено уравнение множественной регрессии. В него вошли следующие переменные: цены угля в Лондоне, добыча угля в России и экспорт из России. Здесь не обосновано появление в модели такого фактора, как добыча угля, поскольку Санкт-Петербург работал исключительно на импортном угле. Модели легко придать экономический смысл, если независимую переменную «добыча» заменить независимой переменной «импорт». Формально такая замена возможна, поскольку между импортом и добычей существует тесная связь. Пользуясь ступенчатым методом, исследователь может совершить эту замену, если предпочтет содержательно интерпретируемый фактор.

Видео:Множественная регрессия в ExcelСкачать

§ 4. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция

Построение уравнений нелинейной регрессии. До сих пор мы, в основном, изучали связи, предполагая их линейность. Но не всегда связь между признаками может быть достаточно хорошо представлена линейной функцией. Иногда для описания существующей связи более пригодными, а порой и единственно возможными являются более сложные нелинейные функции. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из них.

Одним из простейших видов нелинейной зависимости является парабола, которая в общем виде может быть представлена функцией (6.2):

Неизвестные параметры а 0 , а 1 , а 2 находятся в результате решения следующей системы уравнений:

Дает ли преимущества описание связи с помощью параболы по сравнению с описанием, построенным по гипотезе линейности? Ответ на этот вопрос можно получить, рассчитав последовательный F-критерий, как это делалось в случае множественной регрессии (см. пример 16).

На практике для изучения связей используются полиномы более высоких порядков (3-го и 4-го порядков). Составление системы, ее решение, а также решение вопроса о полезности повышения порядка функции для этих случаев аналогичны описанным. При этом никаких принципиально новых моментов не возникает, но существенно увеличивается объем расчетов.

Кроме класса парабол для анализа нелинейных связей можно применять и другие виды функций. Для расчета неизвестных параметров этих функций рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, как наиболее мощный и широко применяемый.

Однако метод наименьших квадратов не универсален, поскольку он может использоваться только при условии, что выбранные для выравнивания функции линейны по отношению к своим параметрам. Не все функции удовлетворяют этому условию, но большинство применяемых на практике с помощью специальных преобразований могут быть приведены к стандартной форме функции с линейными параметрами.

Рассмотрим некоторые простейшие способы приведения функций с нелинейными параметрами к виду, который позволяет применять к ним метод наименьших квадратов.

Функция не является линейной относительно своих параметров.

Прологарифмировав обе части приведенного равенства

получим функцию, линейную относительно своих новых параметров:

Кроме логарифмирования для приведения функций к нужному виду используют обратные величины.

с помощью следующих переобозначений:

может быть приведена к виду

Подобные преобразования расширяют возможности использования метода наименьших квадратов, увеличивая число функций, к которым этот метод применим.

Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости. Рассмотренные ранее линейные коэффициенты корреляции оценивают тесноту взаимосвязи при линейной связи между признаками. При наличии криволинейной связи указанные меры связи не всегда приемлемы. Разберем подобную ситуацию на примере.

Пример 17. В 1-м и 2-м столбцах табл. 5 приведены значения результативного признака у и факторного признака х (данные условные). Поставив вопрос о тесноте связи между ними, рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции по формуле (6.3). Он оказался равным нулю, что свидетельствует об отсутствии линейной связи. Тем не менее связь между признаками существует, более того, она является функциональной и имеет вид

Для измерения тесноты связи при криволинейной зависимости используется индекс корреляции, вычисляемый по формуле

где у i —i-e значение результативного признака; ŷ i —i-e выравненное значение этого признака; —среднее арифметическое значение результативного признака.

Числитель формулы (6.27) характеризует разброс выравненных значений результативного признака. Поскольку изменения выравненных, т. е. вычисленных по уравнению регрессии, значений признака происходят только в результате изменения факторного признака х. то числитель измеряет разброс результативного признака, обусловленный влиянием на него факторного признака. Знаменатель же измеряет разброс признака-результата, который определен влиянием на него всех факторов, в том числе и учтенного. Таким образом, индекс корреляции оценивает участие данного факторного признака в общем действии всего комплекса факторов, вызывающих колеблемость результативного признака, тем самым определяя тесноту зависимости признака у от признака х. При этом, если признак х не вызывает никаких изменений признака у, то числитель и, следовательно, индекс корреляции равны 0. Если же линия регрессии полностью совпадает с фактическими данными, т. е. признаки связаны функционально, как в примере 17, то индекс корреляции равен 1. В случае линейной зависимости между х и у индекс корреляции численно равен линейному коэффициенту корреляции г. Квадрат индекса корреляции совпадает с введенным ранее (6.21) коэффициентом детерминации. Если же вопрос о форме связи не ставится, то роль коэффициента детерминации играет квадрат корреляционного отношения η 2 y/x (6.12).

Таковы основные принципы и условия, методика и техника применения корреляционного и регрессионного анализа. Их подробное рассмотрение обусловлено тем, что они являются высокоэффективными и потому очень широко применяемыми методами анализа взаимосвязей в объективном мире природы и общества. Корреляционный и регрессионный анализ широко и успешно применяются и в исторических исследованиях.

📽️ Видео

Регрессия - как строить и интерпретировать. Примеры линейной и множественной регрессии.Скачать

Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать

Регрессия в ExcelСкачать

Эконометрика Линейная регрессия и корреляцияСкачать

Корреляционно-регрессионный анализ многомерных данных в ExcelСкачать

Линейная регрессия. Вероятностная интерпретация, связь с максимизацией правдоподобияСкачать

Множественная регрессияСкачать

Простые показатели качества модели регрессии (R2, критерии Акаике и Шварца)Скачать

Линейная регрессияСкачать

РегрессияСкачать

Что такое линейная регрессия? Душкин объяснитСкачать

Эконометрика. Оценка значимости уравнения регрессии. Критерий ФишераСкачать

Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Коэффициент линейной регрессии, 2 способаСкачать