Уравнение равновесия для консольной балки (2 видео)

Пример №3. Консольная балка (жесткая заделка слева)

Содержание

Определение опорных реакций
Построение эпюр
iSopromat.ru
Уравнения статики
Дополнительные материалы
Решение задач, контрольных и РГР
Определение реакций опор балки – решение задачи
Как определить реакции опор балки
Пример решения задачи на определение реакций опор балки
Решение задачи
Уравнения равновесия для сил
Уравнения равновесия для моментов
Решение уравнений равновесия
Проверка правильности решения
Второй способ решения
🌟 Видео

Определение опорных реакций

Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
1. На балку наложена связь в точке A (слева) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (H_A, R_A, M_A).
2. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣF_x=0, ΣF_y=0, ΣM_A=0.
ΣF_x=0: H_A + P₁*cos(30)=0
ΣF_y=0: R_A — q₁*1.8 — P₁*sin(30)=0;
ΣM_A=0: M_A — q₁*1.8*(1.8/2) + M₁ — 3*P₁*sin(30)=0;
3. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
H_A=- P₁*cos(30)=- 7*0.8660=-6.06 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
R_A=q₁*1.8 + P₁*sin(30)=2*1.8 + 7*sin(30)=7.10 (кН)
M_A=q₁*1.8*(1.8/2) — M₁ + 3*P₁*sin(30)=2*1.8*(1.8/2) — 19 + 3*7*sin(30)=-5.26 (кН*м), так как момент отрицателен, на расчетной схеме направим его в противоположную сторону.
4. Выполним проверку, составив дополнительное моментное уравнение отоносительно свободного конца балки:
— 3*R_A — M_A + q₁*1.8*(1.2+1.8/2) + M₁ + 0*P₁*sin(30)=- 3*7.10 — 5.26 + 2*1.8*(1.2+1.8/2) + 19.00 + 0*7*sin(30)=0

Построение эпюр

Рассмотрим второй участок 1.8 ≤ x₂

Видео:Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)Скачать

iSopromat.ru

Для плоской системы нагружения, при определении опорных реакций и внутренних силовых факторов исходя из условия равновесия системы, можно составить только три уравнения статики.

Ранее были показаны примеры составления уравнений равновесия для пространственной и плоской систем сил.

При плоском поперечном изгибе можно записать только два уравнения. Это частный случай плоского нагружения. В этом случае все силы приложенные к балке расположены нормально к ее оси, т. е. не дают проекций на ось балки.

В результате имеем следующие уравнения статики:

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю
Сумма моментов относительно любой точки системы тоже равна нулю.

Эти уравнения являются уравнениями равновесия рассматриваемой балки находящейся под действием комплекса нагрузок.

Рассмотрим пример плоского поперечного изгиба, когда все внешние силы имеют исключительно вертикальное направление.

Видео:Определение реакций опор в жесткой заделке консольной балкиСкачать

Уравнения статики

Сумма проекций всех сил на ось Y:

Здесь силы и нагрузки записаны в соответствии с правилом знаков для проекций сил.

Равнодействующая распределенной нагрузки определяется произведением ее интенсивности на длину.

Проекции сил на ось Z в данном случае равны нулю:

Сумма моментов всех нагрузок, например, относительно точки A :

Видео:Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Дополнительные материалы

Порядок определения момента от распределенной нагрузки.
Правила знаков при составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии.

Совместное решение системы полученных уравнений позволяет определить величину и направление двух неизвестных усилий.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Определение реакций опор простой рамыСкачать

Решение задач, контрольных и РГР

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

Видео:определение реакций в стержнях от действия грузовСкачать

Определение реакций опор балки – решение задачи

Видео:БАЛКА - 90 СТУДЕНТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО СТРОЯТ ЭПЮРЫ после просмотра этого видео!Скачать

Как определить реакции опор балки

Видео:1. Определение опорных реакций в балке ( практический курс по сопромату )Скачать

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и B, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н ; G = 22,6 Н ; q = 2 Н/м ; M = 42,8 Н·м ; a = 1,3 м ; b = 3,9 м ; α = 45° ;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Силы, действующие на балку.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A , разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD :
AC = CD = b/2 = 1,95 м .

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2) .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
; ; .

Сила перпендикулярна плечу AB . Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A , сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK . Поскольку, относительно оси A , эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3) .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1) .
(П2) .
(П3) .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:

Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A :
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E . Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н . Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм . Мы получили значение -0,03 Нм . Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно – для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B .
; ; ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4) ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1) .
(П3) ;
(П4) .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-10-2017 Изменено: 28-12-2021