Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки (3 видео)

Лекция 8. Трехшарнирные арки и рамы

Трехшарнирной аркой называется криволинейный брус, имеющий на оси три шарнира.

Если каждая полуарка состоит из ломанных участков, такая система называется трех шарнирной рамой.

Выпуклость арочных систем, в отличии от висячих, направленно против действия внешней нагрузки.

Расстояние между центрами опорных шарниров L называется пролетом арки, а расстояние от среднего шарнира до прямой, соединяющей опорные шарниры ƒ – стрелой подъема арки.

Трехшарнирные арки являются распорными системами, т. к. от вертикальных нагрузок возникают горизонтальные составляющие опорных реакций.

Реакции опор трехшарнирной системы характеризуются каждая двумя параметрами: вертикальной и горизонтальной составляющей опорной реакции. Они могут быть определены из трех уровней статики и четвертого уравнения, выражающего равенство нулю момента всех сил, действующих на левую или правую часть системы, относительно шарнира С. Следовательно трехшарнирная система является статически определимой.

При действии на трехшарнирную систему вертикальной нагрузки, горизонтальные составляющие Н_а и Н_в реакций опор, называемые распором, равны между собой.

;

; `

Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке

В поперечных сечениях арки возникают изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.

При определении внутренних усилий в сечениях арки используют такое же правило знаков, как и для балок.

.I.

Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки

Для балки:

(1)

II.

Для балки:

(2)

III.

В выражениях (1), (2), (3) принято: М º _х, Q º _х балочный момент и балочная поперечная сила в рассматриваемом сечении (см. рис. б).

Рациональное очертание оси арки

Наиболее рационально материал арки используется в том случае, когда изгибающий момент в любом сечении арки = 0.

Содержание

iSopromat.ru
Определение реакций опор
Арка с опорными шарнирами, расположенными на одном уровне
Расчет внутренних усилий
Рациональное очертание для трехшарнирной арки
Изгибающие моменты в сечениях арок
📽️ Видео

Видео:Рациональная форма аркиСкачать

iSopromat.ru

Рассмотрим общий порядок расчета внутренних силовых факторов в трехшарнирных системах.

Решение традиционно начинается с расчета реакций в опорах.

Видео:Рациональные уравнения. ОГЭ номер 21 | ЕГЭ номер 13 | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение реакций опор

При действии внешней нагрузки (сосредоточенных сил Р_i, и распределенных нагрузок q_i) на трехшарнирные системы, в каждой из опор возникают по две реакции: вертикальные — V_A (Y_A), V_B (Y_B) и горизонтальные (распор) – Н_A(X_A), Н_B(X_В) (рисунок 3.27).

Определение опорных реакций в таких системах производится с помощью составления уравнений равновесия.

Рисунок 3.27 – Трехшарнирная арка

Наряду с тремя основными уравнениями статики для всей системы:

необходимо записать четвертое уравнение, выражающее условие равенства нулю изгибающего момента М_с в замковом шарнире «С»:

Определение опорных реакций таким способом довольно затруднительно, так как в ряде случаев приходится решать систему из четырех линейных уравнений.

При действии на трехшарнирную конструкцию только обычной вертикальной нагрузки, определение опорных реакций несколько упрощается.

Рассмотрим определение опорных реакций при действии только вертикальной нагрузки на примере трехшарнирной арки.

Арка с опорными шарнирами, расположенными на одном уровне

Рисунок 3.28 – Пример расчета трехшарнирной арки

Для определения опорных реакций V_A, V_B, Н_A, Н_B в арке составим упомянутые выше уравнения равновесия:

Получаем, что выражение для опорной реакции V_B в арке совпадает с аналогичным выражением в балке на двух шарнирных опорах того же пролета загруженной той же вертикальной нагрузкой.

Воспользуемся нулевым индексом для обозначения величин, характеризующих эту простую балку.

2) Опорную реакцию V_A можно определить из условия ∑Y_i= 0
или ∑М_B=0;

Делаем такой же вывод: определение V_B аналогично определению V_B°.

При действии лишь вертикальной нагрузки Р_i, горизонтальные опорные реакции (распор) равны между собой.

3) Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение:

Построим для приведенной схемы простой балки эпюру М, на которой величина момента под шарниром «С» равна:

Следовательно, последнее уравнение равновесия, выраженное через момент М, будет иметь вид: М_c 0 −H×f = 0, H = М_c 0 / f.

Таким образом: величина распора арки (рамы) при действии вертикальной нагрузки равна балочному моменту в сечении под замковым шарниром «С», уменьшенному в f раз.

Полученная формула справедлива при действии вертикальных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, как в арках, так и в трехшарнирных рамах.

Если трехшарнирная система имеет приподнятую затяжку, то претерпевает изменение только знаменатель:

где t — расстояние от оси затяжки до линии, соединяющей опорные шарниры (рисунок 3.29)

Рисунок 3.29 – Трехшарнирная рама с затяжкой

Видео:Трехшарнирная арка. Определение усилий M,Q,N в обозначенных сечениях аналитическим методомСкачать

Расчет внутренних усилий

Определим величину и направление внутренних силовых факторов в трехшарнирной арке при действии вертикальной нагрузки

Для составления выражений внутренних усилий в трехшарнирной арке рассмотрим равновесие ее отсеченной части, расположенной слева от сечения.

а) Выражение для изгибающего момента М_к

Рисунок 3.30 – Отсеченная левая часть арки

τ − ось, касательная к очертанию арки в точке «К»;

σ- ось, перпендикулярная к оси в точке «К»;

М, Q, N — внутренние усилия, направленные согласно соответствующим правилам знаков.

Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки «К»:

Выделяя из этого уравнения М_к и учитывая, что:

Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента М за счет возникающего распора Н.

б) Выражение для поперечной силы Q_к

Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:

Выделяя Q_к, с учетом того, что V_A − Р_i = Q_к о , окончательно получим:

Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:

Выделяя N_к, с учетом того, что V_A − Р_i = Q_к о , окончательно получим:

Видео:Арка. Эпюры M, Q, NСкачать

Рациональное очертание для трехшарнирной арки

Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю.

Так в предыдущем пункте, при действии вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента: М_к= М_к o − H × y_к

Положив это выражение равным нулю и выделяя выражение для ординаты y_к, будем иметь:

Анализ полученной формулы показывает:

− уравнение рациональной оси арки определяется видом нагрузки;

− при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональной, если ее очертание меняется по закону изменения балочного момента.

Рассмотрим пример по определению рационального очертания арки, загруженной по длине равномерно распределенной нагрузкой.

Для произвольного сечения «К» с координатами y_к, x_к имеем: y_к = М_к o / Н

Рассматривая равновесие по моментам левой отсеченной части, получим: М (x) = q × L × x/ 2 − q × x 2 / 2

Рисунок 3.31 – Определение рационального очертания оси арки

Таким образом, рациональной осью для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету является квадратная парабола.

Это объясняется тем, что постоянная нагрузка на арку и ее собственный вес составляют большую долю от общей нагрузки.

Как известно, эти виды нагрузок близки к равномерно распределенным.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ — Как решать Дробно Рациональные уравнения?Скачать

Изгибающие моменты в сечениях арок

Трехшарнирные системы

Трехшарнирная система состоит из двух дисков, соединенных между собой шарниром (С) и прикрепленных шарнирами (А и В) к земле.

1) 2)

Если диски I и II представляют собой криволинейные брусья, то такая система называется трехшарнирной аркой. Если дисками I и II являются ломаные стержни, то система называется трехшарнирной рамой.

Шарниры А и В называются опорными или пятовыми шарнирами, С — ключевой шарнир.

Расстояние между опорными шарнирами АВ по горизонтали называется пролетом арки или рамы. Расстояние от ключа до линии, соединяющей опорные шарниры, называется стрелой подъема арки f.

Если — пологие арки

— повышенные арки

Трехшарнирные системы являются статически определимыми системами, так как :

W = 3D — 2Ш₀ — С_оп = 3·2 — 2·1 — 4 = 0

и геометрически неизменяемыми.

Трехшарнирные системы — это распорные системы, так как в их опорах, даже при отсутствии вертикальной нагрузки, возникают горизонтальные составляющие опорных реакций.

Для определения опорных реакций мы можем составить три уравнения статики, а наличие ключевого шарнира С позволяет составить дополнительное уравнение:

или

и определить все четыре опорные реакции.

Трехшарнирные системы могут быть симметричными и несимметричными

Опорные шарниры А и В могут располагаться в одном уровне (рис.3) и могут располагаться в разных уровнях (рис.4) — такие системы называются ползучими арками или рамами.

В практике часто встречаются системы, у которых распор воспринимается затяжкой:

арка с затяжкой арка с повышенной затяжкой

Если каждая полуарка выполнена в виде фермы, то такая система называется сквозной аркой или трехшарнирной фермой.

Сплошные трехшарнирные арки. Определение опорных реакций.

При действии на арку внешней нагрузки, в каждой ее опоре возникают по две реакции: горизонтальная и вертикальная.

Для определения всех опорных реакций мы можем записать для плоской системы три уравнения статики и для трехшарнирной арки можно составить четвертое уравнение, приравняв к нулю сумму моментов правых либо левых сил относительно шарнира С.

Следовательно реакции определяются:

1) вертикальные реакции

Следовательно, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирных систем, равны балочным.

2) горизонтальные реакции

Если на трехшарнирную арку действует только вертикальная нагрузка, то распоры равны между собой

Чем больше стрела подъема арки, тем меньше распор.

Определение внутренних усилий в сечениях трехшарнирной арки

Внутренними усилиями, возникающими в поперечных стержнях арки, являются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.

Правило знаков

Изгибающие моменты в сечениях арок

Определим М в сечении I-I

— момент в сечении простой балки, расположенном под сечение арки, причем балка имеет тот же пролет и ту же нагрузку, что и арка.

Тогда изгибающий момент в любом сечении балки определяется

М_х = – H·y (1)

Из выражения (1) следует, что моменты в сечениях арки меньше моментов в соответствующих сечениях балки, следовательно, арка экономичнее балки и аркой можно перекрыть пролет гораздо больше, чем балкой.

Для определенного вида нагрузки можно подобрать такое очертание оси арки, что изгибающий момент М в любом сечении арки будет равен нулю. Такие арки называются арками с рациональным очертанием оси.

Уравнение оси арки рационального очертания.