Уравнение расстояния от точки до прямой в пространстве онлайн (5 видео)

Содержание

Расстояние от точки до прямой онлайн
Предупреждение
Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения
1. Расстояние от точки до прямой на плоскости
2. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Онлайн калькулятор. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Найти расстояние между точкой и прямой в пространстве
Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния между точкой и прямой в пространстве
Дополнительные возможности калькулятора вычисления расстояния между точкой и прямой в пространстве
Теория. Расстояние между точкой и прямой в пространстве
Расстояние от точки до прямой в пространстве: онлайн-калькулятор
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
Как найти расстояние от прямой до точки в пространстве. Онлайн-калькулятор
Почему калькуляторы на нашем сайте часто используют:
🎥 Видео

Видео:Расстояние от точки до прямойСкачать

Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:18. Расстояние от точки до прямой в пространствеСкачать

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

Уравнение расстояния от точки до прямой в пространстве онлайн

(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M₀ до прямой L содержит следующие шаги:

построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)
найти найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

A(x−x₀)+B(y−y₀)=0

(2)

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

m(x−x₀)+p(y−y₀)=0

(3)

mx+py−mx₀−py₀=0

(4)

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

m(mt+x’)+p(pt+y’)−mx₀−py₀=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’−mx₀−py₀=0

(6)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

Далее находим расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу:

(7)

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(−6, 2) до прямой

(8)

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (6):

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M₀(-6, 2) и M₁

Упростим и решим:

Расстояние от точки M₀(-6, 2) до прямой (8) :

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

(9)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)
найти расстояние между точками M₀ и M₁.

A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0

(10)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

m(x−x₀)+p(y−y₀)+l(z−z₀)=0

mx+py+lz−mx₀−py₀−lz₀=0

(11)

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

(12)

Подставим значения x и y в (11):

m(mt+x’)+p(pt+y’)+l(lt+z’)−mx₀−py₀−lz₀=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’+l 2 t+ly’−mx₀−py₀−lz₀=0

(13)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

M₁(x₁, y₁, , z₁),

Далее вычисляем расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу

(14)

которое является расстоянием между точкой M₀ и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой

(15)

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M₁:

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M₀ до прямой (15):

Упростим и решим:

Расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой (15) :

Видео:Расстояние от точки до прямой | Вывод формулы через Подобие и ПифагораСкачать

Онлайн калькулятор. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти расстояния между точкой и прямой в пространстве.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве и закрепить пройденный материал.

Видео:Лекция 24. Расстояние от точки до прямой на плоскости.Скачать

Найти расстояние между точкой и прямой в пространстве

Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния между точкой и прямой в пространстве

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления расстояния между точкой и прямой в пространстве

Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Расстояние между точкой и прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если в пространстве заданы координаты точки M₀( x ₀, y ₀, z ₀) и известны s = — направляющий вектор прямой l , M₁( x ₁, y ₁, z ₁) — координаты точки лежащей на l , то можно найти расстояние от точки M₀( x ₀, y ₀, z ₀) до прямой l , используя формулу

d =	\| M₀M₁ × s \|
	\| s \|

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Видео:Видеоурок "Расстояние от точки до прямой"Скачать

Расстояние от точки до прямой в пространстве: онлайн-калькулятор

Расстояние от точки до прямой в пространстве равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Чтобы быстро узнать ответ задачи, можно использовать автоматические подсчеты. Набор калькуляторов поможет вычислить результат любого задания по алгебре и геометрии.

Сервисом пользуются учащиеся школ и университетов. Также за готовым решением обращаются преподаватели, родители учеников и специалисты инженерного профиля.

1. Выберите, в какой форме представлено уравнение прямой.

2. Введите данные в соответствующие окна. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».

3. Получите решение и ответ.

2. Введите данные в соответствующие окна. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».

3. Получите решение и ответ.

Видео:7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Видео:Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Как найти расстояние от прямой до точки в пространстве. Онлайн-калькулятор

Вычислить расстояние между точкой и прямой в пространстве можно по формуле:

Программа автоматически выполняет комплекс действий. Нет необходимости вычислять результат каждого действия отдельно. Это сокращает время на решение задания и исключает ошибки и потерю данных.

Видео:Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Почему калькуляторы на нашем сайте часто используют:

Вы получаете быстрый расчет без ожидания регистрации и перехода по сторонним страницам. Во время проверки знаний особенно важно без промедлений получить решение.
Расчеты на сайте не требуют платежей. Раздел с вычислениями позволяет ученикам повышать свой уровень знаний без посторонней помощи. Понятный интерфейс с подробными действиями позволяет лучше запомнить материал.
На запросы не установлены ограничения. Тренироваться в подсчетах, используя любую программу раздела, можно необходимое количество раз в удобное для вас время.

Пошаговые вычисления помогут проверить собственные расчеты, выявить ошибки в алгоритме. Готовое решение можно использовать в качестве примера, запоминать и применять в аналогичных заданиях. Во время зачета или экзамена на сайте можно быстро решить задание и получить хорошую оценку. Если тема не поддается освоению, обратитесь к консультанту. Он найдет для вас преподавателя по выгодной цене.