Уравнение пуазейля для объемной скорости движения жидкости в капилляре

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Установленные им для этого случая закономерности имеют важное значение для понимания сущности гемодинамических явлений и их количественного описания.

Пуазейль установил, что вязкость жидкости может быть определена по объему жидкости, протекающей через капиллярную трубку. Этот метод применим только к случаю ламинарного течения жидкости.

Пусть на концах вертикальной капиллярной трубки длиной l и радиусом R создана постоянная разность давлений Dр. Выделим внутри капилляра столбик жидкости радиусом r и высотой h. На боковую поверхность этого столбика действует сила внутреннего трения:

(17)

Если р₁ и р₂ – давления на верхнее и нижнее сечения соответственно, то силы давления на эти сечения будут равны:

Сила тяжести равна F_тяж=mgh=rpr 2 gl.

При установившемся движении жидкости, согласно второму закону Ньютона:

Постоянную интегрирования находим из условия, что при r=R скорость v=0 (слои, прилегающие непосредственно к трубе, неподвижны):

Скорость частиц жидкости в зависимости от расстояния от оси равна:

Объем жидкости, протекающий через некоторое сечение трубки в пространстве между цилиндрическими поверхностями радиусами r и r+dr за время t, определяется по формуле dV=2prdrvt или:

Полный объем жидкости, протекающей через сечение капилляра за время t:

(19)

В случае, когда пренебрегаем силой тяжести жидкости (горизонтальный капилляр), объем жидкости, протекающий через сечение капилляра, выражается формулой Пуазейля:

(20)

Формулу 20 можно преобразовать: разделим обе части этого выражения на время истечения t. Слева получим объемную скорость течения жидкости Q (объем жидкости, протекающий через сечение за единицу времени). Величину 8hl/ 8pR 4 обозначим через Х.. Тогда формула 20 принимает вид:

(21)

В такой записи формула Пуазейля (ее еще называют уравнением Гагена-Пуазейля) аналогична закону Ома для участка электрической цепи.

Можно провести аналогию между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям. Объемная скорость течения жидкости Q является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I. Гидродинамическим аналогом разности потенциалов j₁-j₂ является перепад давлений Р₁ — Р₂. Закон Ома I =(j₁-j₂)/R имеет своим гидродинамическим аналогом формулу 20. Величина Х представляет собой гидравлическое сопротивление — аналог электрического сопротивления R.

Факторы, влияющие на вязкость крови в организме.

Вязкость крови в живом организме зависит, в основном, от скорости сдвига, свойств плазмы, относительного объема эритроцитов и механических свойств эритроцитов, температуры.

Скорость сдвига.

Скоростью сдвига называют величину градиента скорости движения параллельных слоев жидкости ( ). Вязкость крови зависит от скорости сдвига в диапазоне 0,1-120 с -1 . При скорости сдвига>100 с -1 вязкость достигает значения асимптотической вязкости и при дальнейшем увеличении скорости сдвига (>200 с -1 ) не меняется (рис.10).

Рис. 10. Зависимость вязкости крови и ньютоновской жидкости от скорости сдвига.

При низких скоростях сдвига в крови эритроциты выстраиваются в монетные столбики. Это определяет высокую вязкость крови, которая, строго говоря, в этом случае не может рассматриваться как чистая жидкость. По мере увеличения скорости сдвига, агрегаты эритроцитов распадаются, и вязкость крови снижается, приближаясь постепенно к некоторому пределу. При высоких скоростях сдвига, например, в крупных артериях, кровь можно рассматривать как ньютоновскую жидкость. Только в этом случае кровь рассматривается как суспензия форменных элементов и ее свойства можно изучать in vitro на модели суспензии эритроцитов в физиологическом растворе.

Плазма.

Плазма ведёт себя как линейно-вязкая ньютоновская жидкость с относительной вязкостью 1,2. При рассмотрении течения в артериальных сосудах плазма принимается несжимаемой и вязкой с кинематической вязкостью 0,04 см 2 /с.

Неньютоновский характер крови обусловлен наличием форменных элементов крови, в основном, эритроцитов.

Гематокрит.

Одним из основных факторов, определяющих вязкость крови, является объемная концентрация эритроцитов. Отношение суммарного объема эритроцитов к объему крови называют гематокритом. В норме гематокрит равен 0,4-0,5 отн. ед. С повышением гематокрита вязкость крови увеличивается (рис.11).

Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Ж. Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Установленные им для этого случая закономерности имеют важное значение для понимания сущности гемодинамических явлений и их количественного описания.

Не производя строгих математических расчетов, проанализируем, от чего зависит объем V вязкой жидкости, лами- нарно протекающей по участку гладкой трубы длиной L и радиусом г (рис. 9.10). Очевидно, этот объем будет прямо пропорционален времени истечения жидкости t и тому перепаду давлений Р_х — Р₂, который обусловливает ток жидкости на участке трубы длиной L. Естественно, что объем вытекающей жидкости будет резко возрастать и с увеличением площади поперечного сечения рассматриваемого участка. Теоретические расчеты и непосредственный эксперимент показывают, что V

г 4 . Помехой истечению жидкости является ее вязкость г|, поэтому объем V

1/г. Чем больше длина участка, тем больше потери в скорости протекающей по нему жидкости, значит V

1/L. Приведенные соображения, строгое теоретическое рассмотрение и непосредственный эксперимент приводят к формуле Пу- азейля:

Рис. 9.10. Движение жидкости по участку гладкой трубы

Разделив обе части этого выражения на время истечения t, получим формулу Пуазейля для объемной скорости течения жидкости:

По аналогии с законом Ома для участка электрической цепи это соотношение можно записать в виде более простой формулы Гагена — Пуазейля:

Величина X, входящая в это уравнение, называется гидравлическим сопротивлением участка трубы или сосуда:

Между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям существует тесная аналогия. Объемная скорость течения жидкости Q = V/t является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I = q/t. Причиной возникновения электрического тока является разность электрических потенциалов (р_: — (р2 на соответствующем участке цепи, а причиной движения жидкости — разность давлений Р_х — Р₂ на участке трубы. В законе Ома I = (cpi — cp₂)/i? величина R — электрическое сопротивление проводника, аналогом которого в формуле (9.10) является величина X = 8rL/nr 4 , представляющая собой гидравлическое сопротивление участка трубы или сосуда.

Если от общих законов истечения вязкой жидкости перейти к задачам гемодинамики, то с помощью уравнения Гаге- на — Пуазейля можно определить ряд характеристик кровотока. Так, зная объемную скорость кровотока Q и величину гидравлического сопротивления X сосудов, можно найти величину давления крови в любой точке сосудистой системы:

Если Р₀ — давление крови в желудочке сердца, а X — общее сопротивление сосудов на участке сосудистой системы между этим желудочком и некоторой точкой, то давление крови Р в этой точке определяется формулой (9.12).

Гидравлическое сопротивление X разветвленного участка сосудистой системы может быть определено по аналогии с расчетом общего электрического сопротивления участка электрической цепи, состоящего из набора отдельных резисторов. При последовательном соединении сосудов (рис. 9.11, а) общее сопротивление определяется суммой гидравлических сопротивлений их отдельных участков:

Рис. 9.11. Виды ветвления сосудистого русла: а — последовательное; б — параллельное а при параллельном ветвлении сосудистого русла (рис. 9.11, б) общее сопротивление X находится из уравнения

Следует отметить, что аналогия в описании электрических цепей и гидродинамических процессов плодотворно используется при моделировании гемодинамических явлений.

ПУАЗЁЙЛЯ ЗАКО́Н

ПУАЗЁЙЛЯ ЗАКО́Н (за­кон Га­ге­на – Пуа­зёй­ля), ут­вер­жда­ет, что при ус­та­но­вив­шем­ся ла­ми­нар­ном дви­же­нии вяз­кой несжи­мае­мой жид­ко­сти сквозь ци­лин­д­рич. тру­бу круг­ло­го се­че­ния объ­ём­ный рас­ход за 1 с вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $Q=πR^4(p_0-p_i)/8μl$ , где $l$ – дли­на тру­бы, $R$ – её ра­ди­ус, $p_0$ и $p_i$ – дав­ле­ние жид­кости на вхо­де и вы­хо­де тру­бы, μ – коэф. ди­на­мич. вяз­ко­сти. Эта фор­му­ла, пред­с­тав­ляю­щая со­бой точ­ное ре­ше­ние На­вье – Сто­кса урав­не­ния , экс­пе­ри­мен­таль­но ус­та­нов­ле­на нем. учё­ным Г. Га­ге­ном (1839) и не­за­ви­си­мо Ж. Л. М. Пуа­зёй­лем (1840–41). П. з. спра­вед­лив в час­ти тру­бы, дос­та­точ­но уда­лён­ной от вхо­да и вы­хо­да, где дос­ти­га­ет­ся ла­ми­нар­ный ха­рак­тер те­че­ния. Позд­нее П. з. был об­об­щён на те­че­ние в плос­ком ка­нале и в тру­бе про­из­воль­но­го по­пе­реч­но­го се­че­ния.