Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

1.3. Аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия на плоскости

1.3.1. Аналитическая геометрия на плоскости

Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х и у

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

где А и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Верно и обратное утверждение: в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени вида (1.24).

Уравнение (1.24) называется общим уравнением прямой.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол j, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до ее совпадения с данной прямой. Направление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициентом к, который определяется как тангенс угла наклона j этой прямой к оси Ох, т. е.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Исключение составляет только лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент к и пересекающей ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Частные случаи уравнения (1.24) приведены в следующей таблице.

Угловой коэффициент к прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C= 0, находится как коэффициент при х в выражении у через х:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Угловой коэффициент к прямой, заданной двумя точками вычисляется по формуле

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Видео:Уравнение прямой: метод трёх точекСкачать

Уравнение прямой: метод трёх точек

где а и b — соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Oy, т. е. длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с определенными знаками.

Уравнение прямой, проходящей через точкуУравнение прямой равноудаленной от трех точекИ имею

щей угловой коэффициент к, записывается в виде:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку А — центр пучка. Уравнение (1.28) можно рассматривать как уравнение пучка прямых, поскольку любая прямая пучка может быть получены из уравнения (1) при соответствующем значении углового коэффициента к. Исключение составляет лишь одна прямая пучка, которая параллельна оси Oy — ее уравнение х = xA.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Если точки A и B определяют прямую, параллельную оси Уравнение прямой равноудаленной от трех точекИли осиУравнение прямой равноудаленной от трех точек, то уравнение такой прямой за

писывается соответственно в виде:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Условия пересечения, параллельности или совпадения двух прямых, заданными своими общими уравнениями

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

приведены в следующей таблице.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Если известны угловые коэффициенты прямых, то ус

ловие параллельности этих прямых состоит в равенстве их угловых коэффициентов:Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых соответственно равныУравнение прямой равноудаленной от трех точекСостоит в выполнении соотношения

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

т. е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны к1 и к2, вычисляется по формуле

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

причем знак «плюс» соответствует острому углуУравнение прямой равноудаленной от трех точек, а знак «минус» — тупому.

Уравнение окружности с центром в точке S^; b) и радиусом r имеем вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Это каноническое уравнение окружности (рис. 7).

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение второй степени относительно текущих координат х и у является уравнением окружности тогда и только тогда, когда в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Таким образом, это уравнение имеет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

В этом случае говорят, что окружность задана общим уравнением.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, надо с помощью тождественных преобразований уравнение (1.35) привести к виду (1.34).

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за ось Оу — перпен-

дикуляр к оси абсцисс в середине отрезка F1F2 (рис. 8). Тогда уравнение эллипса примет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Точки А1 и А2, B1 и B2 пересечения эллипса с его осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 = 2а и B1B2 = 2b называются осями эллипса, причем А1А2 — большой осью, а B1B2 — малой осью, так как а > b. Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Очевидно, что е а и уже большой осью будет отрезок B1B2 = 2b, а малой осью — отрезок А1А2 = 2а. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусыУравнение прямой равноудаленной от трех точекА за ось Оу — перпендикуляр в середине отрезкаУравнение прямой равноудаленной от трех точек(рис. 10). Тогда уравнение гиперболы примет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А1 и А2, называемых вершинами гиперболы. Отрезок.Уравнение прямой равноудаленной от трех точекНазывается действительной осью гиперболы, а отрезокУравнение прямой равноудаленной от трех точек— мнимой осью гиперболы.

Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение гиперболы, равны ее полуосям.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (1.39).

Гиперболы (1.39) и (1.42) называются сопряженными. Гипербола называется равносторонней, если ее действительные и мнимые оси равны, т. е. а = b. Простейшее уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Если мнимая ось гиперболы направлена по оси Ох и имеет длину 2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси Oy, то уравнение гиперболы (рис. 11) имеет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Видео:Найти точку на прямой, равноудалённую от двух данных точекСкачать

Найти точку на прямой, равноудалённую от двух данных точек

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с ее осью — вершиной параболы.

Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берется ось параболы, а за другую — прямая, перпендикулярная оси параболы и проведенная посредине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнение параболы примет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.

Уравнения (1.48) и (1.49) приводятся к простейшему виду (1.44 — 1.47) путем тождественных преобразований с последующим параллельным переносом координатной системы.

Пример 1.16. Даны вершины А (2; 1), В (6; 3), C (4; 5) треугольника. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника. Сделать чертеж.

Делаем чертеж (рис. 16).

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А и В.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

2. Для определения внутреннего угла А найдем уравнение прямой AC:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

отсюда 2х — у — 3 = 0 или у = 2х — 3 и угловой коэффициент прямой AC равен: kAC = 2; далее находим уравнение прямой АВ: Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Находим угол А Уравнение прямой равноудаленной от трех точекотсюда

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину C, ищем в виде у — yC = kCD (x — xC) и так как CD А прямой АВ, то

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

4. Для определения уравнения медианы CM находим координаты точки M, которая делит прямую АВ пополам

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Видео:Построение точки, равноудаленной от концов отрезковСкачать

Построение точки, равноудаленной от концов отрезков

Уравнение прямой CM ищем в виде:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

а это означает, что уравнение медианы имеет вид х = 4, т. е. прямая CM L Ох.

5. Точку пересечения высот треугольника найдем как точку К пересечения высот CD и BK.

Находим уравнение высоты ВК:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Решаем систему уравнений, описывающих прямые CD и BK:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Тогдат. е. координаты точ

ки К будут:Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

6. Для нахождения длины высоты CD запишем нормальное уравнение прямой АВ:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

7. Находим систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.

Найдем уравнение прямой BC:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Итак:Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Берем любую точку, лежащую внутри треугольника, например, (4; 3) и подставляем ее координаты в левую часть уравнений прямых:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

следовательно, система неравенств имеет вид:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Пример 1.17. Составить уравнение прямой I, проходящей через точку А (2; -4) и отстоящей от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид:

Для определения углового коэффициента к этой прямой воспользуемся тем, что она отстоит от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам. Найдем это расстояние непосредственно. Уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямуюУравнение прямой равноудаленной от трех точек, имеет вид Уравнение прямой равноудаленной от трех точекилиУравнение прямой равноудаленной от трех точекРешив совместно уравнения этих двух прямых

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

С другой стороны, по условию OC = 2. Таким образом, получаем уравнение для нахождения углового коэффициента к искомой прямой I:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

получим координаты точки C их пересечения:

Отсюда находим расстояние от начала координат до прямой I:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

В заключение отметим, что отыскивая уравнение прямой I в виде у — yA = k(x — Xa), мы предполагали тем самым, что эта прямая не параллельна оси ординат. Но очевидно, что прямая х = 2 (параллельная оси Оу) также удовлетворяет условию задачи, так как она проходит через точку А (2; -4) и отстоит от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам (рис. 17).

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Пример 1.18. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х + 4у — 1 = 0 (I) и отстоящих от нее на расстоянии равном 1.

Решение. Уравнение каждой из прямых будем искать в виде Уравнение прямой равноудаленной от трех точекТак как искомая прямая параллельна прямой I, то ее

угловой коэффициентУравнение прямой равноудаленной от трех точекИ, следовательно, ее уравнение при

нимает вид:Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Для отыскания параметра b воспользуемся тем, что расстояние от любой точки прямой I, например, от точки А (3; -2) до прямой (*) согласно условию равно 1. Но это расстояние может быть вычислено и непосредственно. Запишем для этого

уравнение прямой h, проведенной из точки А перпендикулярно прямой I:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Решив, далее, совместно уравнения прямых h и I найдем координаты точки В их пересечения:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек
Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Тогда искомое расстояние равно длине отрезка АВ:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Приравнивая это выражение единице, получим уравнение относительно b:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Решения этого уравнения таковы:Уравнение прямой равноудаленной от трех точек. Подставляя полученные значения b в уравнение (*), запишем уравнения искомых прямых:

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Пример 1.19. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F (8; 0) вдвое больше, чем от прямой х — 2 = 0. Сделать чертеж.

Пусть М(х; у) — текущая точка линии. По условию задачи MF = 2MN.

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Возводя в квадрат и раскрывая скобки, получим

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Это есть каноническое уравнение гиперболы (рис. 18).

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Пример 1.20. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки F (0; — 4) и от прямой у + 2 = 0. Сделать чертеж.

Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Если M(x; у) есть текущая точка линии, то по условию задачи MF = MN или

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точек

Подставляя координаты точекУравнение прямой равноудаленной от трех точек

Уравнение прямой равноудаленной от трех точекИ возводя в квадрат, после преобразований


источники:

📺 Видео

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

№948. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (-3; 5)Скачать

№948. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (-3; 5)

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

№949. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (1; 2)Скачать

№949. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (1; 2)

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

Задача 7. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через три точки M1, M2, M3.Скачать

Задача 7. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через три точки M1, M2, M3.

Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой
Поделиться или сохранить к себе: