Уравнение прямой перпендикулярной данной и проходящей через точку не лежащую на данной прямой

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

Если эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Видео:Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Видео:Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точкуСкачать

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .

Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .

Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y — 1 .

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .

Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .

Видео:Построить перпендикуляр к прямой из точки не принадлежащей этой прямой.Скачать

Уравнение прямой перпендикулярной данной и проходящей через точку не лежащую на данной прямой

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: ОС ^ а (рис. 26):

Заметим, что легко построить равнобедренный треугольник, у которого СО – медиана. Для этого достаточно отложить на прямой а равные отрезки ОВ и ОK, а затем соединить какую угодно точку перпендикуляра, кроме точки О, с концами отрезка ВK.

1) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим В и K.
2) Проведем окружность с центром в точке В, радиус которой больше половины длины отрезка ВK.
3) Проведем окружность того же радиуса с центром в точке K.
4) Одну их точек пересечения окружностей обозначим С.
5) Проведем прямую ОС.

Построение прямой, перпендикулярной а, которая проходит через точку О, не лежащую на прямой а.

1. Анализ. Предполагаем, что задача решена: ОС ^ а (рис. 27):

Легко построить равнобедренный треугольник АОВ, в котором ОМ является высотой, и поэтому медианой и биссектрисой. Для этого достаточно провести окружность с центром в точке О и обозначить точки пересечения с прямой а буквами А и В (рис. 28).

Остается найти еще одну точку перпендикуляра, который проходит через середину М отрезка АВ. Для этого достаточно построить еще один равнобедренный треугольник с основанием АВ.

2. Построение.

1) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим А и В.
2) Проведем окружность с центром в точке А, радиус которой больше половины длины отрезка АВ. (Радиус этой окружности может быть таким же, как радиус первой окружности с с центром в точке О.)
3) Проведем окружность того же радиуса с центром в точке В.
4) Одну их точек пересечения окружностей обозначим С.
5) Проведем прямую ОС .

💡 Видео

Часть 8 Уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярную к заданной прямойСкачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Как построить прямую, перпендикулярную данной прямой через точку, которая лежит на данной прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Построение прямой параллельной данной прямой проходящей через точку вне данной прямойСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДАННОЙ И ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ. ЗАДАЧИ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НЕ ЛЕЖАЩЕЙ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать