Уравнение прямой параллельной заданной плоскости

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости.

В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.

Навигация по странице.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a .

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a » одинаково употребимы.

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.

Видео:12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Параллельность прямой и плоскости — признак и условия параллельности.

Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.

Если прямая a , не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b , которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .

Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10 — 11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

Определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора плоскости позволяют записать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

Для параллельности прямой a , не лежащей в плоскости , и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости .

Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.

Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , а плоскости соответствует общее уравнение плоскости . Тогда — направляющий вектор прямой a , а — нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности векторов и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости ( a не лежит в плоскости ) примет вид , где — направляющий вектор прямой a , — нормальный вектор плоскости .

Разберем решения нескольких примеров.

Являются ли прямая и плоскость параллельными?

Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, — направляющий вектор прямой , — нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.

да, прямая и плоскость параллельны.

Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz , если .

Точка не лежит в координатной плоскости Oyz , так как абсцисса этой точки отлична от нуля.

Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . Координаты точек начала и конца вектора позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.

нет, не параллельны.

Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.

Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,
а плоскость — общим уравнением плоскости .

Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.

Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.

И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.

В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Несовместность этой системы уравнений можно также показать, используя метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Докажите параллельность прямой и плоскости .

Перейдем от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

Для доказательства параллельности прямой и плоскости покажем, что система уравнений не имеет решения. Воспользуемся методом Гаусса:

Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂, которые не параллельны:

.

(1)

.

(2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂(Рис.1).

Прамая L₁ должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M₁ должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

и поскольку M₁(x₁, y₁, z₁) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L₁, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L₂, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q₂ прямой L₂, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(8)

паралленьно другой прямой L₂ :

(9)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

(10)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(12)

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L₁:

(20)

Поскольку плоскость проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q₁=<m₁, p₁, l₁>= прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

(24)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₁ и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 — 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором заданной плоскости альфа.

Чтобы доказать перпендикулярность n → = ( A , B , C ) и a → = ( a x , a y , a z ) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором плоскости α .

Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .

Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M ( 1 , — 2 , 2 ) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · ( — 2 ) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .

Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ имеют значения a → = ( 2 , 3 , — 4 ) .

Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = ( 1 , 6 , 5 ) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + ( — 4 ) · 5 = 0 .

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A ( 2 , 3 , 0 ) , B ( 4 , — 1 , — 7 ) .

По условию видно, что точка A ( 2 , 3 , 0 ) не лежит на оси О х , так как значение x не равно 0 .

Для плоскости O x z вектор с координатами i → = ( 1 , 0 , 0 ) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) и i → = ( 1 , 0 , 0 ) , чтобы определить их перпендикулярность.

Запишем A B → , i → = 2 · 1 + ( — 4 ) · 0 + ( — 7 ) · 0 = 2 ≠ 0 .

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α — общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.

Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Доказать , что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 ⇔ — 1 · x = — 1 · ( y + 2 ) 3 · x = — 1 · z 3 · ( y + 2 ) = — 1 · z ⇔ x — y — 2 = 0 3 x + z = 0

Чтобы доказать параллельность заданной прямой x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Расписав уравнения, получаем, что 1 — 1 0 2 3 0 1 0 6 — 5 1 3 2 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 1 1 3 — 11 1 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 0 0 — 9 1 3 .

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Делаем вывод, что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 и плоскость 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

🔍 Видео

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение параллельной прямойСкачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать