Уравнение прямой через середину отрезка

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

Уравнение прямой через середину отрезка

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Уравнение прямой через середину отрезка

Видео:Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение прямой

Уравнение прямой через середину отрезка

Видео:№160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждаяСкачать

№160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой через середину отрезка

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой через середину отрезка

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x+y= 1
ab

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1
x 2 — x 1y 2 — y 1

Уравнение прямой через середину отрезка

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0
lm

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1=y — y 1=z — z 1
x 2 — x 1y 2 — y 1z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

Уравнение прямой через середину отрезкаx = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0=y — y 0=z — z 0
lmn

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Видео:Построение середины отрезкаСкачать

Построение середины отрезка

аписать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2;8) и середину отрезка MN, где М (6; -5), N (-2; 1), используя каноническое уравнение.

Координаты середины векторов вычисляются по формуле:

Уравнение прямой через середину отрезка Уравнение прямой через середину отрезка

— где C — координата середины, К — конца, Н — начала:
Пусть середина MN — С, тогда:

Уравнение прямой через середину отрезка Уравнение прямой через середину отрезка

Данные точки лежат на одной прямой. Через систему уравнений найдём коэффициенты k и b данной прямой y=kx+b, подставив в неё координаты точек:

8 = -2k+b 8 = -2k-2-2k 4k =-10 k = -2,5

-2 = 2k+b b = -2-2k b =-2-2k b = 3

Для полученной прямой y = -2,5x+3 приведём уравнение:

2. Найти пределы:

а) Уравнение прямой через середину отрезкаб) Уравнение прямой через середину отрезка

а) Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка=

= Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка= 2

б) Уравнение прямой через середину отрезка=

Разделим числитель и знаменатель на х 3

= Уравнение прямой через середину отрезка=

Сделаем замену: u=1/x

= Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка= — Уравнение прямой через середину отрезка

3. Найти интегралы:

а) Уравнение прямой через середину отрезка; б) Уравнение прямой через середину отрезка; в) Уравнение прямой через середину отрезка.

а) Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезкаУравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезкаУравнение прямой через середину отрезка+ 3x + C

б) Уравнение прямой через середину отрезка= 8 Уравнение прямой через середину отрезка= 8 ln x + C

в) Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезка

Тогда пусть du=5dx и подставим dx=du/5:

Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезка Уравнение прямой через середину отрезка= Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезкаsin(u)+C= Уравнение прямой через середину отрезка+ Уравнение прямой через середину отрезкаsin(5x)+C

4. Исследовать функцию и построить график: у = 3х 3 – х

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3х 3 – х.
3⋅ 0 3 − 0=0

Точки пересечения с осью координат X

График пересекает ось X, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в y=3x 3 — x.
3 x 3 −x =0

x2= Уравнение прямой через середину отрезка

x3=- Уравнение прямой через середину отрезка

Точки: (0, 0); ( Уравнение прямой через середину отрезка,0); ( — Уравнение прямой через середину отрезка,0).

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
f ′(x)=0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
f ′(x)=( 3 x 3 −x)′ = 9x 2 – 1
9x 2 – 1 = 0

Решаем это уравнение, получаем:

x1=− Уравнение прямой через середину отрезка;

x2= Уравнение прямой через середину отрезка.

Значит экстремумы в точках: (Уравнение прямой через середину отрезка; Уравнение прямой через середину отрезка); ( Уравнение прямой через середину отрезка; — Уравнение прямой через середину отрезка)

Интервалы возрастания и убывания функции.
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке x1= Уравнение прямой через середину отрезка;
Максимум функции в точке x2=− Уравнение прямой через середину отрезка.

Убывает на промежутках ( — ∞; Уравнение прямой через середину отрезка] U [∞; Уравнение прямой через середину отрезка)
Возрастает на промежутке [Уравнение прямой через середину отрезка; Уравнение прямой через середину отрезка]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

f ′′(x)=0 (вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
f ′′(x)= (3 x 3 −x)′′= (9x 2 – 1)′ = 18x

Решаем это уравнение, получаем:

Интервалы выпуклости и вогнутости.
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, ∞)
Выпуклая на промежутках
(-∞, 0]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x→∞ и x→ — ∞
Уравнение прямой через середину отрезка(3x 3 -x)= — ∞ значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует.
Уравнение прямой через середину отрезка(3x 3 -x)= ∞ значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует.

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3x 3 -x, делённой на x при x→∞ и x→ — ∞
Уравнение прямой через середину отрезка= ∞ значит,
наклонной асимптоты слева не существует.
Уравнение прямой через середину отрезка= ∞ значит,
наклонной асимптоты справа не существует.

Уравнение прямой через середину отрезка

Чётность и нечётность функции

Проверим чётность и нечётность функции с помощью соотношений

f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
3x 3 -x = -3x 3 +x Нет

3x 3 -x = -(-3x 3 +x) Нет
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

5.Решить дифференциальное уравнение:

Уравнение прямой через середину отрезкау(0)=5

Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

Уравнение прямой через середину отрезкаили Уравнение прямой через середину отрезка

Интегрируя обе части, получаем:

Тогда решением дифференциального уравнения будет

🎬 Видео

Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.

Построение середины отрезкаСкачать

Построение середины отрезка

Видеоурок "Уравнение прямой в отрезках"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой в отрезках"

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Координаты середины отрезка. Уравнение средней линии или диагонали. Урок 4. Геометрия 8 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Уравнение средней линии или диагонали. Урок 4. Геометрия 8 класс.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙСкачать

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

№276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этойСкачать

№276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. КонтрольнаяСкачать

8 класс. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности. Контрольная

Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.

Геометрия Задача- Ловушка Help Найти середину отрезка циркулемСкачать

Геометрия Задача- Ловушка Help Найти середину отрезка циркулем

Геометрия 9 класс. Тема: "Уравнение прямой".Скачать

Геометрия 9 класс. Тема: "Уравнение прямой".
Поделиться или сохранить к себе: