Уравнение прогибов для консольных балок

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.10.2015 · Обновлено 15.05.2018

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• V_k – прогиб сечения K;
• V_O – прогиб сечения O;
• θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, V O и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах .

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10 5 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см 4 ). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Расчетные схемы для балок

Здесь представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

Ось х, относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z (см. сводный сортамент).

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. Данный метод решения проблемы называется методом начальных параметров.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ_х = — θ_A + М_Ах/EI + Ax 2 /2EI — qx 3 /6ЕI (173.1)

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка отсутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 2 /2EI = — Ql 2 /16EI + Qx 2 /4EI = Q(4x 2 — l 2 )/16EI (173.2)

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f_х = — θ_Ax + Мх 2 /2EI + Ax 3 /6EI — qx 4 /24ЕI (173.3)

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 3 /6EI = — Ql 2 x/16EI + Qx 3 /12EI = Qx(4x 2 — 3l 2 )/48EI (173.4)

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 3 /6EI — Q(x — l/2) 3 /6EI (173.5)

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

Отдельно приводится пример расчета балки при общем случае загружения несколькими сосредоточенными нагрузками, приложенными несимметрично, по двум вариантам: упрощенному и полному. Сделал я это для наглядности, потому что устал каждый раз объяснять, что не всегда есть большая необходимость в точных расчетах.

Пример расчета балки на сосредоточенную нагрузку, приложенную не посредине пролета (по расчетной схеме 1.2 таблицы 1), с эпюрами сил, моментов, углов поворота и прогибов, также приводится отдельно. Это в общем-то один из самых простых расчетов. С подобного примера и следует начинать. Кроме того в данном примере имеется ссылка на калькулятор, который в случае расчета деревянных балок вообще сам все делает, достаточно ему указать длину пролета, величину нагрузки и расстояние от опоры А до точки приложения нагрузки, ну и длину опорного участка балки (для тех, кто понимает, что это такое).

Пример расчета балки на действие равномерно распределенной нагрузки (по расчетной схеме 2.1 таблицы 1) также имеет место быть, потому как такой расчет — один из самых востребованных при строительстве. К нему также прилагается калькулятор, который пока не онлайн (но со временем все возможно) и его нужно скачивать, что впрочем занимает времени меньше, чем нажимание соответствующих кнопок.

Ссылки на калькуляторы для других случаев загружения балок приводятся отдельно.

Таблица 1. Балка на двух шарнирных опорах.

Таблица 2. Консольная балка.

Таблица 3. Балка на шарнирных опорах с консолями.

Так как формулы для балки с консолями различной длины, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, слишком громоздки, то их можно посмотреть в отдельной статье.

Список использованной литературы:

1. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка. — 1988.

2. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Будiвельник. — 1982.

3. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Под ред. Уманского А.А. Москва: Издательство литературы по строительству. — 1972.

Расчетные схемы для статически неопределимых балок представлены отдельно.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Расчетные данные

Оценка пользователей:11.0 (голосов: 16)Переходов на сайт:384777Комментарии:

Допущена опечатка в формуле изгибающего момента для балки с жестким защемлением на опорах(3-я снизу): длина должна быть в квадрате. Допущена опечатка в формуле максимального прогиба для балки с жестким защемлением на опорах (3-я снизу): должно быть без «5».

Да, действительно, были допущены ошибки при редактировании после копирования. На данный момент ошибки исправлены, спасибо за внимательность.

опечатка в формуле в пятом сверху примере (перепутаны степени рядом с иксом и эль)

И это правда. Исправил. Спасибо за внимательность.

В формуле Т.1 2.2 Mmax, похоже, не хватает квадрата после a.

Верно. Эту формулу я скопировал из «Справочника по сопротивлению материалов» (под ред. С.П. Фесика, 1982г, стр. 80) и даже не обратил внимания, что при такой записи даже размерность не соблюдается. Сейчас пересчитал все лично, действительно расстояние «а» будет в квадрате. Таким образом получается, что наборщик пропустил маленькую двоечку, а я повелся на эту пшенку. Исправил. Спасибо за внимательность.

Добрый день хотел бы спросить у вас в таблице 2, схема 2.4, интересует формула «момент в пролете» где не ясен индекс Х -? не могли бы вы ответить)

Для консольных балок таблицы 2 уравнение статического равновесия составлялось слева направо, т.е. началом координат считалась точка на жесткой опоре. Однако если рассматривать зеркальную консольную балку, у которой жесткая опора будет справа, то для такой балки уравнение момента в пролете будет намного проще, например, для 2.4 Мх = qx2/6, точнее -qx2/6, так как сейчас считается, что если эпюра моментов расположена сверху, то момент при этом отрицательный.
С точки зрения сопромата знак момента — достаточно условное понятие, так как в поперечном сечении, для которого определяется изгибающий момент все равно действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Главное понимать, что если эпюра расположена сверху, то и растягивающие напряжения будут действовать в верхней части сечения и наоборот.
В таблице минус для моментов на жесткой опоре не проставлен, однако направление действия момента учитывалось при составлении формул.

Скажите пожалуйста, при каком соотношении длины балки к ее диаметру справедливы сии формулы?
Я хочу узнать или это подкодит только для длинных балок, которые в строительстве зданий, или можна применять также для расчета прогибов валов, длиной до 2 м. Пожалуйста ответте так l/D>.

Дмитрий, я вам уже говорил, для вращающихся валов расчетные схемы будут другие. Тем не менее, если вал в неподвижном состоянии, то его можно рассматривать как балку, причем не важно, какое у нее сечение: круглое, квадратное, прямоугольное или какое-то еще. Данные расчетные схемы наиболее точно отражают состояние балки при l/D>10, при соотношении 5

— Спасибо за ответ. Можете еще назвать литературу, на которую я могу сослаться, в своей работе?
Вы имеете в виду, что для вращающихся валов схемы будут другие из-за вращательного момента? Не знаю на сколько это важно, так как в книге по техмашу написано, что в случае токарной обработки, прогиб, вносимый вращательным моментом на валу, очень мал по сравнению с прогибом от радиальной составляющей силы резания. Что думаете?

Не знаю, какую именно задачу вы решаете, и потому вести предметный разговор трудно. Попробую объяснить свою мысль по другому.
Расчет строительных конструкций, деталей машин и т.п., как правило состоит из двух этапов: 1. расчет по предельным состояниям первой группы — так называемый расчет на прочность, 2. расчет по предельным состояниям второй группы. Одним из видов расчета по предельным состояниям второй группы является расчет на прогиб.
В вашем случае на мой взгляд более важным будет расчет на прочность. Более того на сегодняшний день существуют 4 теории прочности и расчет по каждой из этих теорий — разный, но во всех теориях при расчете учитывается влияние как изгибающего так и крутящего момента.
Прогиб при действии крутящего момента происходит в другой плоскости, но все равно при расчетах учитывается. А уж малый этот прогиб или большой — расчет покажет.
Я не специализируюсь на расчетах деталей машин и механизмов и потому авторитетную литературу по этому вопросу указать не смогу. Впрочем, в любом справочнике инженера-конструктора узлов и деталей машин эта тема должна быть должным образом раскрыта.

— Можно тогда с вами пообщаться через mail или Skype? Я вам расскажу что за работу я делаю и для чего были предыдущие вопросы.
mail: dmytro-cx-75@mail.ru
Skype: dmytrocx75

Можете написать мне, адреса электронной почты на сайте найти не трудно. Но сразу предупрежу, никакими расчетами я не занимаюсь и партнерские контракты не подписываю.

Вопрос по таблице 2, вариант 1.1, формула прогиба. Просьба уточнить размерность.
Q — в килограммах.
l — в сантиметрах.
E — в кгс/см2.
I — см4.
Все верно? Что-то странные результаты получаются.

Все верно, на выходе получаются сантиметры.

Здравствуйте. Помогите прикинуть. У нас возле ДК стоит сцена летняя деревянная, размер 12,5 х 5.5 метров, по углам стойки — металлические трубы диаметром 100 мм. Заставляют делать крышу типа фермы (жаль что нельзя рисунок прикрепить) покрытие поликарбонад, фермы изготавливать из профильной трубы (квадрат или прямоугольник) стоит вопрос о моей работе. Не будешь делать уволим. Я говорю что не пойдет, а администрация вместе с моим начальником говорят все пойдет. Как быть?

Рисунок можно добавить на форуме (ссылка на главной странице). А так, без чертежей и знания снеговой нагрузки ничего конкретного сказать не могу.

Если балка (подушка под колонной) лежит на плотном грунте (точнее закопана ниже глубины промерзания), то какой схемой следует воспользоваться для расчета такой балки? Интуиция подсказывает, что вариант «на двух опорах» не подходит и что изгибающий момент должен быть существенно меньше.

Расчет фундаментов — отдельная большая тема. К тому же не совсем понятно о какой балке идет речь. Если имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента, то основой расчета такой подушки является прочность грунта. Задача подушки — перераспределить нагрузку от колонны на основание. Чем меньше прочность, тем больше площадь подушки. Или чем больше нагрузка, тем больше площадь подушки при той же прочности грунта.
Если речь идет о ростверке, то в зависимости от способа его устойства, он может рассчитываться как балка на двух опорах, или как балка на упругом основании.
Вообще при расчете столбчатых фундаментов следует руководствоваться требованиями СНиП 2.03.01-84.

Имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента. Длина и ширина подушки уже определены исходя из нагрузки и прочности грунта. Но вот высота подушки и количество арматуры в ней под вопросом. Хотел посчитать по аналогии со статьей «Расчет железобетонной балки», но полагаю, что считать изгибающий момент в подушке, лежащей на грунте, как в балке на двух шарнирных опорах будет не совсем верно. Вопрос — по какой расчетной схеме считать изгибающий момент в подушке.

Высота и сечение арматуры в вашем случае определяются как для консольных балок (по ширине и по длине подушки). Схема 2.1. Только в вашем случае опорная реакция — это нагрузка на колонну, точнее часть нагрузки на колонну, а равномерно распределенная нагрузка — это отпор грунта. Другими словами, указанную расчетную схему нужно перевернуть.
Кроме того, если нагрузка на фундамент передается от внецентренно нагруженной колонны или не только от колонны, то на подушку будет действовать дополнительный момент. При расчетах это следует учитывать.
Но еще раз повторю, не занимайтесь самолечением, руководствуйтесь требованиями указанного СНиПа.

Добрый вечер.Помогите пожалуста,подобрать метал. балку для прольота 4.2 метра.Жилой дом в два етажа,цоколь перекрыт пустотелыми плитами длиной 4.8 метра,сверху несущая стена в 1.5 кирпича длиной в 3.35 м высотой 2.8м.дальше дверной пройом.Сверху на етой стене плиты перекрытия с одной стороны длиной 4.8м. с другой 2.8 метра на плитах опять несущая стена как етажом ниже и сверху деревяные балки 20 на 20см длиной 5м.6 штук и длиной 3 метра 6 штук пол из досок 40мм.25м2. Других нагрузок нету.Прозьба подскозать какую двутавру брать чтобы спать спокойно. Пока всьо ето стоит уже 5 лет.

Посмотрите в разделе: «Расчет металлических конструкций» статью «Расчет металлической перемычки для несущих стен» в ней достаточно подробно описан процесс подбора сечения балки в зависимости от действующей нагрузки.

Подскажите, пожалуйста, где можно ознакомиться с выводом формул максимального прогиба балки для п.п. 1.2-1.4 в Табл.1

Вывод формул для различных вариантов приложения нагрузок на моем сайте не приводится. Общие принципы, на которых основан вывод подобных уравнений, вы можете посмотреть в статьях «Основы сопромата, расчетные формулы» и «Основы сопромата, определение прогиба балки».
Однако в указанных вами случаях (кроме 1.3) максимальный прогиб может быть не посредине балки, потому определение расстояния от начала балки до сечения, где будет максимальный прогиб — отдельная задача. Недавно подобный вопрос обсуждался в теме «Расчетные схемы для статически неопределимых балок», посмотрите там.

допущена ошибка в 2.4 табл 1. не соблюдается даже размерность

Никаких ошибок, а тем более несоблюдения размерности в указанной вами расчетной схеме не вижу. Уточните, в чем именно ошибка.

Добрый день. А у М и Мmax разные единицы измерения?

Таблица 1. Расчет 2.1. Если l возводится в квадрат, значит Мmax будет в кг*м2 ?

Нет, у М и Mmax единая единица измерения кгм или Нм. Так как распределенная нагрузка измеряется в кг/м (или Н/м), то значение момента будет кгм или Нм.

Вечер добрый. Работаю я на производстве мягкой мебели и директор подкинул мне задачку. Прошу вашей помощи, т.к. не хочется решать ее «на глазок».
Суть проблемы такова: в основании дивана планируется металлическая рама из профилированной трубы 40х40 или 40х60, лежащая на двух опорах расстояние между которыми 2200 мм. ВОПРОС: хватит ли сечения профиля при нагрузках от собственного веса дивана + возьмем 3 человека по 100 кг.

Это зависит от множества факторов. К тому же толщину трубы вы не указали. Например, при толщине 2 мм момент сопротивления трубы W = 3.47 см^3. Соответственно максимальный изгибающий момент, который может выдержать труба, M = WR = 3.47×2000 = 6940 кгсм или 69.4 кгм, тогда максимально допустимая нагрузка для 2 труб q = 2х8M/l^2 = 2х8х69.4/2.2^2 = 229.4 кг/м (при шарнирных опорах и без учета крутящего момента, который может возникнуть при передаче нагрузки не по центру тяжести сечения). И это при статической нагрузке, а нагрузка скорее всего будет динамической, а то и ударной (в зависимости от конструкции дивана и активности детей, мои по диванам прыгают так, что дух захватывает), так что считайте сами. Статья «Расчетные значения для прямоугольных профильных труб» вам в помощь.

Док, помогите пожалуйста.
Жестко закрепленная балка, пролет 4 м, опирание по 0,2 м. Нагрузки: распределенная 100 кг/м по балке, плюс распределенная 100 кг/м на участке 0-2 м, плюс сосредоточенная 300 кг посредине (на 2 м). Определил опорные реакции: А – 0,5 т; В – 0,4 т. Дальше я завис: для определения изгибающего момента под сосредоточенной нагрузкой необходимо посчитать сумму моментов всех сил справа и слева от нее. Плюс появляется момент на опорах.
Как считаются нагрузки в этом случае? Надо привести все распределенные нагрузки к сосредоточенным и суммировать (вычесть из опорной реакции * расстояние) согласно формул расчетной схемы? В Вашей статье про фермы раскладка всех сил понятна, а здесь я не могу въехать в методику определения действующих сил.

Для начала, жестко закрепленная балка и опорные участки — понятия несовместимые, посмотрите статью «Виды опор, какую расчетную схему выбрать». Судя по вашему описанию, у вас либо однопролетная шарнирно опертая балка с консолями (см. таблицу 3), либо трехпролетная жестко защемленная балка с 2 дополнительными опорами и не равными пролетами (в этом случае уравнения трех моментов вам в помощь). Но в любом случае опорные реакции при симметричной нагрузке будут одинаковыми.

Я понял. По периметру первого этажа армопояс 200х300h, внешний периметр 4400х4400. В него заанкерено 3 швеллера, с шагом 1 м. Пролет без стоек, на одном из них самый тяжелый вариант, нагрузка несимметричная. Т.Е. считатьбалку как шарнирную?

вообще да. Я так понимаю, что прогиб швеллера провернет и сам армопояс в месте крепления, поэтому получится шарнирная балка?
Максимальный момент посредине, получается M=Q+2q+от несимметричной нагрузки по максимуму 1,125q. Т.е. я сложил все 3 нагрузки, это правильно?

Не совсем так, сначала вы определяете момент от действия сосредоточенной нагрузки, затем момент от равномерно распределенной нагрузки по всей длине балки, затем момент, возникающий при действии равномерно распределенной нагрузки действующей на некотором участке балки. И только затем складываете значения моментов. Для каждой из нагрузок будет своя расчетная схема.

А не ошибка ли в формуле Mmax для случая 2.3 в таблице 3? Балка с консолью, наверно плюс вместо минуса должен быть в скобках

Нет, не ошибка. Нагрузка на консоль уменьшает момент в пролете, а не увеличивает. Впрочем, это видно и по эпюре моментов.

Здравствуйте, во-первых спасибо за формулы, сохранил в закладках. Подскажите, пожалуйста, есть брус над пролетом, на брус ложатся четыре лаги, расстояния: 180мм, 600мм, 600мм, 600мм, 325мм. С эпюрой, изгибающим моментом разобрался, не могу понять как изменится формула прогиба (таблица 1, схема 1,4), если максимальный момент на третьей лаге.

Я уже отвечал несколько раз на подобные вопросы в комментариях к статье «Расчетные схемы для статически неопределимых балок». Но вам повезло, для наглядности я выполнил расчет по данным из вашего вопроса. Посмотрите статью «Общий случай расчета балки на шарнирных опорах при действии нескольких сосредоточенных нагрузок», возможно со временем я ее дополню.

Док, я вообще не могу осилить эти все непонятные для меня формулы. Поэтому прошу у вас помощи. Хочу сделать в доме консольную лестницу (ступеньки из железобетона замуровать при постройке стены). Стена — ширина 20см, кирпич. Длина выступающей ступеньки 1200*300мм Хочу, чтоб ступеньки были правильной формы(не клином). Понимаю интуитивно, что арматура будет «чем-потолще» чтоб ступеньки были чем-потоньше? Но справится ли с железобетон толщиной до 3см нагрузкой в 150кг на краю? Помогите пожалуйста, так не хочется лохануться. Буду очень благодарен, если поможете расчитать.

То, что вы не можете осилить достаточно простые формулы — это ваши проблемы. В разделе «Основы сопромата» все это разжевано достаточно подробно. Здесь же скажу, что ваш проект абсолютно не реален. Во-первых, стена или шириной 25 см или шлакоблочная (впрочем, могу ошибаться). Во-вторых ни кирпичная ни шлакоблочная стена не обеспечат достаточного защемления ступенек при указанной ширине стены. Кроме того, такую стену следует просчитывать на изгибающий момент, возникающий от консольных балок. В-третьих, 3 см — недопустимая толщина для железобетонной конструкции с учетом того что минимальный защитный слой должен составлять в балках не менее 15 мм. И так далее.
Если не готовы все это осилить, то лучше обратитесь к профессиональному проектировщику — дешевле выйдет.

Спасибо за ответ. Буду дальше размышлять. Не судите строго)

что означет х во второй таблице, 2.4

Добрый день! Каку схему (алгоритм) нужно подобрать для расчета балконной плиты, консоль, защемленная с одной стороны, как правильно расчитать моменты на опоре и в пролете?Можно ли ее расчитать как консольную балку, по схемам с таблицы 2, а именно пунктам 1,1 и 2,1. Спасибо!

x во всех таблицах означает расстояние от начала отсчета до исследуемой точки, в которой мы собираемся определить изгибающий момент или другие параметры.

Да вашу балконную плиту, если она сплошная и на нее действуют нагрузки, как в указанных схемах, можно по этим схемам рассчитывать. Для консольных балок максимальный момент всегда на опоре, потому большой необходимости определять момент в пролете нет.

Спасибо большое! Еще хотел уточнить. Я так понял если расчитывать по 2 табл. схема 1.1,(нагрузка приложена на конец консоли) тогда у меня х=L, и соответственно в пролете М=0. Как быть если у меня эта нагрузка еще и по торцам плиты? И по схеме 2.1 я считаю момент на опоре, плюсую его к моменту по схеме 1.1 и по правильному для того что бы заармировать мне нужно найти момент в пролете. Если у меня вылет плиты 1,45м(в свету), как мне расчитать «х» что бы найти момент в пролете?

Момент в пролете будет изменяться от Ql на опоре до 0 в точке приложения нагрузки, что видно по эпюре моментов. Если у вас нагрузка приложена в двух точках на концах плиты, то в этом случае более целесообразно предусмотреть балки, воспринимающие нагрузки по краям. При этом плиту уже можно рассчитывать как балку на двух опорах — балках или плиту с опиранием по 3 сторонам.

Спасибо! По моментам я уже понял. Еще один вопрос. Если балконная плита опираеться с двух сторон, буквой «Г». Катой тогда расчетной схемой нужно пользоваться?

В этом случае у вас будет пластина, защемленная по 2 сторонам и на моем сайте примеров расчета подобной плиты нет.

Уважаемый доктор Лом!
Подскажите, пожалуйста, по какой схеме нужно рассчитать прогиб балки вот такого механизма https://yadi.sk/i/MBmS5g9kgGBbF. Или может быть, не вдаваясь в расчеты, подскажите подойдет ли для стрелы 10 или 12 двутавр, максимальный груз 150-200 кг, высота подъема 4-5 метров. Стойка – труба d=150, поворотный механизм или полуось, или передняя ступица Газели. Укос можно сделать жестким из того же двутавра, а не тросом. Спасибо.

Оценивать надежность подобной конструкции без расчетов не стану, а рассчитать вы ее можете по следующим критериям:
1. Стрелу можно рассматривать как двухпролетную неразрезную балку с консолью. Опорами для этой балки будут не только стойка (это средняя опора), но и узлы крепления троса (крайние опоры). Это статически неопределимая балка, но для упрощения расчетов (что приведет к небольшому повышению запаса прочности) стрелу можно рассматривать как просто однопролетную балку с консолью. Первая опора — узел крепления троса, вторая — стойка. Тогда ваши расчетные схемы 1.1 (для груза — временной нагрузки) и 2.3 (собственный вес стрелы — постоянная нагрузка) в таблице 3. А если груз будет посредине пролета, то 1.1 в таблице 1.
2. При этом нельзя забывать, что временная нагрузка у вас будет не статическая, а как минимум динамическая (см. статью «Расчет на ударные нагрузки»).
3. Для определения усилий в тросе нужно разделить опорную реакцию в месте крепления троса на синус угла между тросом и балкой.
4. Вашу стойку можно рассматривать как металлическую колонну с одной опорой — жестким защемлением внизу (см. статью «Расчет металлических колонн»). К этой колонне нагрузка будет приложена с очень большим эксцентриситетом, если не будет контргруза.
5. Расчет узлов сопряжений стрелы и стойки и прочие тонкости расчета узлов машин и механизмов на данном сайте пока не рассматриваются.

Док, а где Вам можно картинку показать?

Загружаете на любой бесплатный сервис, а здесь указываете адрес страницы с картинкой.

А у Вас вроде еще форум был?

Был, но времени на разгребание спама в поисках нормальных вопросов у меня совершенно нет. Поэтому пока так.

Док, моя ссылка https://yadi.sk/i/GardDCAEh7iuG
какая расчетная схема в итоге получается для балки перекрытия и консольной балки, а также повлияет ли на уменьшение прогиба балки перекрытия (розовая) консольная балка (коричневый цвет)?
стена — пеноблок D500, высота 250 ширина 150, балка армопояса (голубая): 150х300, армирование 2х?12, верх и низ, дополнительно низ в пролете окна и верха в местах опирания балки на проем окна – сетки ?5, ячейка 50. В углах бетонные колонны 200х200, пролет балки армопояса 4000 без стен.
перекрытие: швеллер 8П (розовый), для расчета брал 8У, вварен и заанкерен с арматурой балки армопояса, забетонирован, от низа балки до швеллера 190 мм, от верха 30, пролет 4050.
слева от консоли – проем для лестницы, опирание швеллера на трубу ?50 (зеленая), пролет до балки 800.
справа от консоли (желтый) – санузел (душ, туалет) 2000х1000, пол – заливка армированной ребристой поперечной плиты, габариты 2000х1000 высота 40 – 100 на несъемной опалубке (профлист, волна 60) + плитка на клее, стены –гипсокартон на профилях. Остальной пол- доска 25, фанера, линолеум.
В точках стрелок опирание стоек бака с водой, 200л.
Стены 2 этажа: обшивка доской 25 с двух сторон, с утеплителем, высота 2000, опирание на армопояс.
крыша: стропила –треугольная арка с затяжкой, вдоль балки перекрытия, с шагом 1000, опирание на стены.
консоль: швеллер 8П, пролет 995, сварена с арматурой с усилением, забетонирована в балку, приварена к швеллеру перекрытия. пролет справа и слева по балке перекрытия – 2005.
Пока варю арматурный каркас, есть возможность сдвинуть консоль вправо-влево, но влево вроде не за чем?

Выбор расчетной схемы будет зависеть от того, чего вы хотите: простоты и надежности или приближения к реальной работе конструкции путем последовательных приближений.
В первом случае балку перекрытия можно рассматривать как шарнирно опертую двухпролетную балку с промежуточной опорой — трубой, а швеллер, который вы называете консольной балкой, вообще не учитывать. Вот собственно и весь расчет.
Далее, чтобы просто перейти к балке с жестким защемлением на крайних опорах, следует сначала рассчитать армопояс на действие крутящего момента и определить угол поворота поперечного сечения армопояса с учетом нагрузки от стен 2 этажа и деформаций материала стен под действием крутящего момента. И таким образом рассчитывать двухпролетную балку с учетом этих деформаций.
Кроме того в этом случае следует учесть возможную просадку опоры — трубы, так как она опирается не на фундамент, а на ж/б плиту (как я понял из рисунка) и эта плита будет деформироваться. Да и сама труба будет испытывать деформацию сжатия.
Во втором случае, если вы хотите учесть возможную работу коричневого швеллера, вам следует рассматривать его как дополнительную опору для балки перекрытия и таким образом сначала рассчитывать 3пролетную балку (опорная реакция на дополнительной опоре и будет нагрузкой на консольную балку), затем определять величину прогиба на конце консольной балки, пересчитывать основную балку с учетом просадки опоры и кроме всего прочего также учитывать угол поворота и прогиб армопояса в месте крепления коричневого швеллера. И это еще далеко не все.

Док, спасибо.Мне нужны простота и надежность. Этот участок-самый нагруженный. Я подумывал даже о том, чтобы завязать стойку бака на затяжку стропил, для снижения нагрузки на перекрытие, учитывая, что на зиму вода будет сливаться. В такие дебри расчетов мне не залезть. В общем случае консоль будет снижать прогиб?

Док, еще вопрос. консоль получается в середине пролета окна, имеет ли смысл смещение к краю? С уважением

В общем случае консоль будет снижать прогиб, но как я уже говорил на сколько сильно в вашем случае — большой вопрос, да и смещение к центру оконного проема будет уменьшать роль консоли. И еще, если это у вас самый нагруженный участок, то может быть просто усилить балку, например еще одним таким же швеллером? Я ваших нагрузок не знаю, но нагрузка от 100 кг воды и половины веса бака не кажется мне такой уж внушительной, а вот швеллера 8П с точки зрения прогиба при 4 м пролете проходят ли с учетом динамической нагрузки при ходьбе?

Док, спасибо за добрый совет. После выходных пересчитаю балку как двухпролетную на шарнирах. Если будет большая динамика при ходьбе, я конструктивно закладываю возможность уменьшения шага балок перекрытия. Домик дачный, поэтому динамика терпима. Большее влияние оказывает поперечное смещение швеллеров, но это лечится установкой поперечных связей или креплением настила. Единственно, не посыпется ли бетонная заливка? предполагаю её опору на верхнюю и нижнюю полки швеллера плюс сварная арматура в ребрах и сетка поверху.
Для расчета консоли и установки лучше взять половину пролета от стойки до балки (4050-800-50=3200/2=1600-40/2=1580) или от края окна (1275-40=1235. Да и нагрузку на балку как оконное перекрытие придется пересчитать, но у Вас есть такие примеры. Единсвенное, нагрузку брать как приложенную на балку сверху? Будет ли перераспределение нагрузки, приложенной почти по оси баки?

Я вам уже говорил, на консоль рассчитывать не стоит.
Вы предполагаете опирание плит перекрытия на нижнюю полку швеллера, но как быть с другой стороной? В вашем случае двутавр был бы более приемлемым вариантом (или по 2 швеллера как балка перекрытия).

Док, я понял.
С другой стороной проблем нет-уголок на закладных в теле балки. С расчетом двухпролетной балки с разными пролетами и разными нагрузками пока не справился, попробую перештудировать Вашу статью по расчету многопролетной балки методом моментов.

Добрый день. Хотелось бы у Вас по интересоваться: отливали фундамент: сваи из бетона глубиной 1.8м, а потом отливали бетоном ленту глубиной 1м. Вопрос вот в чем: нагрузка передаётся только на сваи или она равномерно распределяется и на сваи и на ленту?

Как правило сваи делаются при слабых грунтах, чтобы нагрузка на основание передавалась через сваи, поэтому ростверки по сваям рассчитываются, как балки на опорах-сваях. Тем не менее, если вы заливали ростверк по уплотненному грунту, то часть нагрузки будет передаваться основанию через ростверк. В этом случае ростверк рассматривается как балка, лежащая на упругом основании, и представляет собой обычный ленточный фундамент. Примерно так.

Спасибо. Просто на участке получается смесь глины, песка. Причём слой глины очень твёрдый: слой можно снять только при помощи лома и т.д.,т.п.

Я всех ваших условий не знаю (расстояние между сваями, этажность и пр.). По вашему описанию получается, что вы сделали обычный ленточный фундамент и сваи для надежности. Поэтому вам достаточно определить, достаточно ли будет ширины фундамента для передачи нагрузки от дома основанию.

Здравствуйте! Нужна Ваша помощь в расчете. Металлическая воротина 1,5 х1,5 м весом 70 кг крепится на металлической трубе, забетонированной на глубину 1,2 м и обложенной кирпичом (столб 38 на 38 см).Какого сечения и толщины должна быть труба, чтобы не было изгиба?
Я рассчитал по табл. 2, п. 1.1. (http://doctorlom.com/item173.html#comments) как прогиб консольной балки с нагрузкой 70 кг, плечом 1,8 м, труба квадратная 120х120х4 мм, моментом инерции 417 см4. У меня получился прогиб – 1,6 мм? Верно или нет?

Вы правильно предположили, что вашу стойку следует рассматривать, как консольную балку. И даже с расчетной схемой вы почти угадали. Дело в том, что на вашу трубу будут действовать 2 силы (на верхнем и нижнем навесе) и значение этих сил будет зависеть от расстояния между навесами. Больше подробностей в статье «Определение вырывающего усилия (почему дюбель не держится в стене)». Таким образом в вашем случае следует выполнить 2 расчета прогиба по расчетной схеме 1.2, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков (проще говоря из одного значения вычесть другое).
P.S. А точность расчетов я не проверяю, тут уж только на себя надейтесь.

Спасибо за ответ. Т.е. мною расчет сделан по максимуму с большим запасом, и вновь рассчитанная величина прогиба всяко будет меньше?

Подскажите, пожалуйста, на схеме 2.2 таблицы 3 как определить прогиб в точке C, если длины консольных участков различны?

В этом случае вам нужно пройти полный цикл. Есть ли в этом необходимость или нет, я не знаю. Для примера посмотрите статью, посвященную расчету балки на действие нескольких равномерно сосредоточенных нагрузок (ссылка на статью перед таблицами).

К моему вопросу от 05 июля 2015г. Есть ли какое правило минимальной величины защемления в бетоне данной металлической консольной балки 120х120х4 мм с воротиной 70 кг.- (например, не менее 1/3 длины)

Вообще-то расчет защемления — отдельная большая тема. Дело в том, что сопротивление бетона сжатию — это одно, а деформации грунта, на который давит бетон фундамента — это совсем другое. Если коротко, то чем больше длина профиля и чем больше площадь, контактирующего с грунтом, тем лучше.

Спасибо! В моем случае металлическая стойка ворот будет заливаться в бетонной свае диаметром 300 мм длиной 1 м., а сваи по верху будут соединены бетонным ростверком с арматурным каркасом? бетон везде М 300. Т.е. деформации грунта не будет. Хотелось бы знать приблизительное, пусть с большим запасом прочности, соотношение.

Тогда действительно 1/3 длины для создания жесткого защемления должно хватить. Посмотрите для примера статью «Виды опор, какую расчетную схему выбрать».

Здраствуйте,как рассчитать балку на двух шарнирных опорах с консолей, участвует сосредоточенная сила и распределенная?

Можно сначала рассчитать балку отдельно на каждую нагрузку по представленным здесь расчетным схемах, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков.
Можно сразу составлять уравнения статического равновесия системы и решать эти уравнения.

Здравствуйте, доктор )))
У меня балка по схеме 2.3. В Вашей таблице дана формула для расчета прогиба в середине пролета l/2, а по какой формуле можно просчитать прогиб на конце консоли? Прогиб в середине пролета будет максимальным? Сравнивать с предельно допустимым прогибом по СНиПу «Нагрузки и воздействия» полученный по этой формуле результат надо используя величину l — расстояние между точками А и В? Заранее спасибо, я что-то запуталась совсем. И еще, не могу найти первоисточник, из которого взяты эти таблицы — можно ли название указать?

Как я понял, вы ведете речь о балке из таблицы 3. Для такой балки максимальный прогиб будет не посредине пролета, а ближе к опоре А. В целом величина прогиба и расстояние х (до точки максимального прогиба) зависят от длины консоли, поэтому в вашем случае следует воспользоваться уравнениями начальных параметров, приведенных в начале статьи. Максимальный прогиб в пролете будет в точке, где угол поворота наклонного сечения равен нулю. Если консоль достаточно длинная, то прогиб на конце консоли может быть даже больше, чем в пролете.
Когда вы сравниваете полученный результат прогиба в пролете со СНиПовкским, то длина пролета — это расстояние l между А и В. Для консоли вместо l принимается расстояние 2а (двойной вылет консоли).
Данные таблицы я составил сам, воспользовавшись различными справочниками по теории сопротивления материалов, проверяя при этом данные на предмет возможных опечаток, а также общими методами расчета балок, когда необходимые на мой взгляд схемы в справочниках отсутствовали, поэтому первоисточников много.

Почитал комментарии. Терпения тебе автор, крепкого терпения.

Огромное спасибо Вам за ваши разъяснения. Предстоит куча работ по своему дому. Беседки, навесы, опоры. Попробую вспомнить то что в свое время старательной проспал а потом случайно сдал во Сов.ВТУЗ-е.

А разве не в СИ все размерности? (см коммент 08-06-2013 от Виталия)

Какие именно вы будете использовать единицы кгс или Ньютоны, кгс/см^2 или Паскали, не имеет принципиального значения. В итоге вы все равно получите на выходе сантиметры (или метры). См коммент 09-06-2013 от Доктора Лома.

Здравствуйте у меня балка по схеме 1.4. какая формула для нахождения поперечной силы

Для каждого участка балки значения поперечной силы будут разные (что впрочем видно по соответствующей эпюре поперечных сил). На первом участке 0

Спасибо огромное, вы большой молодец!

Во время наткнулся на ваш сайт. Чуть не промахнулся с расчетами всегда думал что консольная балка с нагрузкой на конце балки будет прогибаться сильнее чем с равномерно распределенной нагрузкой а формулы 1.1 и 2.1 в таблице 2 показывают обратное. Спасибо за вашу работу

Вообще-то сравнивать сосредоточенную нагрузку с равномерно распределенной имеет смысл лишь тогда когда одна нагрузка приведена к другой. Например при Q = ql формула определения прогиба по расчетной схеме 1.1 примет вид f = ql^4/3EI, т.е. прогиб будет в 8/3 = 2.67 раза больше, чем при просто равномерно распределенной нагрузке. Так что формулы для расчетных схем 1.1 и 2.1 ничего обратного не показывают и изначально вы были правы.

добрый день! вот все-таки никак не могу взять в толк-буду очень признателен, если поможете раз и навсегда разобраться-при расчете (любом) обычной балки двутавровой с обычной распределенной нагрузкой по длине какой момент инерции использовать — Iy или Iz и почему? ни в одном учебнике сопромата не могу найти-всюду пишут, что сечение должно стремиться к квадрату и брать надо наименьший момент инерции. Никак не могу ухватить за хвост физический смысл-можно это как-то на пальцах истрактовать?

Я вам советую для начала посмотреть статьи «Основы сопромата» и «К расчету гибких стержней на действие сжимающей внецентренной нагрузки», там все достаточно подробно и наглядно разъяснено. Здесь же добавлю, что мне кажется, вы путаете расчеты на поперечный и продольный изгиб. Т.е. когда нагрузка перпендикулярна нейтральной оси стержня, то определяется прогиб (поперечный изгиб), когда нагрузка параллельна нейтральной оси балки, то определяется устойчивость, другими словами, влияние продольного изгиба на несущую способность стержня. Конечно же при расчетах на поперечную нагрузку (вертикальную нагрузку для горизонтальной балки) момент инерции следует принимать в зависимости от того, какое положение имеет балка, но в любом случае это будет Iz. А при расчетах на устойчивость, при условии, что нагрузка приложена по центру тяжести сечения, рассматривается наименьший момент инерции, так как вероятность потери устойчивости именно в этой плоскости значительно больше.

Здравствуйте, такой вопрос почему в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба по сути одинаковые и размер b. в формуле 1.4 ни как не отражен?

При несимметричной нагрузке формула прогиба для расчетной схемы 1.4 будет достаточно громоздкой, но при этом следует помнить, что прогиб в любом случае будет меньше, чем при приложении симметричной нагрузки (конечно же при условии b

в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба вместо Qa^3/24EI должно быть Ql^3/24EI. Долго не мог понять почему прогиб с кристаллом не сходится

Все верно, еще одна опечатка из-за невнимательного редактирования (надеюсь, что последняя, но не факт). Исправил, спасибо за внимательность.

Здравствуйте, Доктор Лом. Вопрос следующий: просматривал фото со стройки и заметил одну вещь: Жб заводская перемычка 30*30 см примерно, оперта на трехслойную жб панель сантиметров на 7. (жб панель немного подпилили для опирания на нее перемычки). Проем под балконную раму 1,3 м, по верху перемычки армопояс и плиты перекрытия чердака. Критичны ли эти 7 см, опирание другого конца перемычки больше 30 см, все стоит нормально несколько лет уже

Если есть еще и армопояс, то нагрузка на перемычку может значительно снизиться. Думаю, все будет нормально и там даже при 7 см достаточно большой запас по прочности на опорной площадке. Но вообще нужно конечно же считать.

Доктор, а если предположить, ну чисто теоретически
что арматура в армопоясе над балкой полностью разрушена, армопояс треснет и ляжет на балку вместе с плитами перекрытия? Хватит ли этих 7 см опорной площадки?

Думаю, даже в этом случае ничего не случится. Но повторю, для более точного ответа нужен расчет.

В таблице 1 в формуле 2.3 для вычисления прогиба вместо «q» указана «Q». Формула 2.1 для вычисления прогиба, являясь частным случаем формулы 2.3, при вобставлении воответствующих значений (a=c=l, b=0) приобретает другой вид.

Все верно была опечатка, но теперь это не имеет значения. Формулу прогиба для такой расчетной схемы я брал из справочника Фесика С.П., как наиболее короткую для частного случая х = а. Но как вы правильно подметили — эта формула не проходит проверки на граничные условия, поэтому я ее вообще убрал. Оставил только формулу для определения начального угла поворота, чтобы упростить определение прогиба по методу начальных параметров.

Подскажите где найти формулу максимального прогиба для двухпролетной шарнирно опертой балки с равномерно распределенной нагрузкой. У вас в табличках что то не нашел

Двухпролетная балка является статически неопределимой. Ссылка на расчетные схемы таких балок в конце статьи.

Здравствуйте. Подскажите, есть здание с ребристым монолитным перекрытием, второстепенная балка шестипролетная. Мне её считать как 6-ти пролетную или можно как 3-ех пролетную

Я всех ваших условий не знаю, поэтому полагаю, что надежнее считать как 6-ти пролетную.

Доктор, чтобы подобрать арматуру, мне её нужно рассчитать от различных комбинаций нагрузки (временная нагрузка в нечетных пролетах, в четных, в 1,2 и4 и т.д), но нашел я максимум для 5-ти пролетной балки. Не знаете ли вы где можно найти для моего случая или самому придется подбирать

В учебных пособиях, насколько я знаю, такой частный случай не рассматривается. Тут поможет только программное обеспечение, например, Лира.

Добрый день в формуле прогиба 1.4 в первой таблице — значение в скобках всегда получаетсья отрицательным

Все правильно, во всех приведенных формулах отрицательный знак в формуле прогиба означает, что балка прогибается вниз по оси у.

Добрый день, доктор лом. Не могли бы Вы написать статейку про крутящий момент в металлической балке — когда он вообще возникает, при каких расчётных схемах, ну и, конечно же, расчёт хотелось бы от Вас увидеть с примерами. У меня — мет балка шарнирно опёртая, один край консольный и на него приходит сосредоточенная нагрузка, а по всей балке распределённая от ж.б. тонкой плиты 100 мм и стены ограждения. Эта балка крайняя. С ж.б. плитой соединяется приваренными к балке с шагом 600 мм стержнями 6 мм. Не могу понять будет ли там крутящий момент, если да — то как его найти и рассчитать сечение балки в связи с ним?

Вообще-то на сайте есть целый раздел, посвященный крутящему моменту, когда он возникает и как его учесть. Раздел так и называется «Крутящий момент».

Спасибо огромное, что подсказали. Уже «бегу» смотреть указанный раздел.

Доброго времени суток «Доктор Лом»! Хочу построить гараж с внутренним размером в плане 9х9 метров в чистоте. Хочу перекрытие выполнить из двутавровых балок, по ним дощатый настил + пароизоляция + утеплитель базалит 150 мм. Крыша будет из профнастила по деревянным стропилам. Не в службу а в дружбу не могли ли Вы мне посоветовать какой двутавр нужен,сколько и с каким шагом между ними?
С уважением Виктор. Приморский край, город Дальнегорск.

Виктор, эмоциональные поглаживания — это конечно хорошо, но их на хлеб не намажешь и семью ими не прокормишь. Для ответа на ваш вопрос требуются расчеты, расчеты — это время, а время — это не эмоциональные поглаживания.

В таблице 2, пример №1.1 ошибка в формуле для тэта(икс)

Здравствуйте, уважаемый доктор у меня вопрос по методу начальных параметров. В начале статьи, у вас написано, что формулу прогиба балки можно получить — дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.
Допустим я не знаю прогиб балки расчетной схемы 2.1 (табл. 1) . Я дважды проинтегрирую изгибающий момент ?q*l2/8dx=q*l3/24;?q*l3/24dx=q*l4/96.
После разделю значение на EI. q*l4/(96*EI).
И прибавлю к нему результат интегрирования угла поворота это — ?q*l3/24dx=q*l4/96. q*l4/(96*EI)+q*l4/(96*EI)=q*l4/(48*EI).
У вас получается значение -5*q*l4/(384*EI).
Подскажите пожалуйста. Где я допустил ошибку?

Ошибка в том, что вы проинтегрировали не уравнение моментов, а результат решения этого уравнения для точки посредине балки, а это разные вещи. Кроме того при сложении следует внимательно следить за знаком «+» или «-«. Если вы внимательно проанализируете формулу прогиба, приводимую для данной расчетной схемы, то поймете о чем речь. А еще при интегрировании угла поворота результат q*l4/48, а не q*l4/96 и в окончательной формуле он будет идти с минусом, так как такой начальный угол поворота будет приводить к прогибу балку ниже оси х.

Приветствую, в Т.1 2.3 формулы для моментов что принимается за X? Середина распределенной нагрузки?

Для всех таблиц, расстояние х — это расстояние от точки начала координат (как правило опора А) до рассматриваемой точки на нейтральной оси балки. Т.е. приведенные формулы позволяют определить значение момента для любого поперечного сечения балки.

Оплатил билет на вход- 100 руб. Жду приглашения, -для расчёта консольной балки миниатюрной формы из кварцевой пластины. Владимир Мостяев. 8-916-121-28-36

Владимир, я отправил вам письмо.

Добрый день. В формулах прогиба однопролетной балки с одной и двумя консолями под равномерно распределенной нагрузкой у вас перепутаны знаки в скобках. Для балки с двумя консолями у вас стоит (24а^2 — 5L^2) должно быть наоборот (5L^2 — 24a^2). Во второй формуле та же ошибка.

Александр, это не ошибка. Если вы внимательно читали вводную часть, то там сказано: «Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у». Просто иногда бывают случаи (опять же в случаях с консольной балкой), когда рассматриваемое сечение действительно имеет положительный прогиб (например конец консоли поднимается вверх) и об этом следует помнить. Впрочем кому как удобнее, на окончательный результат это никак не влияет.

Вводную часть я вообще не читал, мне ни к чему. Но я вас понял. Просто, я как-то не подумал, что запись формул может отличаться от тех, которым меня учили 40 лет назад. Я привык,видеть прогиб направленный вниз, как положительное число и наоборот отрицательное, если вверх. У Отрешко, Мичурина, Дыховичного формулы прогиба представлены именно так, вниз — положительная величина, вверх — отрицательная. Поэтому у Отрешко формула прогиба консольной балки записана, как (5 — 24a^2/l^2)*ql^4/384EI. Прошу прощения за недопонимание.

Александр, размышления на тему нашей переписки я изложил в отдельной статье «Формула прогиба». Здесь же скажу лишь то, что у меня формулы прогиба записаны именно так, как они выглядят после надлежащего интегрирования уравнений изгибающих моментов.

Это понятно, чем вы руководствовались делая такую запись. Балка прогибается вниз, в декартовой системе координат прогиб относительно оси х идет вниз и получает отрицательную величину по оси у. У вас так и записано. Загвоздка тут в другом. В той же системе координат мы рисуем моменты изгиба, но. Но направленный вниз момент мы пишем с положительным знаком и это общепринятая практика. Вот и получается по вашим формулам, например, для однопролетной балки вы записываете момент изгиба нарисованный вниз со знаком плюс, а прогиб со знаком минус. Получается дисбаланс. В одной и той же системе координат записываются разные знаки. Если бы мы рисовали моменты на сжатых волокнах (как буржуины) то запись прогиба со знаком минус не вызвала бы вопросов, но мы рисуем их на растянутых волокнах и пишем при этом «плюс». Вот это меня и зацепило, когда искал готовую формулу прогиба для нужной мне балки. Как-то привык, что вниз это плюс, вверх — минус. В наших картинках эпюра моментов практически повторяет линию прогибов, на консолях только нужно проявлять воображение.

Здравствуйте! Для схемы 2.3, табл.1, какая формула макс.изг.момента?

Для схемы 2.3 нужно сначала определять сечение, в котором касательные напряжения равны нулю по формуле: А — q(x — a) = 0.

Скажите пожалуйста у меня пролет 5,5 метра. Балка 6,30 метра, диаметр арматуры 16мм , снизу 3 и сверху 3 арматуры по длину поставили и залили бетоном. Ширина балки 40 см а высота 45 см получилось. На него 30 рядов керпича хотим укладывать выдержит ли это балка. Заранее спасибо

Вы не указали класс бетона и арматуры, но все равно предполагаю, что выдержит с большим запасом. Больше подробностей смотрите в статье «Определение несущей способности железобетонной балки».

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Лекция 6 (продолжение) . Примеры решения на плоский изгиб

Определение перемещений и проверка жесткости балок при изгибе

При расчете строительных и машиностроительных конструкций на жесткость (в большинстве случаев по прогибам, по углам поворота) должно соблюдаться условие

т.е. относительный прогиб f / l , подсчитанный при действии нормативных нагрузок, не должен превышать установленный нормами предельный прогиб 1/ n_o для данного вида конструкции.

Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота опорных сечений:

.

Допускаемый угол поворота берется из соответствующих справочников. В среднем составляет 0,001 рад.

Для консольной балки с сосредоточенной парой M_o на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота.

По дифференциальным уравнениям имеем

.

В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C₁=0 и C₂=0. Следовательно, балка изогнется по дуге параболы:

.

На этом примере наглядно проявляется приближенный характер уравнения, так как при постоянном изгибающем моменте согласно равенству

балка должна изгибаться по дуге окружности радиуса . Однако в пределах длины балки указанные дуги окружности и параболы практически совпадают.

Для консольной балки с сосредоточенной силой P на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота.

Решение.

Реактивная сила и момент в заделке равны R=P, M_R=Pl. В произвольном сечении на расстоянии x от заделки имеем

.

В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C₁=0 и C₂=0. Окончательно, имеем

.

Максимальные прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки:

.

Знак минус в формулах для прогиба и угла поворота означает, что прогиб конца консольной балки направлен вниз, а поворот концевого сечения – по часовой стрелке.

Для балки нагруженной распределенной нагрузкой найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота.

Решение.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении

.

В произвольном сечении на расстоянии x от опоры A имеем

.

Из условия для прогиба на левой опоре

.

Из условия для прогиба на правой опоре

.

Подставив значения C₁ и C₂ в уравнение, получим

.

На рисунке построены эпюры прогибов и углов поворота, из которых видно, что максимальный прогиб будет в середине балки

.

Максимальные углы поворота будут в опорных сечениях:

.

Однопролетная шарнирно опертая балка находится под действием равномерно распределенной нагрузки (см. рис.).

Вывести дифференциальное уравнение изгиба и найти максимальные прогибы и углы поворота.

Опорные реакции в этой задаче Перерезывающая сила и изгибающий момент, согласно методу сечений, равны:

(1)

Строим для наглядности эпюры (рис. а).

Подставляя найденное выражение для в дифференциальные урав­нения изогнутой оси балки, получим:

(2)

Интегрируя (2) дважды, находим:

(3)

На краях балки при имеем . Поэтому из (3) следует:

(4)

Подставляя полученные значения в (3), находим:

(5)

Максимальный прогиб имеет место в середине пролета при и равен:

(6)

Прогиб положителен, т.е. направлен вниз по оси у. Угол поворота . Геометрический смысл первой производной состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной в точке изогнутой оси с координатой z. На рис. б показано, в каких четвертях тангенс положителен и отрицателен, а также изображены фраг­менты касательных к изогнутой оси, отвечающие положительным и отрицательным углам поворота сечений

Перевернутая эпюра на рис. а построена на растянутых волокнах балки. Она напоминает изогнутую ось балки.

1) Консольная балка изгибается силой Р на конце (см. рис. а).

2) Консольная балка изгибается распределенной нагрузкой (рис. б).

3) Консольная балка изгибается моментом на конце (рис. в).

Для всех трех балок найти дифференциальное уравнение изгиба и найти максимальные прогибы и углы поворота.

1) Из рис. а находим методом сечений:

(1)

Дифференциальное уравнение изгиба

(2)

(3)

При z = 0 имеем граничные условия:

(4)

(5)

Максимальный прогиб и угол поворота имеют место на конце консоли при z = , т.е.

(6)

2) Из рис. б методом сечений находим:

(1)

Дифференциальное уравнение изгиба:

(2)

(3)

В защемлении балки при z=0 имеем Максимальные угол поворота и прогиб имеют место на конце консоли при т.е.

(4)

3) В этом случае

Дифференциальное уравнение изгиба:

(1)

(2)

Так как при то получаем С ледовательно,

(3)

1) Изгиб однопролетной балки моментом в опоре (рис. а).

2) Чистый изгиб однопролетной балки моментами m (рис. б).

Для обеих балок найти дифференциальное уравнение изгиба и найти максимальные прогибы и углы поворота.

1) Перерезывающая сила и изгибающий момент в произвольном сечении z равны:

(1)

Дифференциальное уравнение изгиба:

(2)

откуда после интегрирования получаем:

(3)

Из граничных условий v = 0 при z = 0 и z = получаем:

(4)

Следовательно, (5)

Угол поворота на правой опоре:

(6)

2) В этом случае Дифференциальное уравнение изгиба:

(1)

откуда после интегрирования:

(2)

Из граничных условий при находим

(3)

Максимальный прогиб в середине пролета:

(4)

Определить вертикальное перемещение среднего и угол поворота торцевого сечения консольной балки.

Решение.

Изгибающий момент от заданной нагрузки в текущем сечении M_z(x)= – qx 2 /2.

При нагружении единичной силой в среднем сечении балка будет иметь два, участка, причем на первом M_z 1 (x)=0, а на втором M_z 1 (x)= – 1 (x-l). Искомый прогиб в середине балки

.

Для определения угла поворота торцевого сечения приложим в этом сечении единичный момент. Тогда M_z 1 (x)=1, искомый угол поворота торца балки

.

Следовательно, торцевое сечение поворачивается не в направлении вращения единичной пары (см. рис.), а в противоположную сторону — по часовой стрелке.

Подобрать номер стального двутавра исходя из условий прочности и жесткости, если допускаемое напряжение =160 МПа, допускаемый прогиб [ f ] = l / 400, F = 50 кН, модуль упругости Е = 200 ГПа.

Решение.

1. Подбор сечения по условию прочности. Максимальный изгибающий момент возникает в защемлении и равен M _max = Fl = 50 кНм. По условию прочности или , откуда

= 50 /(160 ) = 312,5 см 3 .

Принимаем двутавр № 24а, у которого W_x = 317 см 3 .

2. Подбор сечения по условию жесткости.

По условию жесткости или , откуда

I_x = 400 Fl 2 /( 3 E ) = 400 /(3 ) = 3333 см 4 .

Берем профиль № 24, для которого I_x = 3460 c м 4 .

Окончательно принимаем двутавр № 24а, удовлетворяющий как условию прочности, так и жесткости.

Подобрать диаметр деревянной балки круглого сечения, удовлетворяющей условиям прочности и жесткости, если q =1 кН/м, а =1 м, = 10 МПа, = 1 МПа, Е = 10 ГПа, [ f ] = l /400.

1. Построение эпюр Q и М_х. Опорные реакции:

Расчетные внутренние факторы:

2. Подбор сечения из условий прочности:

по нормальным напряжениям

, W_x = d 3 /32,

по касательным напряжениям

, A =( /4) d 2 , откуда

.

Таким образом, по условию прочности требуемый диаметр равен .

3. Подбор сечения по условию жесткости. Определяем наибольший прогиб. Начало координат выбираем в середине балки (сеч. С). Тогда в силу симметрии = 0. Кроме того, Q_o = 0 и М_о = 4 qa 2 . Из условия опирания балки V_B = 0 или

.

Отсюда .

По условию жесткости , , откуда

Окончательно принимаем больший размер, т.е.

.

На стальную двутавровую балку действует равномерно распределенная нагрузка. Определить интенсивность нагрузки q , если измерением установлено, что касательная к оси изогнутой балки на свободном конце составляет с осью Oz угол = 8 мрад. Принять Е = 200 ГПа.

Из условия опирания балки = 0 или = + (1/ EI_x )( ql 3 /6) = 0, из которого находим

= — ql 3 /(6 EI_x ). Отсюда

q = 6 EI_x / l 3 = 6 /2 3 = 4 ,2 кН/м.

Дюралевая круглая труба сечением 50х44 мм положена горизонтально на две опоры. Определить максимальный допускаемый пролет l , исходя из условий прочности и жесткости, если [ f ] = l /200, = 115 МПа, = 26 кН/м 3 , Е = 75 ГПа.

1. Расчет на прочность. Геометрические характеристики сечения

;

;

.

Погонная нагрузка .

Из условия прочности или

, откуда

.

2. Расчет на жесткость. Наибольший прогиб в данном случае равен .

Из условия жесткости , откуда

Окончательно принимаем меньшую из двух найденных величин, т.е. .

При загружении сосновой доски, свободно лежащей на двух опорах, силой F = 24 Н посредине был измерен прогиб под силой f = 5 мм. Определить модуль упругости материала.

Как известно, прогиб под силой равен , откуда .

Вычисляем момент инерции

и находим

.

Определить прогиб балки, изображенной на рисунке. Жесткость балки на изгиб – EI .

SHAPE * MERGEFORMAT

Определяем опорные реакции R_A и R_B : тогда R_A = R_B = m / l .

Балка состоит из одного участка. Составляем уравнение упругой оси балки:

а затем его интегрируем:

(1)

Для определения постоянных интегрирования С и D поставим граничные условия: при х = 0 имеем у = 0 и при х = l также имеем у = 0, т.е. получаем у( х = 0 ) = D = 0, откуда D = 0, далее

,

откуда находим С = – ml /(3 EI ).

Подставляя полученное значение С в формулы (1), окончательно запишем результаты:

Провести расчет по второй группе предельных состояний (по прогибам) главной двутавровой балки рабочей площадки производственного здания при отсутствии рельсовых путей (см. рис.). Нормативная нагрузка q = 8 кН/м, длина консоли l = 2 м.

Максимальный прогиб будет на конце консоли в точке В:

С учетом примечания к табл. 1 принимаем [1/ n _o ] = 1/400 и формулу можно записать в следующем виде

Таблица 1. Предельные относительные прогибы изгибаемых элементов

Балки и фермы крановых путей под краны:

легкого режима работы (ручные

краны, тельферы, тали)

при электрических кранах режима работы среднего

Балки рабочих площадок производственных зданий:

при отсутствии рельсовых путей:

при наличии путей:

Балки междуэтажных перекрытий:

Балки и фермы покрытий и чердачных перекрытий:

несущие подвесное и

не несущие подвесное

Покрытия, в том числе большепролетные без подвесного транспорта

Кровельные панели и подвесные потолки

Примечание: Для консолей пролет l равен удвоенному вылету консоли.

или

Из полученного соотношения определяем

По сортаменту прокатных профилей «Двутавры стальные горячекатанные» принимаем двутавр № 16 ( I_z = 873 см 4 , W_z = 109 см 3 ).

Проверим прочность балки из двутавра № 16. Согласно рисунку, имеем M _max = ql 2 /2 =16000 Нм и тогда находим для стали С255:

По сортаменту прокатных профилей «Двутавры стальные горячекатанные» принимаем двутавр № 14 с W_z = 81,7 см 3 , I_z = 572 см 4 .

Следовательно, согласно расчету на прочность можно использовать в качестве балки рабочей площадки двутавр № 14. Однако в этом случае конструкция будет непригодна к нормальной эксплуатации из-за появления недопустимых перемещений (прогибов). Окончательно принимаем двутавр № 16, который необходим из расчета на жесткость.

Подобрать из расчета на прочность главную балку междуэтажного перекрытия двутаврового поперечного сечения и проверить условие жесткости для нее (см. рис.). Принять F = 30 кН, l = 6 м. Материал балки – сталь С255, = 1,1.

SHAPE * MERGEFORMAT

Определяем опорные реакции в рассматриваемой однопролетной балке R_A = R_B = F = 30 кН. Максимальный изгибающий момент будет в середине пролета:

следовательно, согласно условия:

По сортаменту прокатных профилей «Двутавры стальные горячекатанные» принимаем двутавр № 22 ( W_z = 232 см 3 , I_z = 2550 см 4 ).

Максимальный прогиб будет также в середине пролета балки. Составим дифференциальное уравнение изгиба оси балки для первого участка:

Поставим граничное условие: y_I = 0 при х = 0 и находим D = 0. Далее запишем

при а также для третьего участка ( ):

Граничное условие для третьего участка примет вид: y_III = 0 при х = 6м, откуда найдем С = –120/( EI ).

Максимальный прогиб будет в середине пролета балки на втором участке при х = 3 м:

Для принятого по расчету двутавра № 22 выписываем I = 2550 см 4 . В этом случае условие жесткости принимает вид

Таким образом, главная балка междуэтажного перекрытия из двутавра № 22 будет непригодна к нормальной эксплуатации, вследствие появления недопустимо больших прогибов.

Проведем расчет на жесткость. Формулу представим в виде

откуда

где принято

Окончательно принимаем из условия проверки жесткости балки двутавр № 33 ( I_z = 9840 см 4 , W _z = 597 см 3 ).

Максимальное нормальное напряжение в этом случае будет

На балку моносимметричного сечения, выполненную из чугуна, действует нагрузка, показанная на рис. 1, а. Поперечное сечение балки изображает рис. 2. Надо найти грузоподъемность балки, т.е. значение допускаемой нагрузки, при которой обеспечены прочность и жесткость балки. Допускаемое значение максимального прогиба балки задано.

Найдем геометрические характеристики заданного поперечного сечения: осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. Сечение имеет только одну ось симметрии, эта ось является одной из главных осей инерции. Обозначим ее z . Вторая главная ось y проходит через центр тяжести сечения. Определим положение центра тяжести сечения по формуле

.

Статический момент определяем относительно произвольной оси а– а, перпендикулярной оси z (оси симметрии), как сумму статических моментов фигур, составляющих заданное поперечное сечение. В данном случае сечение разбиваем на три прямоугольника и площадь сечения состоит из площадей трех фигур: двух стенок А_с и полки А_п: . Ось а– а рационально расположить так, чтобы статический момент одной из фигур равнялся нулю. Это произойдет, если ось а– а провести через центр тяжести какой-то фигуры, например, через центр тяжести полки (см. рис. 2).

Тогда статический момент полки равен нулю и полный статический момент S_a равен удвоенному статическому моменту стенки:

.

Здесь первый множитель – удвоенная площадь стенки, второй – координата центра тяжести стенки (При вычислении статического момента не забывайте учитывать знаки координат центра тяжести).

Найдя положение центра тяжести сечения, проведем через него вторую главную ось y (см. рис. 2). Рекомендуем рисовать сечение в масштабе, тогда по масштабу можно проконтролировать правильность определения центра тяжести сечения. В данном случае очевидно, что центр тяжести должен быть смещен к полке.

Теперь определим осевой момент инерции относительно оси y. Находим его как сумму моментов инерции трех фигур: двух стенок ( ) и полки ( ). Для определения момента инерции каждой фигуры используем формулу

.

Здесь – момент инерции фигуры относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести фигуры и параллельной оси y, а – расстояние между осями y и y₀. Таким образом ,

.

Расстояния h₁ и h₂ показаны на рис. 2. Моменты инерции полки и стенки относительно собственных осей y₀ находим по формуле, справедливой для прямоугольника ,

,

где b – ширина прямоугольника (параллельна оси y₀); h – его высота. Например, для полки

.

Примечание. Рекомендуем для тренировки аналогично найти момент инерции поперечного сечения относительно оси z, несмотря на то, что в проверке прочности этой балки он не участвует.

Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента, выражая ординаты через неизвестный параметр нагрузки (в данной задаче через q – см. рис. 1, б).

Прежде чем находить положение опасных сечений и опасных точек по эпюрам Q и М, выясним как рационально расположить поперечное сечение балки: полкой вверх или полкой вниз. Поскольку чугун – хрупкий материал и прочность при растяжении у него меньше прочности при сжатии, оптимальным положением сечения является такое положение, при котором максимальные растягивающие напряжения будут меньше максимальных по модулю сжимающих напряжений. В рассматриваемом примере максимальный изгибающий момент отрицателен, то есть балка в сечении, где действует , изгибается выпуклостью вверх и растягивающие напряжения будут в верхних волокнах. Поэтому располагаем поперечное сечение так, чтобы центр тяжести сечения был ближе к верхним волокнам, т. е. полкой вверх.

Найдем положение опасных сечений и опасных точек так же, как в двутавровой балке (см. рис. 1, в). Поскольку максимальная поперечная сила и наибольший изгибающий момент действуют в данном примере в одном сечении, то опасные точки 1, 1 ¢ , 2 и 3 расположены в одном сечении а–а. Особенностью расчета балок из хрупкого материала является то обстоятельство, что точки 1 и 1 ¢ не являются равноопасными. Так как хрупкий материал имеет разную прочность при растяжении и сжатии, то проверять прочность надо как в точке 1, в которой действуют максимальные растягивающие напряжения, так и в точке 1 ¢ с наибольшими сжимающими напряжениями. Если эпюра изгибающих моментов меняет свой знак, как в рассматриваемом примере, то появляется еще одна опасная точка – точка 4 (см. рис. 1, в). В этой точке действуют растягивающие напряжения, и поскольку она расположена дальше от нейтральной оси, чем точка 1, величина растягивающего напряжения в точке 4 может оказаться больше, чем в точке 1 несмотря на то, что изгибающий момент в сечении b–b меньше, чем в сечении а–а.

Определим допускаемую нагрузку из условия прочности в точке 1, где действуют максимальные растягивающие напряжения:

,

.

Здесь – момент сопротивления растяжению; – расстояние до наиболее растянутого волокна показано на рис. 2. Для рассматриваемого примера и .

Проверим прочность в остальных опасных точках, используя найденное значение допускаемой нагрузки. В точке 1 ¢ с наибольшими сжимающими напряжениями

,

где – момент сопротивления сжатию. (Расстояние показано на рис. 2.)

Для рассматриваемого примера опасной является и точка 4. Условие прочности в этой точке:

.

Чтобы проверить прочность в точке 2 с максимальными касательными напряжениями, находящейся в напряженном состоянии «чистый сдвиг», необходимо применить теорию прочности, справедливую для хрупкого материала. Например, из теории Мора для чистого сдвига получим следующее условие прочности :

,

где максимальное касательное напряжение определяем по формуле Журавского , в которой статический момент находим для отсеченной части, расположенной по одну (любую) сторону от нейтральной оси.

Наконец, условие прочности в точке 3, где действуют и нормальные (растягивающие), и касательные напряжения, записываем по теории прочности для «балочного» напряженного состояния, справедливой для хрупкого материала, например по теории Мора . Нормальные и касательные напряжения в этой точке определяем по формулам и .

Если в какой-то точке условие прочности не будет выполняться, необходимо найти новое значение допускаемой нагрузки из условия прочности в этой точке.

В рассматриваемой задаче, кроме условия прочности, должно выполняться и условие жесткости, т. е. максимальный прогиб не должен превосходить значения допускаемого прогиба. Вопрос о нахождении прогибов решается в разделе «Определение перемещений и проверка жесткости балок».

Для балки, изображенной на рис. а, требуется:

1) построить эпюры Q и M ;

2) подобрать сечение двутавр =160 МПа;

3) построить изогнутую ось балки аналитическим методом вычислив прогибы в характерных сечениях и в середине пролета ;

4) проверить жесткость при [ V ]= l /500, если: Р =34 кН , m =14 кНм, q =18 кН/м, l =5,6 м.

1. Определение опорных реакций:

2. Построение эпюр Q и М

Эпюры Q и М строим методом характерных сечений.

3 . Подбор сечения

По ГОСТ 8239—89 подбираем двутавр №30, W_x =472 см 3 , J_x =7080 см 4 .

Жесткость поперечного сечения:

Е J_x =2 × 10 5 × 10 6 × 7080 × 10 -8 =14160 × 10 3 Нм 2 .

4. Построение изогнутой оси:

Дважды интегрируем:

Определяем постоянные интегрирования:

при z =0, V (0)=0, следовательно D =0;

при z =5,6 м, V (5,6) =0,

отсюда С = -49,01 кНм 2 .

Определяем прогиб в сечении С , z =1,4 м — подставляем в уравнение прогибов:

Определяем прогиб в сечении К , z =2,8 м — подставляем в уравнение прогибов:

Определяем прогиб в сечении D , z =7 м — подставляем в уравнение прогибов:

По вычисленным значениям прогибов строим изогнутую ось балки (рис. г). Положительные прогибы откладываем вверх (по направлению оси V ), отрицательные прогибы откладываем вниз.

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M .

2. Проверить прочность по нормальным напряжениям в балке сложного поперечного сечения, уже рассмотренного в задаче 3.

3. Вычислить коэффициент использования прочности стали балки.

4. Определить прогиб конца консоли аналитическим методом, составляя и интегрируя дифференциальные уравнения изогнутой оси балки.

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M .

2. Подобрать сечения следующей формы: прямоугольное ( h / b = k ); круглое; кольцевое ( ); состоящее из двух швеллеров; двутавровое.

3. Оценить эффективность формы сечения.

Для всех вариантов принять расчетное сопротивление стали R = 240 МПа, модуль упругости (модуль Юнга) МПа.

Исходные данные для «а».

, , , , R =200 МПа.

1. Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M .

— Получим выражения для Q и M по участкам. Заданная балка имеет два участка нагружения: по длине первого участка распределена равномерная нагрузка q , прекращение действия которой означает начало второго участка (см. рисунок 1, а). На рисунке z ₁ и z ₂ — координаты поперечных сечений первого и второго участков. Для каждого участка выбирается своя система координат.

I –й участок:

Рассматривая равновесие левой отсечённой части балки (см. рисунок 1, б), запишем выражения для и

. (1)

(2)

Выражение (1) представляет собой уравнение наклонной прямой. Для её построения достаточно вычислить поперечную силу в двух точках:

в начале участка при ;

в конце участка при .

Отметим, что на рассматриваемом участке поперечная сила меняет знак, пересекая ось эпюры. Согласно дифференциальной зависимости между Q и M в сечении, где =0, изгибающий момент принимает экстремальное значение.

Определим координату интересующего нас сечения.

При

Эпюра изгибающих моментов M представляет квадратную параболу (выражение (2)), для её построения подсчитаем координаты M в трёх точках:

;

;

z ₁= =1 ,5 м .

II –й участок:

Рассматривая равновесие левой части, отсечённой сечением с координатой (см. рисунок 1, в), запишем выражения для и .

.

Полученное выражение представляет собой уравнение прямой, параллельной оси эпюры.

.

В данном случае мы получили уравнение прямой, наклонной к оси эпюры. Для её построения определим координаты двух крайних точек.

;

— Строим эпюры Q и M . Результат представлен на рис. 1, а.

2. Проверка прочности балки проводится по поперечному сечению, где изгибающий момент на эпюре достигает наибольшего значения независимо от знака.

Для этого следует воспользоваться формулой:

МПа,

следовательно, прочность обеспечена.

3. Определяем коэффициент использования прочности стали

.

Коэффициент использования прочности составляет около 32%. В хорошо подобранных сечениях перенапряжение или недонапряжение не превышает .

4. Определяем прогиб конца консоли аналитическим методом

— Составляем приближённые дифференциальные уравнения изогнутой оси балки по участкам с соблюдением условий Клебша.

Необходимо отметить, что в этом случае выбирается только одна система координат с началом в крайней левой точке балки (см. рис.1, г). Если в этой точке балка жёстко или шарнирно зафиксирована, то прежде чем приступить к составлению уравнений, необходимо определить реакции в опорах.

Для нашего случая:

I – й участок : ,

;

II –й участок : , .

— Дважды интегрируем дифференциальные уравнения

— Рассматриваем граничные условия и доказываем равенство постоянных интегрирования на обоих участках

При ( на границе двух смежных участков балки) , , так как они являются углами поворота и прогибами, соответственно, одного и того же сечения.

Тогда, учитывая формулы (2) и (4), получим:

, откуда .

Приравнивая прогибы, из выражений ( 3) и ( 5) имеем:

, откуда .

Следовательно, приём Клебша сводит решение задачи к вычислению только двух постоянных интегрирования C , D .

— Из начальных условий определяем значения постоянных интегрирования C и D

Первое условие: при , , в защемленном конце балки угол поворота равен нулю. Тогда, согласно уравнению ( 5):

.

Откуда .

Второе условие: при , , так как в заделке балки прогиб равен нулю. Из выражения ( 6) найдем вторую постоянную интегрирования

.

Откуда .

— Вычисляем прогиб конца консоли

Для этого воспользуемся формулой ( 4), при :

.

Согласно принятому направлению координатных осей (см. рис. 1, г), при решении задачи аналитическим методом знак «+» указывает на то, что прогиб конца консоли балки направлен вверх.

Исходные данные для «б».

, , , , R = 160 МПа.

1. Построим эпюры Q и M .

— Определяем опорные реакции балки. Заданная балка зафиксирована в двух сечениях с помощью шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор (см. рис. 2). Характер прикладываемой нагрузки обуславливает необходимость определения только вертикальных реакций опор и , так как горизонтальная составляющая реакции в опоре А равна нулю ( ).

Проверка: .

Полученное тождество свидетельствует о правильности результатов.

— Записываем уравнения для Q и M по участкам. Для каждого участка выбирается своя система координат

I –й участок:

Рассматриваем равновесие левой части балки

.

II –й участок:

Рассматриваем равновесие правой части балки

.

.

.

При ,

тогда

— Строим эпюры Q и M . Результат представлен на рис. 2.

2. Подбор сечений указанных в задании форм.

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям для пластичных материалов:

Отсюда требуемый момент сопротивления

При , предельное значение момента сопротивления:

— Подбираем прямоугольное сечение. Соотношение сторон (рис.3).

Так как для прямоугольного сечения момент сопротивления относительно оси X и по условию , то:

,

,

.

— Подбираем круглое сечение.

Для круглого сечения осевой момент сопротивления (рис. 4) ; тогда

;

.

— Подбираем кольцевое сечение. Отношение диаметров (рисунок 4).

Для кольцевого сечения осевой момент сопротивления .

;

;

.

— Подбираем сечение, состоящее из двух швеллеров.

В основе определения осевого момента сопротивления лежит соотношение

С учётом того, что рассматриваемое сечение состоит из двух равных частей (рис. 6)

.

Требуемый момент сопротивления одного швеллера

.

По таблице ГОСТ 8240-89 выбираем швеллер №14 с ближайшим большим моментом сопротивления . Площадь сечения балки из двух швеллеров:

— Подбираем двутавровое сечение.

Как и в предыдущих четырех случаях, момент сопротивления двутавра W _Х (рис. 7) должен быть не менее требуемого

По таблице ГОСТ 8239-89 принимаем двутавровую балку № 18 с ближайшим значением момента сопротивления, значение которого отвечает условию проектировочной задачи:

.

3. Оцениваем эффективность формы сечения.

Для чего сравниваем площади всех подобранных сечений.

Наиболее эффективной формой сечения балки (балка с наименьшим весом) является двутавровое сечение, наименее эффективной – круглое сплошное сечение.

Онлайн-калькулятор «Подбор кольцевого сечения балки при изгибе»

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

🎬 Видео