Уравнение поперечной волны распространяющейся по оси x имеет вид

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Основные понятия волн

Рассматривая законы распространения механических волн, отвлекаются от молекулярного строения вещества, рассматривая его как сплошную среду, которая непрерывно изменяется в пространстве. Говоря о частице среды, мы будем говорить о малом элементе объема вещества, размеры которого много больше, чем расстояния между молекулами, при этом частицы среды будем считать точками.

В первом приближении все вещества можно считать упругими (исключение — разреженные газы), поскольку внутренние силы, появляющиеся при малых деформациях, пропорциональны величинам деформации.

Если в какой — то точке упругой среды возбудить колебания ее частиц, из-за их взаимодействия оно будет распространяться в веществе от одной частицы к другой с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. При этом частицы среды волной не переносятся, а каждая частица совершает колебания около своего положения равновесия.

В зависимости от направления колебаний частицы вещества по отношению к направлению распространения волны, волны делят на продольные и поперечные. Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной.

Видео:Лекция 2 ВолныСкачать

Определение поперечных волн

Поперечной волной называют такую волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.

Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Следовательно, в жидкостях и газах механических поперечных волн не наблюдают. Поперечные механические волны возникают в твердых телах. Примером таких волн являются волны, которые распространяются в струнах.

Поперечная волна имеет поляризацию (линейную, круговую или эллиптическую), вектор амплитуды этой волны обладает определенной ориентацией в поперечной плоскости.

Видео:74. Упругие волныСкачать

Скорость распространения поперечных волн

Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно найти при помощи формулы:

где $G$ — модуль сдвига среды; $rho $ — плотность вещества.

Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.

Скорость в формуле (1) называется фазовой скоростью.

Видео:Получение уравнения плоской бегущей волны.Скачать

Уравнение волны

Основная задача при изучении волн — это установления закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной служит, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.

Самым простым видом волн являются гармонические волны. В таких волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.

Пусть одномерная поперечная волна распространяется по оси X , от источника волны, находящегося в начале координат — точке О. Примером такой волны является, волна, которая распространяется в упругой бесконечной струне, один из концов которой заставляют совершать колебательные движения. Если колебания в точке О происходят по закону:

где $A_0$ — амплитуда; $omega $- циклическая частота колебаний; $varphi $ — начальная фаза. Тогда колебания в некоторой произвольной точке А на оси X отстают по фазе от $s_0$ и происходят по закону:

где $t_1=frac$ — время, которое необходимо для того, чтобы волна прошла расстояние от источника волны до рассматриваемой точки А ($ОА=x$). $A$ — амплитуда волны в точке А. Если среда в которой распространяется волна не поглощает энергию, то амплитуды колебаний и амплитуда волны совпадают:

Уравнение одномерной волны (3) часто записывают в другой форме, вводя понятие волнового числа ($k$):

где $lambda $ — длина волны.

Уравнения (3) и (5) эквивалентны и называются уравнением одномерной волны.

Величина $left[omega t-kx+varphi right]$ называется фазой волны в произвольной точке А. Из сравнения уравнения (2)и уравнения (5), следует, что колебания в точке А отстают от колебаний в источнике (точке О) по фазе на величину $kx$. Величина $left(kx+varphi right)$ — начальная фаза колебаний в точке А.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, в которых разность начальных фаз колебаний равна $2pi $, называют длиной волны ($lambda $).

Видео:Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)Скачать

Примеры задач с решением

Задание: Поперечная одномерная волна имеет период T и амплитуду колебаний A. Распространяется она со скоростью $v$. Каково смещение частицы среды, которая находится на расстоянии $x_1$ от источника волн в момент времени $t_1$ от начала колебаний? Изобразите рассматриваемую волну распространяющейся вдоль оси X для фиксированного момента времени ($t_1$).

Решение: Запишем уравнение одномерной волны, которое даст нас смещение частицы среды:

Будем считать что в начальный момент времени начальная фаза колебаний равна нулю ($varphi $=0). Циклическую частоту найдем, зная период колебаний точек в волне:

Волновое число равно:

Перепишем уравнение волны (1.1) учитывая (1.2) и (1.3):

Для того чтобы найти смещение заданной в условии задачи точки, которую определяет параметр ($x_1$) в момент времени $t_1$, подставим эти параметры в уравнение (1.4) получаем:

Задание: Покажите, что уравнение одномерной волны удовлетворяет волновому уравнению:

Решение: Запишем уравнение одномерной волны:

Найдем произведение $fracfrac<^2s>,$ используя (2.4) и условие задачи $omega =kv$:

Сравниваем правые части уравнений (2.3) и (2.5):

Получаем, если правые части равны, то равны и левые:

Видео:Распространение колебаний в среде. Волны | Физика 9 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Общие свойства гармонических колебаний (стр. 10 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Распространяющиеся в непоглощающей и недиспергирующей*) среде волны описываются классическим дифференциальным волновым уравнением:

, (7.1)

где – оператор Лапласа, V – фазовая скорость волны (в дальнейшем для краткости мы будем называть ее просто скоростью).

В случае упругих волн x – смещение частицы среды от положения равновесия, для электромагнитных волн вместо x в уравнении (7.1) фигурирует напряженность электрического поля Е или индукция магнитного поля B.

Скорость упругой волны в твердом теле определяется величиной модуля упругости G и плотности вещества r: V =; скорость электромагнитной волны зависит от диэлектрической проницаемости e и магнитной восприимчивости m среды, в которой распространяется волна: V = = с/n; здесь с = – скорость электромагнитной волны в вакууме, n = – показатель преломления среды.

В одномерном случае (волна распространяется по оси X) уравнение (7.1) упрощается:

. (7.1,а)

Упругие волны могут быть продольными и поперечными (смещения частиц происходят вдоль направления распространения волны и перпендикулярно ему, соответственно). В жидкостях и газах распространяются только продольные волны, в твердых телах – как продольные, так и поперечные. Электромагнитные волны – всегда поперечные (векторы Е и В перпендикулярны скорости волны V, причем Е^В). Направление скорости электромагнитной волны V совпадает с направлением векторного произведения [ЕВ].

Уравнением волны называется соотношение, в явной форме отражающее зависимость x(x, y, z, t) – а это решение дифференциаль-ного уравнения (7.1). В частности, уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся по оси X, имеет вид:

Здесь А – амплитуда гармонической волны, w – циклическая частота, k = w/V = 2p/l – т. н. «волновое число». Напомним, что величина (wt – kx + j0) называется фазой, j0 – начальной фазой.

Совокупность точек, колеблющихся в одной и той же фазе, составляет волновую поверхность. Волновых поверхностей бесконечно много, «самая передняя» из них называется фронтом волны. Волна, описывающаяся соотношением (7.2), потому и называется плоской, что все ее волновые поверхности – плоскости.

Если размерами источника волн можно пренебречь (точечный источник), то волновые поверхности являются сферическими и уравнение волны принимает вид (см. задачу 7.1):

x(r,t) = ×cos(wt – kr). (7.3)

Здесь r – радиус вектор, соединяющий источник с данной точкой пространства; k = (2p/l)(V/V) – т. н. «волновой вектор».

Плотностью энергии волны W0 называется энергия, приходящаяся на единицу объема среды, в которой распространяется волна. Упругая волна несет с собой кинетическую и потенциальную энергии (первая представляет собой кинетическую энергию колеблющихся частиц, вторая – энергию деформации среды): W0 = T0 + U0. Плотности кинетической (T0) и потенциальной (U0) энергий распространяющейся гармонической волны (7.2) одинаковы:

поэтому полная плотность энергии упругой волны:

Видео:Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического и магнитного полей. Поэтому полная плотность энергии электромагнитной волны W0 = W0Е + W0В, где

В распространяющейся электромагнитной волне напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются в фазе, причем в любой момент времени в данной точке пространства W0Е(t) = W0В(t). Отсюда следует связь между величинами электрического и магнитного полей в волне:

B(t) = ×E(t) = E(t)/V. (7.7)

С учетом соотношений (7.6) и (7.7) плотность энергии электромагнитной волны может быть выражена следующим образом:

W0(t) = ee0×E2(t) = B2(t)/mm0 = ×V. (7.8)

Основные энергетические характеристики переноса энергии волнами (как упругими, так и электромагнитными) таковы:

a) Плотность потока энергии (количество энергии, переносимое волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны):

б) Интенсивность волны (среднее по времени значение плотности потока энергии):

При усреднении по времени плотности энергии волны учтем, что среднее по времени значение квадрата гармонической функции равно 1/2, поэтому, например, для электромагнитной волны – см. (7.8):

где E0 и B0 – амплитудные значения напряженности электрического и индукции магнитного полей, соответственно.

в) Векторы Умова (для упругих волн) и Пойнтинга (для электромагнитных волн):

В частности, вектор Пойнтинга можно записать в виде:

г) Средние по времени значения векторов Умова и Пойнтинга («векторная интенсивность»):

В частности, для электромагнитной волны

д) Поток энергии волны через некоторую поверхность s и среднее по времени значение этого потока:

Ф(t) = = , (7.13)

= = . (7.14)

Здесь ds – вектор, модуль которого равен элементарной площадке ds, а направление совпадает с направлением нормали к этой площадке; Sn – нормальная к площадке ds составляющая вектора S.

Перейдем к конкретным задачам по рассматриваемой теме.

Видео:🌊 Продольные и поперечные волны ⚛ ФизикаСкачать

Задача

Видео:5.6 Механические волны. Виды волнСкачать

5.24. Доказать, что амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника волн r (см. соотношение (7.3)).

Чем дальше от источника уходит сферическая волна, тем на большую площадь распределяется испускаемая источником энергия (S = 4pr2). Соответственно, тем меньшая энергия (

1/r2) приходится на каждую колеблющуюся частицу. Из формул (7.4) и (7.8) следует, что плотность энергии волны W0(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (А2 для упругой, Е2 или В2 для электромагнитной волн). Следовательно, амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию от источника до данной точки А

Видео:Вывод волнового уравненияСкачать

Задача

Видео:Общая физика | Л23: Элементы теории волн. Волновое уравнение. Поперечные и продольные колебанияСкачать

5.25. Доказать, что уравнение x(x,t) = A×cos(аt – bx) описывает гармоническую волну, распространяющуюся по оси Х. Найти фазовую скорость этой волны и направление ее распространения.

Видео:Урок 371. Фазовая скорость волны. Скорость поперечной волны в струнеСкачать

Лекция №9. Механические волны

6.1. Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.

Упругая волна называется поперечной , если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.

На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны также равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания частицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S будет зависеть только от координаты х и времени t

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x/υ . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

где А − амплитуда волны; ϕ₀ − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t-x/υ)+ϕ₀=const. Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, и называется фазовой скоростью .

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Придадим уравнению плоской волны симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину $$k = $$ , которая называется волновым числом , которое можно представить в виде

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону A=A₀e −βx . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

6.3. Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид

где r − радиус-вектор, точки волны; r =k× n − волновой вектор ; n − единичный вектор нормали к волновой поверхности

Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности называется.

Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z Тогда уравнение (6.3.2) примет вид

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

Сложив производные по координатам, и с учетом производной по времени, получим

6.4. Скорость распространения волн в различных средах

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси 0х . Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S₀ и высотой d_x . Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение S , то смещение основания с координатой x+dx будет S+dS . Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформацию ε=∂S/∂x (деформации растяжения). Наличие деформации свидетельствует о существовании нормального напряжения σ , которое при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия

где Е − модуль Юнга среды.

Из зависимости смещения от координаты x видно, что относительная деформация ∂S/∂x , а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движения. Масса этого объема

где ρ − плотность недеформированной среды.

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилиндра одинаковым и равным

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F₁ и F₂ , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент времени. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

После разложения силы F₂ в ряд, получим

и результирующая F₁ , F₂ сил, действующая на элемент объема равна

Используя основное уравнение динамики поступательного движения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для плоской волны (6.3.6) $$=$$ , получим

где Е − модуль Юнга.

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продольных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид

🎥 Видео

Якута А. А. - Механика - Волновое уравнение. Механические волны. Скорость распространения волнСкачать

Урок 375. Стоячие волныСкачать

75. Уравнения линейной акустикиСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Билет №36 "Волновод"Скачать

Урок 95 (осн). Механические волны. ЗвукСкачать

10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫСкачать