Уравнение по формуле квадрат суммы

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№26 - Квадрат суммы.)Скачать

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b .

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Выражение может быть представлено и в обратном порядке:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Доказательство формулы

Арифметическое

Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b) .

Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Геометрическое

Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:

• два квадрата с разной длиной стороны ( a или b );
• 2 прямоугольника с одинаковой длиной ( a ) и шириной ( b ).

Площадь большого квадрата равна (a + b) 2 и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:

S_кв. = (a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - 7 класс алгебраСкачать

Примеры задач

Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y 3 ) 2 ?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y 3 ) 2 = (2x) 2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y 3 + (4y 3 ) 2 = 4x 2 + 16xy 3 + 16y 6

Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:

• 63 2 = (60 + 3) 2 = 60 2 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 3 2 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
• 94 2 = (90 + 4) 2 = 90 2 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 4 2 = 8100 + 720 + 16 = 8836.

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Квадрат суммы и разности

Видео:Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

Квадрат суммы

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Квадрат разности

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a 2 — 5ab 2 ) 2 = (2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 .

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 = 4a 4 — 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4 .

Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Разность квадратов

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Видео:7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умноженияСкачать

Квадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения

Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.

Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.

Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.

Видео:От этого зависит результат президентских выборов в России...Скачать

Формула квадрата разности

Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:

Видео:Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Алгебра, 7 классСкачать

Примеры задач с решением

Задача №1

Требуется возвести в квадрат разность (8x — 3y).

При использовании формулы получается:

Ответ: 64x 2 — 48xy + 9y 2 .

Задача №2

b 2 + 49 — (b — 7) 2

Видео:Разность квадратов двух выражений. 7 класс.Скачать

Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы

Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:

Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая

Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.

Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.

Видео:Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Примеры задач с решением

Задача №3

Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:

28xy + 49x 2 + 4y 2

Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:

Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.

Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.

Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.

Задача №4

Выполнить раскрытие скобок и упростить:

(x 2 + 3x — 4y) 2 — x 4 — 9x 2 — 16y 2

Ответ: 6x 3 — 8x 2 — 24xy.

Задача №5

Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:

Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.

Задача №6

Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:

Решениями исходного уравнения являются корни уравнений

Ответ: x = 5 или x = -1.

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Разность квадратов

Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность.

Читается справа налево.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:

Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.

Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Пример задачи с решением

Задача №7

В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:

В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить

Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.

🎥 Видео

МЕРЗЛЯК-7 КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ. ПАРАГРАФ-16. ЧАСТЬ-1Скачать

Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.Скачать

Разложение разности квадратов на множители. Алгебра, 7 классСкачать

Урок 75. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений (7 класс)Скачать

Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Алгебра, 7 классСкачать

Как раз и навсегда выучить формулы сокращенного умноженияСкачать