Уравнение плоской звуковой волны с частотой (5 видео)

Уравнение плоской звуковой волны с частотой

4.1. Механические колебания.

4.2. Электрические колебания.
4.3. Упругие волны. Акустика.
4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания.

4.1.1. Гармонические колебания.

4.1. 1 -1. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с. Найти время t ₁ , за которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с
х(0) = 0
х( t ₁) = А/2 (1)
t ₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону синуса с начальной фазой ϕ ₀ = 0:
x = Asin ( ωt + ϕ ₀) или
x = Asinωt , (2)
где ω = 2 π / T – круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х( t ₁) = Asin ( ωt ₁); А/2 = Asin ( (2 π / T ) t ₁ ); 1/2 = sin (2 πt ₁/ T ); 2 πt ₁/ T = π /6. Отсюда
t ₁ = T /12.
t₁ = 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

где − I момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса А (см. рис.); x = AO = R − расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m − масса диска; g = 9,8 м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I ₀ диска относительно оси симметрии диска:
I ₀ = mR ²/2.
По теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

Решение:
r ( t ) = A ( icosωt + jsinωt ) (1)
A = 0,5 м
ω = 5 с⁻¹
v − ?
a_n − ?
Представим (1) в виде:
r ( t ) = iAcosωt + jAsinωt (1*)
Радиус вектор r ( t ) точки: r ( t ) = ix + jy , где x , y − проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY ; i , j − единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY . Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt ,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt , (*)
y = Asinωt . (**)
Возведём их в квадрат
x ² = A ² cos ² ωt ,
y ² = A ² sin ² ωt .
Сложим эти уравнения
x ² + y ² = A ² cos ² ωt + A ² sin ² ωt или x ² + y ² = A ²( cos ² ωt + sin ² ωt ). Отсюда, т.к. cos ² ωt + sin ² ωt = 1, получим уравнение траектории движения точки
x ² + y ² = A ². (2)
Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v _x и v_y . Для этого продифференцируем x и y из (*) и (**) по времени t :
v_x = x_t ʹ = ( Acosωt ) _t ʹ = — Aωsinωt ;
v_y = y_t ʹ = ( Asinωt ) _{_t} ʹ = Aωcosωt .
Тогда квадрат скорости
v ² = v_x ² + v_y ² или v ² = (- Aωsinωt )² + ( Aωcosωt )² или v ² = A ² ω ²( sin ² ωt + cos ² ωt ) или v ² = A ² ω ². Отсюда модуль скорости v :
v = Aω . (3)
v = 0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения a_n : a_n = v ²/ R или, с учётом (3) и R = A , получим a_n = A ² ω ²/ A или
a_n = Aω ².
a_n = 0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², a_n = Aω ² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100 за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β ?

Решение:
t = 15 c
n = 100
A = A ₀/ n (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t :
A = A ₀ e — β t , (1)
где A ₀ – начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A ₀/ n = A ₀ e — β t ; 1/ n = e — β t ; e β t = n ; βt = ln ( n ) отсюда
β = ln ( n )/ t .
β = ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 · 10 ² раз. Длина стержня L = 50 см.

Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5 м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT , (1)
где β – коэффициент затухания, T − период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания β .
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
ω – частота затухающих колебаний; ω ₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е = E ₀ e -2 βt ,
где E ₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е ₀/ Е = Е ₀/( E ₀ e -2 βt ) = 1 /( e -2 βt ) = e 2 βt .
Получили n = e 2 βt . Прологарифмируем это равенство Ln ( n ) = 2 βt . Отсюда
β = Ln ( n )/(2 t ). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент β 2 по (3).
β = Ln (400)/(2 · 300) = 0,009986, отсюда
β ² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

4.1.2-3. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02. Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Решение:
ν = 50 Гц
λ = 0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β – коэффициент затухания; T = 1/ ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент затухания λ :
λ = βT или λ = β / ν , отсюда
β = λν . (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A ₀· e — βt ,
где A ₀ − начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A ₀/ n :
A ₀/ n = A ₀· e — βt ,
отсюда e βt = n и, после логарифмирования, βt = Ln ( n ), отсюда
t = ( Ln ( n ) )/ β и, с учётом (1),
t = ( Ln ( n ) )/( λν ). (2)

2. Число колебаний N за время t :
N = t / T = tν = ( и, с учётом (2), ) = ν ( Ln ( n ) )/( λν ) или
N = ( Ln ( n ) )/ λ . (3)

3. Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln (20) )/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln (20) )/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln ( n ) )/( λν ) ≈ 3 с; N = ( Ln ( n ) )/ λ ≈ 150.

4.1.2-4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных колебаний механической системы.

Решение:
Пусть система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила, проекция момента которой на ось Z равна
Mz = — kϕ , (1)
где k − постоянная, ϕ − угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при отклонении системы на угол ϕ , момент упругой силы возвращает систему к положению равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы сопротивления Mc , действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕ ʹ:
M c = — ηϕ ʹ, (2)
где η − постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕ ʹʹ = Mz + M c , (3)
где I – момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕ ʹʹ = — kϕ — ηϕ ʹ, отсюда
ϕ ʹʹ + ( η / I ) ϕ ʹ + ( k / I ) ϕ = 0.
Применив обозначения 2 β = η / I , ω ₀² = k / I , перепишем последнее уравнение:
ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания механической системы.
Ответ: ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.

4.1.2-5. Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ω_рез к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ω_рез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω − период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
Формула для резонансной частоты ω_рез:
ω_рез² = ω₀² — 2β². (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² — ω_рез² = (ω₀² — β²) — (ω₀² — 2β²), или
ω² — ω_рез² = ω₀² — β² — ω₀² + 2β², или
ω² — ω_рез² = β². (**)
С учётом условия (*) имеем ω_рез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² — ω²η² = β², или
ω²(1 — η²) = β², отсюда

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1. Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt — ϕ), (1)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ = π/2
(т. к. cos(ωt — π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

где f₀ = F ₀/ m , m − масса осциллятора , β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной амплитуде вынуждающей силы F ₀ (и, следовательно, постоянной f ₀) из (*) при двух разных частотах ω₁ и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

4.2. Электрические колебания.

4.2-1. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.

Решение:
T ₁/ T ₂ = η = 5
B ₂/ B ₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного поля
М = [ B · P m ], где P m − вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B · P m · sinϕ , где ϕ – угол между векторами B и P m .
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ . Тогда
М = B · P m · ϕ .
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М , стремящийся вернуть стрелку в положение равновесия, т.е. М = — B · P m · ϕ . Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения, то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ ’’ = M или Jϕ ’’ = — B · P m · ϕ отсюда
ϕ ’’ + ( B · P m / J ) · ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ ’’ + ω ² ϕ = 0, получим
ω ² = B · P m / J , отсюда
ω = √( B · P m / J ).
Тогда период T колебаний
T = 2 π / ω или
T = 2 π √( J /( B · P m ) ). (2)
На основе (2) для разных B ₁ и B ₂ получим соответствующие T ₁ и T ₂
T ₁ = 2 π √( J /( B ₁ · P m ) )
T ₂ = 2 π √( J /( B ₂ · P m ) ).
Отсюда
T ₁/ T ₂ = √( B ₂/ B ₁) и отсюда
B ₂/ B ₁ = ( T ₁/ T ₂)² = η ² = 25. Итак
B ₂/ B ₁ = η ² = 25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η ² = 25 раз.

4.2-2. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4 cos (1000 t ), где все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4 cos (1000 t ). (1)
U_m − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = I_mcos ( ωt ). (2)
Из (1) и (2) имеем
I_m = 0,4 А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: X L = ωL .
По закону Ома
I_m = U_m / X L , отсюда
U_m = X L · I_m или
U_m = ωL · I_m .
U_m = 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: U_m = 50 В.

4.2-3. Электрический колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L = 0,8 Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов было равно R = 2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко, индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре возросла в k = 3 раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость конденсатора .

Решение:
L = 0,8 Гн
R = 2000 Ом
L ₂ = L / n
n = 7
ω ₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R /(2 L ).
ω и ω ₂ − начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √( 1/( LC ) — β ² ) = √( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) );
ω ₂ = √( 1/( L ₂ C ) — β ² ) = √( n /( LC ) — R ²/(4 L ²) ).
Возведём в квадрат равенство ω ₂ = kω , получим ω ₂² = k ² ω ² или
n /( LC ) — R ²/(4 L ²) = k ²( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) ), отсюда
C = 4 L ( k ² — n )/( R ²( k ² — 1) ).
C = 4·0,8·(3² — 7)/( 2000²·(3² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² — n)/( R²(k² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = I_msinω₀t, где I_m = 9,0 мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:
I = I_msinω₀t (*)
I_m = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

1
L = ––––– . (1)
ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LI_m²/2
или, с учётом (*),
L(I_msinω₀t)²/2 + CU²/2 = LI_m²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = U_m на конденсаторе в момент времени t = 0 ( U_m − максимальное напряжение ):
CU²(0) = LI_m²
и, подставляя сюда L из (1), получим
I_m²
CU²(0) = ––––– или
ω₀²C
I_m
U(0) = U_m = –––– . (2)
ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):
1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.
(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶
9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.
4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1. По шнуру слева направо бежит со скоростью v незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону y = Acos ( ωt ). Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки О на расстоянии x от нее?

Решение:
y = Acos ( ω ( t — x / v ) ).
Ответ: y = Acos ( ω ( t – x / v ) ).

4.3-2. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60 cos (1800 t — 5,3 x ). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах .
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx). (2)
Из (1) и (2) следует
A = 60 ·10 ⁻ ⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A / λ = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3/(2 · 3,14) = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ .

б) Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V _m = Aω . (*)
V_m = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость распространения волны
v = ω / k . (3)
Тогда ( см. (*) )
V_m/v = Aω / ( ω / k ) = A k .
V_m/v = A k .
V_m/v = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3 = 3,2 ·10 ⁻ ⁴ .

в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ ξ/ ∂ x = ( Acos(ωt – kx) )_x ʹ = — Aksin (ωt – kx).

Ответ: a) A/λ = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ ;
б) V_m = 0,11 м/с, V_m/v = 3,2 ·10 ⁻ ⁴;
в) ( ∂ ξ/ ∂ x)_m = 3,2 ·10 ⁻ ⁴, V _m = v · (d ξ/dx)_m , где v = 340 м/с – скорость волны .

4.3-3. Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек, от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах. Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω ( A — амплитуда, ω — циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω / k ( k — волновое число).
A , ω , k определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos ( ωt – kx ).

4.3-4. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45 кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ = 50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника, амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) V_m − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед косинусом):
A = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ.
Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂ соответственно
A ₁ = ( A ₀ / r ₁ ) · e ⁻ ᵞ r₁ , (**)
A ₂ = ( A ₀ / r ₂ ) · e ⁻ ᵞ r ₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

η = ( r ₂ / r ₁ ) · e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ отсюда η r ₁ / r ₂ = e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln ( η r ₁ / r ₂ ) = γ( r ₂ — r ₁ ), отсюда

γ = ln(3 · 5 /10 )/(10 — 5 ) ≈ 0,08 м ⁻ ¹ .

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную по времени t от (1):
V = ∂ ξ / ∂ t = ( A ₀ / r ) · e ⁻ ᵞ ʳ ·( — ω sin ( ω t — kr ) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V = — ( 2 π ν A ₀ /r ) ·e ⁻ ᵞ ʳ ·sin ( ω t-kr ) .
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды V_m (множитель перед синусом):

4.3-5. Плоская звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со скоростью 300 мс в воздухе, плотность которого равна 1 , 2 кгм ³ . Определить интенсивность волны.

Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300 мс
ρ = 1,2 кгм³
I − ?
Интенсивность I звуковой волны
I = ρ а² ω ² V /2 и т.к. ω = 2 πν , то
I = ρ а²(2 πν )² V /2.
I = 1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6. Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне. Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l = πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1. Электромагнитная волна с частотой 6 · 10 ¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа?

Решение:
ν = 6 · 10¹⁴ Гц
n = 1,5
c = 3 · 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны в стекле:
V = c / n . (1)
Длина волны в стекле:
λ = V / ν = c /( nν ). (*)
Волновое число k:
k = 2 π / λ или с учётом (*)
k = 2 πnν /с. (2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3 · 10⁸/1,5 = 2 · 10⁸ м/с.
k = 2 · 3,14 · 1,5 · 6 · 10¹⁴/(3 · 10⁸) = 1,88 · 10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2 · 10⁸ м/с; k = 1,88 · 10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:
Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C / V . (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C /√( Ԑμ ). (2)
Из (1) и (2) имеем
n = √( Ԑμ ).
n = √(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

Звуковые волны. Источники звука. Характеристики звука (Иванова М.Г.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный урок освещает тему «Звуковые волны». На этом уроке мы продолжим изучать акустику. Вначале повторим определение звуковых волн, затем рассмотрим их частотные диапазоны и познакомимся с понятием ультразвуковых и инфразвуковых волн. Мы также обсудим свойства, присущие звуковым волнам в различных средах, и узнаем, какие им присущи характеристики.

Видео:Урок 95 (осн). Механические волны. ЗвукСкачать

ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. АКУСТИКА Основные формулы

• Уравнение плоской волны

, или ,
где — смещение точек среды с координатой х в момент времени t; ω — угловая частота; υ — скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость); k — волновое число; ;
λ — длина волны.

• Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой ν соотношениями и

•Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно Δx,

где λ — длина волны.

• Уравнение стоячей волны

, или

• Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

в твердых телах ,
где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества;

в газах ,или ,
где γ — показатель адиабаты (γ =c_p/c_v — отношение удельных теп-
лоемкостей газа при постоянных давлении и объеме); R — моляр-
ная газовая постоянная; Т—термодинамическая температура; М—
молярная масса; р — давление газа.

• Акустический эффект Доплера

где ν — частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом); υ — скорость звука в среде; u_пр — скорость прибора относительно среды; u_ист — скорость источника звука относительно среды; ν ₀ — частота звука, испускаемого источником.

• Амплитуда звукового давления

где ν — частота звука; А — амплитуда колебаний частиц среды; υ — скорость звука в среде; ρ — ее плотность.

• Средняя объемная плотность энергии звукового поля

где ξ₀ — амплитуда скорости частиц среды; ω — угловая частота звуковых волн.

• Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V,

• Поток звуковой энергии

где W — энергия, переносимая через данную поверхность за время t.

• Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии)

· Интенсивность звука связана со средней объемной плотностью энергии звукового поля соотношением

I = J, где J — скорость звука в среде.

· Связь мощности N точечного изотропного источника звука с интенсивностью звука

где r — расстояние от источника звука до точки звукового поля, в которой определяется интенсивность.

· Удельное акустическое сопротивление среды

где S — площадь сечения участка акустического поля (например, площадь поперечного сечения трубы при распространении в ней звука).

· Уровень интенсивности звука (уровень звуковой мощности) (дБ)

где I₀ — условная интенсивность, соответствующая нулевому уровню интенсивности (I₀=1 пВт/м 2 ).

· Уровень громкости звука L_N в общем случае является сложной функцией уровня интенсивности и частоты звука и определяется по кривым уровня громкости (рис. 7.1). На графике по горизонтальной оси отложены логарифмы частот звука (сами частоты указаны под соответствующими им логарифмами). На вертикальной оси отложены уровни интенсивности звука в децибелах. Уровни громкости звука отложены по вертикальной оси, соответствующей эталонной частоте v=1000 Гц. Для этой частоты уровень громкости, выраженный в децибелах, равен уровню интенсивности в децибелах. Уровень громкости звуков других частот определяется по кривым громкости, приведенным на графике. Каждая кривая соответствует определенному уровню громкости.

Кривые уровней громкости

Примеры решения задач

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью J=15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны l; 2) фазу j колебаний, смещение x, скорость , и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х=45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x₁=20 м и x₂=30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

Подставив значения величин J и T, получим

2. Запишем уравнение волны:

где x — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источника волн;

J — скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени tопределяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

где учтено, что w=2p/Т.

Произведя вычисления по последней формуле, получим

j=5,24 рад, или j=300°.

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения амплитуды А и фазы j: x=1 см.

Скорость точки находим, взяв первую производную от смещения по времени:

=dx/dt= -Aw sinw(t — x/J)=

Подставив значения величин p, А, Т и j и произведя вычисления, получим =9 см/с.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

=d /dt= -Aw 2 cos w(t — x/J)=

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

=27,4 см/с 2 .

3. Разность фаз Dj колебаний двух точек волны связана с расстояниемDх между этими точками соотношением

Подставив значения величин l, x₁ и x₂ и вычислив, получим

Dj=3,49 рад, или Dj=200°.

Уравнение плоской звуковой волны с частотой

Пример 2. На расстоянии l=4 м от источника плоской волны частотой v=440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость J волны считать равной 440 м/с.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l—х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

После очевидных упрощений получим

x₂=Acоs[wt—k (2l—х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна нулю:|2Asink(l—x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты x_n которых удовлетворяют условию

Но k=2p/l, или, так как l=J/v,

k=2pv/J. (4) Подставив это выражение k в (3), получим

откуда координаты узлов

Подставив сюда значения l,J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l—х‘)=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х‘_n которых удовлетворяют условию k(l— х‘_n)=(2n+1)(p/2) (п=0, 1, 2, 3, . ). Выразив здесь k по (4), получим

откуда координаты пучностей

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех пучностей:

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены координаты х₀,, х₁, х₂ , . узлов и координаты х‘₀, х‘₁, х‘₂ . пучностей стоячей волны.

Рис. 7.3

Пример 3. Источник звука частотой v=18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной l= 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости и_истисточника звука и скорости и_пр прибора. Эта зависимость выражается формулой

где J — скорость звука в данной среде; v₀ — частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (u_пр=0), из формулы (1) получим , откуда

В этом выражении неизвестны значения скорости J звука и частоты v.

Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле

. (3)

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания, частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой v_резрезонатора, т. е.

где v_рез —длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражения J и v из равенства (3) и (4) в формулу (2), получим

, или .

Взяв значения g=1,4, М ==0,029 кг/моль, а также значения R, Т, v_o, l_рез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим

Пример 4. Уровень громкости l_n звука двух тонов с частотами v₁=50 Гц и v₂=400 Гц одинаков и равен 10 дБ. Определить уровень интенсивности L_р и интенсивность I звука этих тонов.

Решение. Искомые в задаче уровни интенсивности, соответствующие частотам v₁=50 Гц и v₂=400 Гц, определим, пользуясь графиком на рис. 7.1. Вторая кривая снизу является кривой уровня громкости, равного 10 дБ. Из точек на горизонтальной оси, соответствующих частотам v₁ и v₂, восстанавливаем ординаты до кривой уровня громкости в 10 дБ. Значения этих ординат укажут искомые уровни интенсивности: L_р1=60 дБ для частоты v₁=50 Гц и L_р2=20 дБ для частоты v₂=400 Гц.

Зная уровни интенсивностей L_р1 и L_р2, определим соответствующие им интенсивности I₁ и I₂ по формуле

где I — интенсивность данного звука; I₀ — интенсивность, соответствующая нулевому уровню интенсивности (I₀=1 пВт/м 2 ).

Из приведенной формулы получим

Подставив сюда значения L_р и I₀ и учтя, что 1 пВт/м 2 =lO -12 Bт/м 2 , найдем для v₁=50 Гц и v₂=400 Гц соответственно lgI₁=0,l×60+lg10 -12 =6-12= -6; I₁=10 -6 Вт/м 2 и lg I₂=0.1×20+lgl0 -12 =2-12= -10; I₂=10 -10 Вт/м 2 .

Эти значения I₁ и I₂ можно получить и по графику, пользуясь шкалой интенсивности звука (на рис. 7.1 правая шкала).

Сопоставим полученные результаты: интенсивность первого тона в 10 4 раз больше интенсивности второго тона; уровень интенсивности первого тона на 40 дБ больше уровня интенсивности второго тона; уровень громкости обоих тонов одинаков и равен 10 дБ.

Задачи

Уравнение плоской волны

7.1. Задано уравнение плоской волны x(х,t)=Acos(wt—kx), где A=0,5 см, (w=628c -1 ,k=2 м -1 . Определить: 1) частоту колебаний v и длину волны l 2) фазовую скорость J; 3) максимальные значения скорости max и ускорения max колебаний частиц среды.

7.2. Показать, что выражение x(х,t)=Acos(wt—kx) удовлетворяет волновому уравнению при условии, что w=kJ.

7.3. Плоская звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты v=200 Гц. Амплитуда А колебаний источника равна 4 мм. Написать уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально. Найти смещение x(х,t) точек среды, находящихся на расстоянии x=100 см от источника, в момент t=0,1 с. Скорость J звуковой волны принять равной 300 м/с. Затуханием пренебречь.

7.4. Звуковые колебания, имеющие частоту v=0,5 кГц и амплитуду A=0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны l=70 см. Найти: 1) скорость J распространения волн; 2) максимальную скорость _max частиц среды.

7.5. Плоская звуковая волна имеет период Т=3 мс, амплитуду A=0,2 мм и длину волны l=1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние х=2 м, найти: 1) смещение x(х,t) в момент t=7 мс; 2) скорость и ускорение для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

7.6. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда A колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на х=¾l, в момент, когда от начала колебаний прошло время t=0,9 Т?

7.7. Волна с периодом Т=1,2с и амплитудой колебаний A=2 см распространяется со скоростью J=15 м/с. Чему равно смещение x(х,t) точки, находящейся на расстоянии x=45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время t=4 с?

7.8. Две точки находятся на расстоянии Dх=50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью J=50 м/с. Период Т колебаний равен 0,05 с. Найти разность фаз Dj колебаний в этих точках.

7.9. Определить разность фаз Dj колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на х=2 м от источника. Частота v колебаний равна 5 Гц; волны распространяются со скоростью J=40 м/с.

7.10. Волна распространяется в упругой среде со скоростью J=100 м/с Наименьшее расстояние Dх между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту v колебаний.

7.11. Определить скорость J распространения волны в упругой среде, если разность фаз Dj колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на Dх=10 см, равна p/3. Частота v колебаний равна 25 Гц.

7.12. Найти скорость J распространения продольных упругих колебаний в следующих металлах: 1) алюминии; 2) меди; 3) вольфраме.

7.13. Определить максимальное и минимальное значения длины l звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, соответствующие граничным частотам v₁=16 Гц и v₂=20 кГц. Скорость звука принять равной 340 м/с.

7.14. Определить скорость J звука в азоте при температуре Т=300 К.

7.15. Найти скорость J звука в воздухе при температурах T₁=290 К и Т₂=350 К.

7.16. Наблюдатель, находящийся на расстоянии l=800 м от источника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, на Dt=1,78 с позднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость J звука в воде, если температура Т воздуха равна 350 К.

7.17. Скорость J звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность r газа равна 1,78 кг/м 3 . Определить отношение С_p/С_v для данного газа.

7.18. Найти отношение скоростей J₁/J₂ звука в водороде и углекислом газе при одинаковой температуре газов.

7.19. Температура Т воздуха у поверхности Земли равна 300 К; при увеличении высоты она понижается на DT=7 мК на каждый метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достигнет высоты h=8 км?

Суперпозиция волн

7.20. Имеются два источника, совершающие колебания в одинаковой фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны одинаковой частоты и амплитуды (A₁=A₂=1 мм). Найти амплитуду А колебаний точки среды, отстоящей от одного источника колебаний на расстоянии x₁=3,5 м и от другого — на x₂=5,4 м. Направления колебаний в рассматриваемой точке совпадают. Длина волны l=0,6 м.

* В задачах, где в условии не указана скорость звука и не заданы величины, по которым ее можно вычислить, значение скорости следует брать из табл. 16.

7.21. Стоячая волна образуется при наложении бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению распространения волны. Найти положения (расстояния от границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит: 1) от среды менее плотной; 2) от среды более плотной. Скорость J распространения звуковых колебаний равна 340 м/с и частота v=3,4 кГц.

7.22. Определить длину l бегущей волны, если в стоячей волне расстояние l между: 1) первой и седьмой пучностями равно 15 см; 2) первым и четвертым узлом равно 15 cм

7.23. В трубе длиной l=1,2 м находится воздух при температуре T=300 К. Определить минимальную частоту v_min возможных колебаний воздушного столба в двух случаях: 1) труба открыта; 2) труба закрыта.

7.24. Широкая трубка, закрытая снизу и расположенная вертикально, наполнена до краев водой. Над верхним отверстием трубки помещен звучащий камертон, частота v колебаний которого равна 440 Гц. Через кран, находящийся внизу, воду медленно выпускают. Когда уровень воды в трубке понижается на DH=19,5 см, звук камертона усиливается. Определить скорость J звука в условиях опыта.

Рис. 7.4

7.25. Один из способов измерения скорости звука состоит в следующем. В широкой трубке A может перемещаться поршень В.Перед открытым концом трубки A, соединенным с помощью резиновой трубки с ухом наблюдателя, расположен звучащий камертон К. (рис. 7.4.). Отодвигая поршень В от конца трубки A, наблюдатель отмечает ряд следующих друг за другом увеличении и уменьшении громкости звука. Найти скорость J звука в воздухе, если при частоте колебаний v=440 Гц двум последовательным усилениям интенсивности звука соответствует расстояние Dl между положениями поршня, равное 0,375 м.

7.26. На рис. 7.5 изображен прибор, служащий для определения скорости звука в твердых телах и газах. В латунном стержне А, зажатом посередине, возбуждаются колебания. При определенном положении легкого кружочка

В, закрепленного на конце стержня, пробковый порошок, находящийся в трубке С, расположится в виде небольших кучек на равных расстояниях. Найти скорость J звука в латуни, если расстояние и между кучками оказалось равным 8,5 см. Длина стержня l=0,8 м.

7.27. Стальной стержень длиной l=1 м, закрепленный посередине, натирают суконкой, посыпанной канифолью. Определить частоту v возникающих при этом собственных продольных колебаний стержня. Скорость J продольных волн в стали вычислить.

7.28. Поезд проходит мимо станции со скоростью u=40 м/с. Частота v₀ тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определить кажущуюся частоту v тона для человека, стоящего на платформе, в двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется.

7.29. Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал частотой v₀=300 Гц, проезжает поезд со скоростью и=40 м/с. Какова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда поезд приближается к электровозу? когда удаляется от него?

7.30. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука v₁=1100 Гц; когда удаляется, кажущаяся частота v₂=900 Гц. Найти скорость и электровоза и частоту v₀ звука, издаваемого сиреной.

7.31. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить относительное изменение частоты Dv/v, если скорость и поезда равна 54 км/ч.

7.32. Резонатор и источник звука частотой v₀=8 кГц расположены на одной прямой. Резонатор настроен на длину волны l=4,2 см и установлен неподвижно. Источник звука может перемещаться по направляющим вдоль прямой. С какой скоростью u и в каком направлении должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора?

7.33. Поезд движется со скоростью u=120 км/ч. Он дает свисток длительностью t₀=5 с. Какова будет кажущаяся продолжительность t свистка для неподвижного наблюдателя, если: 1) поезд приближается к нему; 2) удаляется? Принять скорость звука равной 348 м/с.

* См. сноску на с. 108

7.34. Скорый поезд приближается к стоящему на путях электропоезду со скоростью и=72 км/ч. Электропоезд подает звуковой сигнал частотой v₀=0,6 кГц. Определить кажущуюся частоту v звукового сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда.

7.35. На шоссе сближаются две автомашины со скоростями u₁=30 м/с и u₂=20 м/с. Первая из них подает звуковой сигнал частотой v₁=600 Гц. Найти кажущуюся частоту v₂ звука, воспринимаемого водителем второй автомашины, в двух случаях: 1) до встречи; 2) после встречи. Изменится ли ответ (если изменится, то как) в случае подачи сигнала второй машиной?

7.36, Узкий пучок ультразвуковых волн частотой v₀=50 кГц направлен от неподвижноголокатора к приближающейся подводной лодке. Определить скорость и подводной лодки, если частота v₁ биений (разность частот колебаний источника и сигнала, отраженного от лодки) равна 250 Гц. Скорость J ультразвука в морской воде принять равной 1,5 км/с.

Энергия звуковых волн *

7.37. По цилиндрической трубе диаметром d=20 см и длиной l=5 м, заполненной сухим воздухом, распространяется звуковая волна средней за период интенсивностью I=50 мВт/м 2 . Найти энергию W звукового поля, заключенного в трубе.

7.38. Интенсивность звука 1=1 Вт/м 2 . Определить среднюю объемную плотность энергии звуковой волны, если звук распространяется в сухом воздухе при нормальных условиях.

7.39. Мощность N изотропного точечного источника звуковых волн равна 10 Вт. Какова средняя объемная плотность энергии на расстоянии г=10 м от источника волн? Температуру Т воздуха принять равной 250 К.

7.40. Найти мощность N точечного изотропного источника звука, если на расстоянии r=25 м от него интенсивность I звука равна 20 мВт/м 2 . Какова средняя объемная плотность энергии на этом расстоянии?

Звуковое давление. Акустическое сопротивление *

7.41. Определить удельное акустическое сопротивление Z_s воздуха при нормальных условиях.

7.42. Определить удельное акустическое сопротивление Z_sводы при температуре t=15°C.

*См. сноску на с. 108

7.43. Какова максимальная скорость колебательного движения частиц кислорода, через который проходят звуковые волны, если амплитуда звукового давления p₀=0,2 Па, температура Т кислорода равна 300 К и давление p=100 кПа?

7.44. Определить акустическое сопротивление Z_a воздуха в трубе диаметром d=20см при температуре T=300 К и давлении p=200 кПа.

7.45. Звук частотой v=400 Гц распространяется в азоте при температуре T=290 К и давлении p=104 кПа. Амплитуда звукового давления p₀=0,5 Па. Определить амплитуду А колебаний частиц азота.

7.46. Определить амплитуду p₀ звукового давления, если амплитуда А колебаний частиц воздуха равна 1 мкм. Частота звука v =600 Гц.

7.47. На расстоянии r=100 м от точечного изотропного источника звука амплитуда звукового давления r₀=0,2 Па. Определить мощность P источника, если удельное акустическое сопротивление Z_s воздуха равно 420 Па×с/м. Поглощение звука в воздухе не учитывать .

7.48. Источник звука небольших линейных размеров имеет мощность Р=1 Вт. Найти амплитуду звукового давления p₀ на расстоянии r =100 м от источника звука, считая его изотропным. Затуханием звука пренебречь.

7.49.В сухом воздухе при нормальных условиях интенсивность I звука равна 10пВт/м 2 . Определить удельное акустическое сопротивлениеZ_s воздуха при данных условиях и амплитуду p₀ звукового давления.

7.50. Найти интенсивности I₁ и I₂ звука, соответствующие амплитудам звукового давления p₀₁=700 мкПа и p₀₂=40 мкПа.

Уровень интенсивности, и уровень громкости звука

7.51. Определить уровень интенсивности L_р звука, если его интенсивность равна: 1) 100 пВт/м 2 ; 2) 10 мВт/м 2 .

7.52. На расстоянии r₁=24 м от точечного изотропного источника звука уровень его интенсивности L_р=32 дБ. Найти уровень интенсивности L_р звука этого источника на расстоянии r₂=16 м.

7.53. Звуковая волна прошла через перегородку, вследствие чего уровень интенсивности L_р звука уменьшился на 30 дБ. Во сколько раз уменьшилась интенсивность I звука?

7.54. Уровень интенсивности L_р шума мотора равен 60 дБ. Каков будет уровень интенсивности, если одновременно будут работать: 1) два таких мотора; 2) десять таких моторов?

7.55. Три тона, частоты которых равны соответственно v₁=50 Гц, v₂=200 Гц и v₃=1кГц, имеют одинаковый уровень интенсивности L_р=40 дБ. Определить уровни громкости L_N этих тонов.

7.56. Звук частотой v=1 кГц имеет уровень интенсивности L_р=50 дБ. Пользуясь графиком на рис. 7.1, найти уровни интенсивности равно громких с ним звуков с частотами: v₁=l кГц, v₂=5 кГц, v₃=2 кГц, v₄,=300 Гц, v₅ =50 Гц.

7.57. Уровень громкости тона частотой v=30 Гц сначала был L_N1 =10 фон, а затем повысился до L_N2=80 фон. Во сколько раз увеличилась интенсивность тона?

7.58. Пользуясь графиком уровней на рис. 7.1, найти уровень громкости L_N звука, если частота v звука равна 2 кГц и амплитуда звукового давления r₀=0,1 Па. Условия, при которых находится воздух, нормальные.

7.59. Для звука частотой v=2 кГц найти интенсивность I, уровень интенсивности L_р и уровень громкости L_N, соответствующие: а) порогу слышимости; б) порогу болевого ощущения. При решении задачи пользоваться графиком на рис. 7.1.

7.60. Мощность Р точечного изотропного источника звука равна 100 мкВт. Найти уровень громкости L_N при частоте v=500 Гц на расстоянии r =10 м от источника звука.

7.61. На расстоянии r =100 м от точечного изотропного источника звука уровень громкости L_р, при частоте v=500 Гц равен 20 дБ. Определить мощность Р источника звука.