Уравнение плоской волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид длин (5 видео)

Уравнение плоской бегущей волны

Для большинства задач, связанных с волнами, важно знать состояние колебаний различных точек среды в тот или иной момент времени. Состояния точек среды будут определены, если известны амплитуды и фазы их колебаний. Для поперечных волн необходимо еше знать характер поляризации. Для плоской линейно-поляризованной волны достаточно иметь выражение, позволяющее определить смещение с(х, t) из положения равновесия любой точки среды с координатой х, в любой момент времени t. Такое выражение называется уравнением волны.

Рис. 2.21. Бегущая волна

Рассмотрим так называемую бегущую волну, т.е. волну с плоским волновым фронтом, распространяющуюся в каком-либо одном определенном направлении (например, вдоль оси х). Пусть частицы среды, непосредственно примыкающие к источнику плоских волн, совершают колебания по гармоническому закону; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На рисунке 2.21, а через ^(0, t) обозначено смещение частиц среды, лежащих в перпендикулярной рисунку плоскости и имеющих в выбранной системе координат координату х = 0 в момент времени t. Начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний, определенных через косинусоидальную функцию, была равна нулю. Ось х совместим с лучом, т.е. с направлением распространения колебаний. В этом случае фронт волны перпендикулярен оси х, так что частицы, лежащие в этой плоскости, будут совершать колебания в одной фазе. Сам фронт волны в данной среде перемещается вдоль оси х со скоростью и распространения волны в данной среде.

Найдем выражение ?(х, t) смещения частиц среды, удаленных от источника на расстояние х. Это расстояние фронт волны проходит

за время Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, удаленной от источника на расстояние х, будут отставать по времени на величину т от колебаний частиц, непосредственно примыкающих к источнику. Эти частицы (с координатой х) также будут совершать гармонические колебания. В отсутствие затухания амплитуда А колебаний (в случае плоской волны) не будет зависеть от координаты х, т.е.

Это и есть искомое уравнение тоской бегущей волны (не путать с волновым уравнением, рассматриваемым ниже!). Уравнение, как уже отмечалось, позволяет определить смещение % частицы среды с координатой х в момент времени t. Фаза колебаний зависит

от двух переменных: от координаты х частицы и времени t. В данный фиксированный момент времени фазы колебаний различных частиц будут, вообще говоря, различны, но можно выделить такие частицы, колебания которых будут происходить в одинаковой фазе (синфазно). Можно также считать, что разность фаз колебаний этих частиц равна 2пт (где т = 1, 2, 3. ). Кратчайшее расстояние между двумя частицами бегущей волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны X.

Найдем связь длины волны X с другими величинами, характеризующими распространение колебаний в среде. В соответствии с введенным определением длины волны можно написать

или после сокращений Так как , то

Это выражение позволяет дать иное определение длины волны: длина волны есть расстояние, на которое успевают распространиться колебания частиц среды за время, равное периоду колебаний.

Уравнение волны обнаруживает двойную периодичность: по координате и по времени: ^(х, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Цх + пХ, ml), где пит — любые целые числа. Можно, например, фиксировать координаты частиц (положить х = const) и рассматривать смещение их как функцию времени. Или, наоборот, фиксировать момент времени (принять t = const) и рассматривать смещение частиц как функцию координат (мгновенное состояние смещений — мгновенная фотография волны). Так, находясь на пристани можно с помощью фотоаппарата в момент времени t сфотографировать морскую поверхность, но можно, бросив щепку в море (т.е. зафиксировав координату х), следить за ее колебаниями во времени. Оба эти случая приведены в виде графиков на рис. 2.21, а—в.

Уравнение волны (2.125) можно переписать иначе

Отношение обозначается к и называется волновым числом

Так как , то

Волновое число, таким образом, показывает, какое число длин волн укладывается в отрезке 2л единиц длины. Введя волновое число в уравнение волны, получим уравнение бегущей в положительном направлении Ох волны в наиболее часто употребляемом виде

Найдем выражение, связывающее разность фаз Дер колебаний двух частиц, принадлежащих разным волновым поверхностям Х и х₂. Воспользовавшись уравнением волны (2.131), запишем:

Если обозначить или согласно (2.130)

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в произвольном направлении, описывается в общем случае уравнением

где г —радиус-вектор, проведенный из начала координат к частице, лежащей на волновой поверхности; к — волновой вектор, равный по модулю волновому числу (2.130) и совпадающий по направлению с нормалью к волновой поверхности в направлении распространении волны.

Возможна также комплексная форма записи уравнения волны. Так, например, в случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси х

а в общем случае плоской волны произвольного направления

Уравнение волны в любой из перечисленных форм записи может быть получено как решение дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Если мы знаем решение этого уравнения в форме (2.128) или (2.135) — уравнение бегущей волны, то найти само волновое уравнение не составляет труда. Продифференцируем 4(х, t) = % из (2.135) дважды по координате и дважды времени и получим

выражая ?, через полученные производные и сравнивая результаты, получим

Имея в виду соотношение (2.129), запишем

Это и есть волновое уравнение для одномерного случая.

В общем виде для ?, = с(х, у, z, /) волновое уравнение в декартовых координатах выглядит так

или в более компактном виде:

где Д — дифференциальный оператор Лапласа

Фазовой скоростью называется скорость распространения точек волны, колеблющихся в одинаковой фазе. Иными словами — это скорость перемещения «гребня», «впадины», либо любой другой точки волны, фаза которой фиксирована. Как уже отмечалось ранее, фронт волны (а следовательно, и любая волновая поверхность) перемещается вдоль оси Ох со скоростью и. Следовательно, скорость распространения колебаний в среде совпадает со скоростью перемещения данной фазы колебаний. Поэтому скорость и, определяемую соотношением (2.129), т.е.

принято называть фазовой скоростью.

Тот же результат можно получить, найдя скорость точек среды, удовлетворяющих условию постоянства фазы со/ — fee = const. Отсюда находится зависимость координаты от времени(со/ — const) и скорость перемещения данной фазы

что совпадает с (2.142).

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох, описывается уравнением

Действительно, в этом случае фазовая скорость отрицательна

Фазовая скорость в данной среде может зависеть от частоты колебаний источника. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а среды, в которых имеет место эта зависимость, называются диспергирующими средами. Не следует думать, однако, что выражение (2.142) и есть указанная зависимость. Дело в том, что в отсутствие дисперсии волновое число к прямо пропорционально

со и поэтому . Дисперсия имеет место лишь в том случае, когда со зависит от к нелинейно).

Бегущая плоская волна называется монохроматической (имеющей одну частоту), если колебания в источнике гармонические. Монохроматическим волнам отвечает уравнение вида (2.131).

Для монохроматической волны угловая частота со и амплитуда А не зависят от времени. Это значит, что монохроматическая волна безгранична в пространстве и бесконечна во времени, т.е. представляет собой идеализированную модель. Всякая реальная волна, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство частоты и амплитуды, монохроматической не является. Реальная волна не длится бесконечно долго, а начинается и кончается в определенные моменты времени в определенном месте, и, следовательно, амплитуда такой волны есть функция времени и координаты этого места. Однако чем длиннее интервал времени, в течение которого поддерживаются постоянными амплитуда и частота колебаний, тем ближе к монохроматической данная волна. Часто в практике монохроматической волной называют достаточно большой отрезок волны, в пределах которого частота и амплитуда не изменяются, подобно тому, как изображают на рисунке отрезок синусоиды, и называют его синусоидой.

Содержание

Уравнение плоской волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид длин
Расчетно-графические задания по физике
Министерство образования Российской Федерации
Ивановский государственный энергетический университет
Кафедра физики
Составители: М. В. Дмитриев,
Рецензент
📹 Видео

Видео:Получение уравнения плоской бегущей волны.Скачать

Уравнение плоской волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид длин

отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.

— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме

где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.

Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.

Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Видео:Распространение колебаний в среде. Волны | Физика 9 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Расчетно-графические задания по физике

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Видео:5.6 Механические волны. Виды волнСкачать

Ивановский государственный энергетический университет

Видео:Урок 95 (осн). Механические волны. ЗвукСкачать

Кафедра физики

ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Расчетно-графические задания по физике

Иваново 2004

Видео:Лекция 2 ВолныСкачать

Составители: М. В. Дмитриев,

Настоящие задания предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов по теме “Волны. Волновые и квантовые свойства света”.

В заданиях учтены особенности учебных планов различных факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Расчетно–графические задания утверждены цикловой методической комиссией ИФФ

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Рецензент

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета

1. Упругие и электромагнитные волны.
Общая характеристика волновых процессов

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, имеет вид:

где – смещение частицы среды, имеющей координату в момент времени ; – амплитуда смещения; – циклическая частота; – волновое число; – начальная фаза.

Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет вид:

Скорость перемещения волновой поверхности равна:

где – длина волны; – период колебаний; – частота колебаний.

Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием:

где – коэффициент затухания; – амплитуда волны в точке .

Объёмная плотность энергии упругой волны:

где – плотность среды.

Плотность потока энергии упругой волны (вектор Умова), распространяющейся в среде со скоростью , равна:

Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью , равен:

где – угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к поверхности .

Уравнение плоской электромагнитной волны:

где , – амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля соответственно. Модули амплитуды векторов напряжённости магнитного и электрического поля связаны соотношением:

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
– относительная магнитная проницаемость среды, – электрическая постоянная, – магнитная постоянная. Фазовая скорость волны:

здесь – скорость электромагнитной волны в вакууме; – показатель преломления среды.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны:

Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая вектором Пойнтинга, равна:

где – групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией, групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:

В вакууме вектор Пойнтинга равен :

Интенсивность электромагнитной волны:

Давление плоской электромагнитной волны:

где – коэффициент отражения, – угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности.

Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к поверхности равен:

где – интенсивность отраженного света, – интенсивность падающего света, – относительный показатель преломления вещества.

Задача 1. Тонкая длинная струна с закрепленными концами натянута вдоль координатной оси Х. Если вывести струну из положения равновесия, то все частицы струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания). В каждый момент времени струна находится в плоскости ХОУ. В процессе колебания величина отклонения частиц струны от положения равновесия y зависит от координаты x и времени t. Найти зависимость y(x, t).

Решение. При фиксированном значении t график функции y(x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).

Частная производная dy/dx= дает угловой коэффициент к касательной в точке с абсциссой х.

Для заданного значения х функция y(x,t) определяет закон движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси OY, производная есть скорость движения этой точки, вторая производная – ускорение.

Выделим бесконечно малый участок струны М1М2, проектирующейся на ось ОХ интервалом [x,x+dx]. На него действуют силы натяжения и . При малых колебаниях частиц струны угол наклона касательной к любой точке струны мал, . Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и равна , получим

где

Здесь частное приращение производной при переходе от аргументов (х, t) к аргументам (x+dx,t) заменено ее частным дифференциалом

Масса участка струны равна

где – линейная плотность вещества струны (кг/м).

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:

Обе части уравнения разделим на и получим уравнение:

где – положительная постоянная величина.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.

В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового уравнения имеет вид:

Функция в момент времени t=0 описывает перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со скоростью V, которая равна . Функция описывает волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении.

Если точки струны колеблются по гармоническому закону то вдоль струны будет распространяться волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.

Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны.

Решение. В уравнении плоской волны подставим и выразим из него в явном виде длину волны:

Подставим числовые данные:

Задача 3. По какому закону изменяется с расстоянием амплитуда незатухающей цилиндрической воны?

Решение. Поток энергии, переносимой волной через цилиндрическую поверхность радиуса R, пропорционален интенсивности волны и площади поверхности S

где h – высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды

Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити. Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:

1.1. Написать уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота ω, начальная фаза π/6, длина λ. Рассеянием энергии пренебречь.

1.2. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция

1.3. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция Какой физический смысл имеет коэффициент ?

1.4. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Υ. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии y=λ/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.

1.5. В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек М и Р.

1.6. В некоторый момент времени t1 в точке х1=0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке х2=10-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х2 в момент времени t2=10-2 c? Длина волны λ=10-4 м.

1.7. Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой и длиной волны ?

1.8. Какие из приведённых функций можно использовать при описании волновых движений: , , ?

1.9. Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны с изменением расстояния от источника.

1.10. Записать уравнение сферической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с изменением расстояния от источника.

1.11. В окрестностях точек 1 и 2 известны направления распространения сферической волны (рис.1.1). Найти графическим построением положение источника излучения.

1.12. В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен .

1.13. Указать направление, вдоль которого распространяется плоская волна, имеющая волновой вектор (k,0,0). Определить частоту ν и длину λ этой волны. Скорость распространения волны в среде равна V.

1.14. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,k,0).

1.15. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,0,-k).

1.16. На больших расстояниях от точечного источника сферическая волна может рассматриваться как плоская. При каком характерном размере d малый участок волновой поверхности может считаться плоским? Длина волны λ задана.

1.17. Найти волновой вектор и скорость волны V. Волна описывается уравнением , где , и – постоянные.

1.18. Плоская волна с длиной λ распространяется вдоль направления, образующего с осями Х, Υ, Z углы π/3, π/4, и π/3 соответственно. Написать уравнение волны. Амплитуда и частота равны соответственно А и ν.

1.19. Доказать, что любая функция вида является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной ?

1.20. Плоская волна задана уравнением

где смещение частиц среды y задано в мкм, t в с, х в м. Найти отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

1.21. Плоская волна задана уравнением . Для момента времени t=0 изобразите графики зависимости от х величин у, ∂y/∂t и ∂y/∂x.

1.22. Две плоские синусоидальные волны, амплитуды которых одинаковы, а частоты соответственно n и n+∆n (∆n n2 > n1 (n1=1). Луч естественного света падает на границу воздух – стекло под углом Брюстера. За счет преломлений и отражений луч разделяется на несколько лучей. Какие из лучей (1÷6) будут полностью поляризованы?

2.52. При дифракции на щели минимум третьего порядка наблюдается при угле дифракции 45°. Какое общее количество минимумов можно наблюдать в дифракционной картине? Под каким углом будет наблюдаться последний минимум?

2.53. В опыте по наблюдению дифракции Френеля круглое отверстие открывает две зоны Френеля. Диафрагма с отверстием расположена на одинаковом расстоянии от точечного источника света и экрана. Между источником света и отверстием поставили собирающую линзу так, чтобы при этом источник света оказался в ее фокусе. Светлое или темное пятно будет наблюдаться в центре дифракционной картины?

2.54. На тонкую прозрачную пленку с показателем преломления n=1,33 по нормали к ее поверхности падает световой луч. При непрерывном изменении длины волны света обнаружили, что в отраженном луче за счет интерференции максимальное увеличение интенсивности наблюдается у лучей с длинами волн λ1=450 нм и λ2=750 нм. Найти толщину пленки.

2.55. Пучок естественного света падает на поляризатор, состоящий из N поляризационных пластинок. Плоскость поляризации каждой из пластинок повернута на 30° по часовой стрелке относительно плоскости поляризации предыдущей пластинки. Какая доля интенсивности падающего света пройдет через поляризатор? Поглощением света пренебречь.

2.56. Две когерентные световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют разность фаз ∆φ=π/3. Модули амплитуд векторов напряженности электрического поля волн одинаковы E1=E2=E0. В результате интерференции получили эллиптически поляризованный свет. Найти наибольшее и наименьшее значения модуля вектора напряженности электрического поля световой волны.

3. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА.

Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2π (энергетическая светимость тела Rm), равен

где – испускательная способность тела, – циклическая частота.

где Вт/м2К4 – постоянная Стефана – Больцмана;
T – температура.

Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры f(ω,T). Испускательная способность абсолютно черного тела, описывается формулой Планка:

где – постоянная Планка; с – скорость света; k – постоянная Больцмана. При переходе от частоты к длине волны эта функция приобретает вид:

Испускательная способность абсолютно черного тела связана с равновесной плотностью энергии теплового излучения u(ω,T) соотношением

где – некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции закон Вина имеет вид

где некоторая функция произведения (λ;T).

Закон смещения Вина:

где – длина волны, на которую приходится максимум функции ; b=2,898 (м·К) – постоянная Вина.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

где – частота света, – работа выхода электронов с поверхности жидкости или твердого тела, – кинетическая энергия вылетающих электронов.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона)

где – длина волны рентгеновского излучения после рассеяния; – длина волны падающего излучения; – масса покоя электрона; – угол, под которым рассеивается излучение; – комптоновская длина волны.

Задача 1. Определить энергетическую светимость абсолютно черного тела в интервале длин волн =1 нм, соответствующую максимуму его испускательной способности при T=1000 К.

Решение. Из закона смещения Вина определим длину волны излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум излучения.

м.

Интервал длин волн много меньше длины волны , поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение испускательной способности на

Задача 2. На металлическую пластину падает свет с длиной волны λ=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциале
U=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу выхода.

Решение. Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии mV2/2=eU, где е – заряд электрона. Скорость электрона:

м/с.

Работа выхода фотоэлектронов равна

Задача 3. В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских фотонов равен φ=90°. Энергия рассеянных фотонов Е=0,4 МэВ. Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и скорость электронов отдачи?

Решение. Изменение длины волны в результате рассеяния на свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:

Длины волн выразим через энергии Е1 и Е0 соответствующих фотонов:

Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна

Энергия покоя электрона m0c2=0,51 МэВ. Энергию фотона выразим в мегаэлектронвольтах:

МэВ.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния Ее=E0-E1=1,85–0,4=1,4 МэВ.

Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:

, где и — импульс фотона до рассеяния и после рассеяния. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис.2. Из диаграммы следует, что

Импульс фотонов представим через их энергию, выраженную в джоулях,

кг·м/с.

Скорость электронов отдачи найдем, воспользовавшись выражением для релятивистского импульса

Отсюда следует, что

м/с.

3.1. Участок поверхности нагретого тела площадью ∆S за время τ излучает в пределах телесного угла 2π энергию ∆W. Какова энергетическая светимость этого участка?

3.2. Испускательная способность тела задана уравнением

0, ω ω2,

где b – постоянная, ω – частота излучения. Рассчитать энергетическую светимость тела.

3.3. Испускательная способность тела задана уравнением rω=roexp(—αω), где ro и α — постоянные. Определить энергетическую светимость тела.

3.4. На графике испускательной способности абсолютно черного тела выделены два узких участка, площади которых равны (рис. 3.1). Одинаковы ли на указанных частотах ω1 и ω2:
1) испускательная способность rω.т;
2) энергетическая светимость ∆Rω.Τ?

3.5. С помощью формулы Вина показать, что наиболее вероятная частота теплового излучения пропорциональна температуре ωвер

3.6. С помощью формулы Вина показать, что максимальная испускательная способность теплового излучения (rω)max

T5.
T – абсолютная температура.

3.7. С помощью формулы Планка показать, что в области, где hω >kT, для испускательной способности абсолютно черного тела справедлива формула Вина.

3.9. Найти соотношение между величинами rω.T. и rλ.T. Записать формулу Планка для величины rλ.T.

3.10. Вычислить с помощью формулы Планка энергетическую светимость абсолютно чёрного тела в интервале длин волн Δλ=1 нм, соответствующем максимуму испускательной способности при Т=3000 К.

3.11. С помощью формулы Планка показать, что максимальное значение испускательной способности абсолютно чёрного тела пропорционально абсолютной температуре в пятой степени:

3.12. С помощью формулы Планка показать, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна температуре: λ0=b/T, где b – постоянная Вина.

3.13. Температура поверхности Солнца равна T0=5500 К. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оценить массу, теряемую им за секунду в результате излучения.

3.14. Для абсолютно черного тела вблизи его максимума испускательной способности рассчитать с помощью формулы Планка мощность излучения с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура тела равна 4000 К.

3.15. Вблизи максимума испускательной способности Солнца рассчитать с помощью формулы Планка энергию, которую оно излучает с единицы поверхности в интервале длин волн ∆λ=1 нм. Температура Солнца T=5500 К. Считать, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела.

3.16. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ≤λmax.

3.17. В условиях задачи 3.15 рассчитать энергию, которую излучает Солнце с единицы поверхности в интервале длин волн λ>λmax.

3.18. На экране получен спектр излучения положительного кратера вольфрамовой дуги, имеющего температуру 4000 К. Определить отношение мощностей, излучаемых кратером в интервалах длин волн от 695 до 705 нм (участок красного цвета) и от 395 до 405 нм (участок фиолетового цвета). Принять, что кратер излучает как черное тело а поглощение в стекле и воздухе одинаково для красных и фиолетовых лучей.

3.19. Для абсолютно чёрного тела в области максимума испускательной способности определить мощность излучения с 1 см2 его поверхности для интервала длин волн λ0,01λмах. Температура тела Т=2000 К.

3.20. Абсолютно чёрное тело имеет температуру t1=200 °С. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличился в 100 раз?

3.21. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно чёрного тела, если его максимум испускательной способности переместится из красной части видимого спектра λ1=700 нм в фиолетовую λ2=393,6 нм?

3.22. На 1 см2 земной поверхности падает в среднем около 8,4 Дж солнечной энергии в 1 мин. Расстояние от Земли до Солнца 1,5·1011 м, диаметр Солнца 1,39 109 м, температура Солнца 6000 К. Считая Солнце абсолютно чёрным телом, найти постоянную в законе Стефана-Больцмана.

3.23. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне является его корона. Определить поток радиоизлучения от Солнца на Земле в полосе шириной Δω=1 МГц вблизи длины волны λ=1 м, предполагая, что это излучение является тепловым. Эффективная температура короны равна Т=106 К, эффективный радиус короны r=6,95·105 км, радиус земной орбиты R=1,5·108 км.

3.24. Металлический шар радиусом R=1 см и теплоемкостью C=14 Дж/К при температуре T=1200 К выброшен в межпланетное пространство. Коэффициент поглощения шара A=0,4. Через какое время температура шара уменьшится вдвое?

3.25. По пластинке длиной l=4 см и шириной b=0,5 см проходит электрический ток I=15 А. После установления теплового равновесия температура пластинки стала равной T=2000 К. Определить напряжение, подводимое к пластинке, если коэффициент поглощения пластинки А=0,6. Считать, что температура по всей площади пластинки постоянна, а все выделяющееся тепло теряется в результате излучения.

3.26. Удаленный от других тел медный шарик облучен электромагнитным излучением с длиной волны λ=140 нм. Определить его потенциал?

3.27. Небольшое идеальное отражающее зеркальце массой m=10 мг подвешено на нити длиной l=10 см. Найти угол, на который отклониться нить, если по нормали к зеркалу в горизонтальном направлении произвести «выстрел» импульсом лазерного излучения с энергией E=13 Дж.

3.28. Найти среднее давление лазерного импульса на поверхности тела. Длительность импульса τ=0,13 мс, средняя энергия импульса
W=10 Дж, диаметр пятна d=10 мкм. Свет падает по нормали к поверхности тела, коэффициент отражения которой =0,5.

3.29. Сколько фотонов попадает на 1 см2 поверхности Земли, перпендикулярной к солнечным лучам, за 1 мин? Солнечная постоянная ω≈1,4·103 Дж/(м2·с), средняя длина волны λср≈550 нм.

3.30. Точечный источник монохроматического света на длине волны λ=500 нм имеет мощность P=10 Вт. На каком максимальном расстоянии этот источник будет замечен человеком? Глаз человека реагирует на световой поток W=60 фотонов в секунду. Диаметр зрачка глаза человека d=0,5 см.

3.31. Параллельный пучок света с интенсивностью Io падает под углом φ на плоское зеркало с коэффициентом отражения ρ. Определить давление света на зеркало.

3.32. В сферическом сосуде, из которого откачан воздух, помещены два электрода из цинка. К ним подсоединён конденсатор ёмкостью c=3,5 мкФ (рис. 3.2.). Один из электродов освещается светом с длиной волны λ=0,25 мкм. Какой заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении? Работа выхода электрона для цинка А=3,74 эВ.

3.33. На пластинку площадью S=8 см2 по нормали к ее поверхности падает излучение с плотностью энергии q=1 Вт/см2. Частота света ν=4,6·1015 с-1. Какой ток может быть снят с пластинки, если считать, что каждый фотон выбивает электрон?

3.34. Какой частоты нужно взять свет, чтобы выбитые из вольфрамового катода электроны задерживались на расстоянии 4 см в электрическом поле напряженностью 1,7 В/см?

3.35. Опыт показал, что задерживающее напряжение для фотоэлектронов равно 2 В. Электрод облучили светом с длиной волны
λ=200 нм. Найти красную границу фотоэффекта.

3.36. Частота падающего света в опыте Комптона равна 4·1018 Гц. Найти частоту света, отраженного под углом 120° к направлению его падения.

3.37. Длина волны падающего света в опыте Комптона равна λ. Найти длину волны отраженного света, если известно, что электрон отдачи полетел под углом α=60° к первоначальному направлению распространения света и обладал импульсом .

3.38. На площадь S=6 см2 по нормали падает монохроматический свет с плотностью потока энергии q=1,5 Вт/см2. Снятый с этой площади фототок насыщения равен 0,2 А. Считая, что каждый фотон выбивает электрон, найти частоту света и энергию фотона.

3.39. Фотоны с длиной волны 330 нм выбивают электроны, которые могут быть задержаны на расстоянии 2 см в электрическом поле напряженностью 2 В/см. Какова работа выхода электронов из металла
(в эВ)?

3.40. Фототок вызывается светом с длиной волны 400 нм. Красная граница фотоэффекта 800 нм. Найти запирающее напряжение для электронов.

3.41. Частота падающего света в опыте Комптона ν1=3·1022 1/с. Под каким углом рассеивается свет, если частота рассеянного света
ν2=2,5·1022 1/с?

3.42. Скорость фотоэлектронов равна 3·106 м/с. Найти задерживающую разность потенциалов и частоту падающего света. Работа выхода равна 4,5 эВ.

3.43. Найти красную границу фотоэффекта и построить график зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты. При длине волны света 520 нм кинетическая энергия электронов равна 2 эВ.

3.44. В опыте Комптона угол рассеяния фотонов равен 180°. Длина волны падающих фотонов равна λ=0,5 нм. Найти частоту рассеянных фотонов.

3.45. При облучении катода фотоэлемента ток насыщения равен 0,01 А. Длина волны света равна 500 нм. Площадь катода 2 см2. Найти плотность потока энергии света.

3.46. Известно, что при освещении фотоэлемента светом с длиной волны λ1=400 нм вылетают электроны, которые могут быть задержаны запирающим напряжением U1=6 В. Каково, запирающее напряжение для электрона, выбитого светом с длиной волны λ2=650 нм?

3.47. Красная граница фотоэффекта для катода равна 900 нм. Построить график зависимости запирающего напряжения от частоты.

3.48. В эффекте Комптона найти изменение длины волны рентгеновского излучения. Угол рассеяния фотонов равен 120°, а их длина волны 0,5 нм.

3.49. Какая доля энергии фотона в эффекте Комптона приходится на электроны отдачи? Угол рассеяния для фотонов с энергией ε=0,6 МэВ равен φ=π/2.

3.50. В опыте Комптона угол рассеяния света изменился от 90° до 180°. Во сколько раз изменится сдвиг по длине волны в результате опыта?

3.51. Фотон с частотой ω0 испущен с поверхности звезды, масса которой М и радиус R0. Вычислить гравитационное смещение частоты фотона ∆ω/ω0 на очень большом расстоянии от звезды.

3.52. Два абсолютно черных шарика радиусами r1=4 см и r2=2 см, имеющие постоянные температуры T1=400 К и T2=800 К, находятся в вакууме на расстоянии d0=0,6 м. Между шариками помещена небольшая пластинка радиусом r0