Уравнение плоской волны распространяющейся вдоль оси ох длина волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

Расчетно-графические задания по физике

Видео:Распространение волн в упругих средах. Звуковые волны | Физика 11 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Министерство образования Российской Федерации

Видео:Длина волны. Скорость распространения волн | Физика 9 класс #29 | ИнфоурокСкачать

Ивановский государственный энергетический университет

Видео:Механические модели волн. 1.Скачать

Кафедра физики

ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Расчетно-графические задания по физике

Иваново 2004

Видео:9 класс, 35 урок, Длина волны. Скорость распространения волнСкачать

Составители: М. В. Дмитриев,

Настоящие задания предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов по теме “Волны. Волновые и квантовые свойства света”.

В заданиях учтены особенности учебных планов различных факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Расчетно–графические задания утверждены цикловой методической комиссией ИФФ

Видео:Лекция 2 ВолныСкачать

Рецензент

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета

1. Упругие и электромагнитные волны.
Общая характеристика волновых процессов

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, имеет вид:

,

где – смещение частицы среды, имеющей координату в момент времени ; – амплитуда смещения; – циклическая частота; – волновое число; – начальная фаза.

Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет вид:

.

Скорость перемещения волновой поверхности равна:

где – длина волны; – период колебаний; – частота колебаний.

Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием:

где – коэффициент затухания; – амплитуда волны в точке .

Объёмная плотность энергии упругой волны:

где – плотность среды.

Плотность потока энергии упругой волны (вектор Умова), распространяющейся в среде со скоростью , равна:

Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью , равен:

,

где – угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к поверхности .

Уравнение плоской электромагнитной волны:

где , – амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля соответственно. Модули амплитуды векторов напряжённости магнитного и электрического поля связаны соотношением:

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
– относительная магнитная проницаемость среды, – электрическая постоянная, – магнитная постоянная. Фазовая скорость волны:

здесь – скорость электромагнитной волны в вакууме; – показатель преломления среды.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны:

Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая вектором Пойнтинга, равна:

где – групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией, групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:

В вакууме вектор Пойнтинга равен :

Интенсивность электромагнитной волны:

Давление плоской электромагнитной волны:

где – коэффициент отражения, – угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности.

Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к поверхности равен:

где – интенсивность отраженного света, – интенсивность падающего света, – относительный показатель преломления вещества.

Задача 1. Тонкая длинная струна с закрепленными концами натянута вдоль координатной оси Х. Если вывести струну из положения равновесия, то все частицы струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания). В каждый момент времени струна находится в плоскости ХОУ. В процессе колебания величина отклонения частиц струны от положения равновесия y зависит от координаты x и времени t. Найти зависимость y(x, t).

Решение. При фиксированном значении t график функции y(x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).

Частная производная dy/dx= дает угловой коэффициент к касательной в точке с абсциссой х.

Для заданного значения х функция y(x,t) определяет закон движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси OY, производная есть скорость движения этой точки, вторая производная – ускорение.

Выделим бесконечно малый участок струны М1М2, проектирующейся на ось ОХ интервалом [x,x+dx]. На него действуют силы натяжения и . При малых колебаниях частиц струны угол наклона касательной к любой точке струны мал, . Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и равна , получим

где

Здесь частное приращение производной при переходе от аргументов (х, t) к аргументам (x+dx,t) заменено ее частным дифференциалом

Масса участка струны равна

где – линейная плотность вещества струны (кг/м).

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:

Обе части уравнения разделим на и получим уравнение:

,

где – положительная постоянная величина.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.

В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового уравнения имеет вид:

.

Функция в момент времени t=0 описывает перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со скоростью V, которая равна . Функция описывает волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении.

Если точки струны колеблются по гармоническому закону то вдоль струны будет распространяться волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.

Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны.

Решение. В уравнении плоской волны подставим и выразим из него в явном виде длину волны:

.

Подставим числовые данные:

Задача 3. По какому закону изменяется с расстоянием амплитуда незатухающей цилиндрической воны?

Решение. Поток энергии, переносимой волной через цилиндрическую поверхность радиуса R, пропорционален интенсивности волны и площади поверхности S

,

где h – высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,

,

.

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды

.

Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити. Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:

1.1. Написать уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота ω, начальная фаза π/6, длина λ. Рассеянием энергии пренебречь.

1.2. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция

1.3. Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция Какой физический смысл имеет коэффициент ?

1.4. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Υ. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии y=λ/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.

1.5. В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек М и Р.

1.6. В некоторый момент времени t1 в точке х1=0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке х2=10-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х2 в момент времени t2=10-2 c? Длина волны λ=10-4 м.

1.7. Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой и длиной волны ?

1.8. Какие из приведённых функций можно использовать при описании волновых движений: , , ?

1.9. Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны с изменением расстояния от источника.

1.10. Записать уравнение сферической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с изменением расстояния от источника.

1.11. В окрестностях точек 1 и 2 известны направления распространения сферической волны (рис.1.1). Найти графическим построением положение источника излучения.

1.12. В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен .

1.13. Указать направление, вдоль которого распространяется плоская волна, имеющая волновой вектор (k,0,0). Определить частоту ν и длину λ этой волны. Скорость распространения волны в среде равна V.

1.14. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,k,0).

1.15. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,0,-k).

1.16. На больших расстояниях от точечного источника сферическая волна может рассматриваться как плоская. При каком характерном размере d малый участок волновой поверхности может считаться плоским? Длина волны λ задана.

1.17. Найти волновой вектор и скорость волны V. Волна описывается уравнением , где , и – постоянные.

1.18. Плоская волна с длиной λ распространяется вдоль направления, образующего с осями Х, Υ, Z углы π/3, π/4, и π/3 соответственно. Написать уравнение волны. Амплитуда и частота равны соответственно А и ν.

1.19. Доказать, что любая функция вида является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной ?

1.20. Плоская волна задана уравнением

,

где смещение частиц среды y задано в мкм, t в с, х в м. Найти отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

1.21. Плоская волна задана уравнением . Для момента времени t=0 изобразите графики зависимости от х величин у, ∂y/∂t и ∂y/∂x.

1.22. Две плоские синусоидальные волны, амплитуды которых одинаковы, а частоты соответственно n и n+∆n (∆n n2 > n1 (n1=1). Луч естественного света падает на границу воздух – стекло под углом Брюстера. За счет преломлений и отражений луч разделяется на несколько лучей. Какие из лучей (1÷6) будут полностью поляризованы?

2.52. При дифракции на щели минимум третьего порядка наблюдается при угле дифракции 45°. Какое общее количество минимумов можно наблюдать в дифракционной картине? Под каким углом будет наблюдаться последний минимум?

2.53. В опыте по наблюдению дифракции Френеля круглое отверстие открывает две зоны Френеля. Диафрагма с отверстием расположена на одинаковом расстоянии от точечного источника света и экрана. Между источником света и отверстием поставили собирающую линзу так, чтобы при этом источник света оказался в ее фокусе. Светлое или темное пятно будет наблюдаться в центре дифракционной картины?

2.54. На тонкую прозрачную пленку с показателем преломления n=1,33 по нормали к ее поверхности падает световой луч. При непрерывном изменении длины волны света обнаружили, что в отраженном луче за счет интерференции максимальное увеличение интенсивности наблюдается у лучей с длинами волн λ1=450 нм и λ2=750 нм. Найти толщину пленки.

2.55. Пучок естественного света падает на поляризатор, состоящий из N поляризационных пластинок. Плоскость поляризации каждой из пластинок повернута на 30° по часовой стрелке относительно плоскости поляризации предыдущей пластинки. Какая доля интенсивности падающего света пройдет через поляризатор? Поглощением света пренебречь.

2.56. Две когерентные световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют разность фаз ∆φ=π/3. Модули амплитуд векторов напряженности электрического поля волн одинаковы E1=E2=E0. В результате интерференции получили эллиптически поляризованный свет. Найти наибольшее и наименьшее значения модуля вектора напряженности электрического поля световой волны.

3. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА.

Поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности нагретого тела по всем направлениям в пределах телесного угла 2π (энергетическая светимость тела Rm), равен

,

где – испускательная способность тела, – циклическая частота.

,

где Вт/м2К4 – постоянная Стефана – Больцмана;
T – температура.

Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры f(ω,T). Испускательная способность абсолютно черного тела, описывается формулой Планка:

где – постоянная Планка; с – скорость света; k – постоянная Больцмана. При переходе от частоты к длине волны эта функция приобретает вид:

Испускательная способность абсолютно черного тела связана с равновесной плотностью энергии теплового излучения u(ω,T) соотношением

где – некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции закон Вина имеет вид

где некоторая функция произведения (λ;T).

Закон смещения Вина:

где – длина волны, на которую приходится максимум функции ; b=2,898 (м·К) – постоянная Вина.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

где – частота света, – работа выхода электронов с поверхности жидкости или твердого тела, – кинетическая энергия вылетающих электронов.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона)

где – длина волны рентгеновского излучения после рассеяния; – длина волны падающего излучения; – масса покоя электрона; – угол, под которым рассеивается излучение; – комптоновская длина волны.

Задача 1. Определить энергетическую светимость абсолютно черного тела в интервале длин волн =1 нм, соответствующую максимуму его испускательной способности при T=1000 К.

Решение. Из закона смещения Вина определим длину волны излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум излучения.

м.

Интервал длин волн много меньше длины волны , поэтому энергетическую светимость можно определить как произведение испускательной способности на

Задача 2. На металлическую пластину падает свет с длиной волны λ=420 нм. Фототок прекращается при запирающем потенциале
U=0,95 В. Определить скорость выбиваемых электронов и работу выхода.

Решение. Скорость электронов найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии mV2/2=eU, где е – заряд электрона. Скорость электрона:

м/с.

Работа выхода фотоэлектронов равна

Задача 3. В опыте Комптона угол рассеивания рентгеновских фотонов равен φ=90°. Энергия рассеянных фотонов Е=0,4 МэВ. Какова энергия фотонов до рассеивания? Какова энергия, импульс и скорость электронов отдачи?

Решение. Изменение длины волны в результате рассеяния на свободном электроне определяется с помощью формулы Комптона:

Длины волн выразим через энергии Е1 и Е0 соответствующих фотонов:

Отсюда следует, что энергия фотонов до рассеивания равна

Энергия покоя электрона m0c2=0,51 МэВ. Энергию фотона выразим в мегаэлектронвольтах:

МэВ.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния Ее=E0-E1=1,85–0,4=1,4 МэВ.

Импульс электрона найдем из закона сохранения импульса:

, где и — импульс фотона до рассеяния и после рассеяния. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис.2. Из диаграммы следует, что

Импульс фотонов представим через их энергию, выраженную в джоулях,

кг·м/с.

Скорость электронов отдачи найдем, воспользовавшись выражением для релятивистского импульса

Отсюда следует, что

м/с.

3.1. Участок поверхности нагретого тела площадью ∆S за время τ излучает в пределах телесного угла 2π энергию ∆W. Какова энергетическая светимость этого участка?

3.2. Испускательная способность тела задана уравнением

0, ω ω2,

где b – постоянная, ω – частота излучения. Рассчитать энергетическую светимость тела.

3.3. Испускательная способность тела задана уравнением rω=roexp(—αω), где ro и α — постоянные. Определить энергетическую светимость тела.