Уравнение плоской электромагнитной волны распространяющейся в вакууме имеет вид (3 видео)

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

Плоская волна — это волна, фронт которой представляет собой плоскость. Напомним, что фронт — это эквифазная поверхность, т.е. поверхность равных фаз.

Принимаем, что в точке О (рис. 5.1) находится точечный источник, плоскость Р перпендикулярна оси Z, точки Мj и М₂ лежат в плоскости Р. Принимаем также, что источник О так далеко от плоскости Р, что OMj | | ОМ₂. Это означает, что все точки в плоскости Р, являющейся фронтом волны, равноправны, т.е. при перемещении в плоскости Р не происходит изменения состояния процесса:

Рис. 5.1. Плоская электромагнитная волна

Разрешим уравнения Гельмгольца

относительно векторов поля и исследуем полученные решения.

В этом случае из шести уравнений остаются только два уравнения:

Содержание

Плоские волны в вакууме
Плоская электромагнитная волна и её свойства
2.6. Электромагнитные волны
💥 Видео

Видео:Поляризация плоской электромагнитной волныСкачать

Плоские волны в вакууме

Решение дифференциальных уравнений (5.1) имеет вид

где корни характеристического уравнения

Переходя от комплексных векторов к их мгновенным значениям, получим

Первое слагаемое представляет собой прямую волну, а второе — обратную волну. Рассмотрим первое слагаемое уравнения (5.2). На рис. 5.2 в соответствии с этим уравнением показано распределение напряженности электрического поля в момент времени t и At. Точки 1 и 2 соответствуют максимумам напряженности электрического поля. Положение максимума сместилось за время At на расстояние Az:

Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов: ooAt = kAz. При этом получаем уравнение для фазовой скорости

Puc. 5.2. График изменения напряженности электрического поля

Для вакуума Уф =— , С ° = —j2= = 3 • 10 8 м/с.

W 8 оМ-о V E oMo

Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Рассмотрим второе слагаемое уравнения (5.2):

Оно дает Уф =—. Это соответствует волне, распространяющейся к источнику.

Определим расстояние X между точками поля с фазами, отличающимися на 360°. Это расстояние называется длиной волны. Поскольку

где к — волновое число (постоянная распространения), то

Длина волны в вакууме Х₀ = с / /, где с — скорость света.

Фазовая скорость и длина волны в остальных средах соответственно

Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты электромагнитного поля, а значит, среда без потерь недисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:

Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем проекции векторов в последних уравнениях:

Учтем, что в системе (5.3)

Из условия (5.4) очевидно, что у плоских волн нет продольных составляющих, так как E_z = О, Н₂ = 0. Составим скалярное произведение (Е, Я), выразив Е_х и Е_у из выражений (5.4):

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы Ё и Я в плоской волне перпендикулярны друг другу. Из-за того, что у них нет продольных составляющих, ? и Я перпендикулярны направлению распространения. Определим отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.

Принимаем, что вектор ? направлен вдоль оси х, соответственно Е_у — 0,Н_Х— 0.

где Z — волновое сопротивление среды с макроскопическими параметрами е и р;

Z₀ — волновое сопротивление вакуума. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.

Запишем выражения для мгновенных значений Я и ? падающей волны, используя уравнение (5.2). В результате получим

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды ? и Я остаются неизменными, т.е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

На рис. 5.3, а изображены пространственные кривые, представляющие собой графики мгновенных значений Я и ?. Эти графики построены по полученным уравнениям для момента времени cot = 0. Для более позднего момента времени, например для cot + |/_п = п/2, аналогичные кривые изображены на рис. 5.3, б.

Рис. 5.3. Картина электромагнитного поля:

Как видно на рис. 5.3, а и б, вектор Е при движении волны остается направленным вдоль оси х, а вектор Я — вдоль оси у, сдвига по фазе между Я и ? нет.

Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Его модуль изменяется по закону П = C 2 Zsin 2 ^cot + -—zj. Поскольку

sin 2a = (1 — cos2a)/2, to 1-cosf 2cot+——z ] , т.е. вектор

Пойнтинга имеет постоянную составляющую C 2 Z /2 и переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.

1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных средах скорость меньше в ^/e,.p_r раз.
2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
3. Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.

Видео:Вывод уравнения электромагнитной волныСкачать

Плоская электромагнитная волна и её свойства

Давайте сначала вспомним понятие плоской волны. Что это такое? Это вид волны, характерным свойством которой является плоская форма волновой поверхности. Волновая поверхность — это набор точек в среде или пространстве (в случае электромагнитных волн), в которых волна имеет одинаковую фазу колебаний.

Таким образом: при распространении плоской волны в двумерной среде волновые поверхности образуют прямые линии, параллельные друг другу; при распространении в трехмерном пространстве — плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Плоская волна

Здесь мы будем рассматривать второй случай — (электромагнитную) волну, распространяющуюся в трехмерном пространстве.

Как создать такую абстрактную волну? Возможно ли это вообще? Об этом и других вопросах, связанных с электромагнитной плоской гармонической волной, вы прочитаете далее.

Прежде чем мы разберемся с плоской волной, давайте объясним понятие гармонической волны. По-другому ее называют синусоидальной волной. Хорошим примером этого является акустическая волна, источником которой является яркий камертон. График, показанный на рис. 2, показывает изменение давления воздуха в зависимости от положения x для определенного момента времени. Волна распространяется вдоль оси x, т.е. кривая движется во времени вправо со скоростью звука.

Рис. 2. График изменения давления воздуха в акустической волне, «захваченной» в определенный момент. По прошествии времени Δt она смещается вправо на Δx

Гармоническая волна создается источником, который вибрирует гармонически. Мы уже знаем, что когда речь идет об электромагнитной волне, источником, совершающим гармоничные колебания, являются заряды в LC-контуре. Таким образом, радиоволна — это гармоническая волна. Как и любая гармоническая волна, радиоволна имеет определенную длину и частоту, которые связаны следующим образом: λ = v / f , где где λ — длина волны, v — скорость распространения волны в среде, f — частота волны.

На рис. 3. схематически показана конфигурация электрического поля (синие линии) и магнитного поля (красные линии) вокруг дипольной антенны, расположенной вертикально. Поля демонстрируют осевую симметрию. Волна распространяется приблизительно в радиальном направлении. Поля «идут одинаковым фронтом», они согласованы по фазе. Обратите внимание, что линии электрического и магнитного поля перпендикулярны друг другу в каждой точке пространства.

Рис. 3. Конфигурация электрического поля E и магнитного поля B вокруг дипольной антенны

Вернемся к плоской волне и зададим вопрос: можно ли получить электромагнитную волну такую, что везде на бесконечной плоскости электрическое поле имеет одинаковое значение, направление и отдачу?

Теоретически это возможно. Достаточно представить себе бесконечную пластину (см. рис. 4), в которой электрические заряды гармонично колеблются в вертикальном направлении. Они создают электромагнитные волны по обе стороны пластины, идущие от нее в противоположных направлениях. Их направление перпендикулярно пластине. (Она не может быть другой из-за симметрии системы).

Рис. 4. Гармонически колеблющиеся электрические заряды как источник плоских электромагнитных волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний

На любой прямой, перпендикулярной плоскости с токами, мы будем иметь электрическое и магнитное поле со структурой, показанной на рис. 5.

Рис. 5. Структура плоской электромагнитной волны

Волна распространяется в направлении оси z. Векторы напряженности электрического поля E направлены вдоль оси x, а векторы магнитной индукции B — вдоль оси y.

Обратим внимание на характерную особенность электромагнитной волны, хорошо заметную в структуре плоской волны. А именно, векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции всегда перпендикулярны друг другу, что мы будем записывать символически следующим образом: E ⟂ B .

Векторы E и B также направлены друг к другу и к направлению распространения (размножения) волн характерным образом — векторы E , B , c образуют правостороннюю систему координат (см. рисунок 6). Если мы «прикрутим» вектор E к B , как в правиле буравчика, то большой палец покажет нам направление вектора скорости волны v , или в вакууме c — то есть направление распространения.

Рис. 6. Иллюстрация правила буравчика для векторов E , B, c

А также стоит знать, что для любой электромагнитной волны, «бегущей» в вакууме, значения векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции тесно связаны соотношением: E = B * c . Это не означает, что электрическое поле является каким-то привилегированным. Оба поля одинаково важны, поскольку энергия, переносимая волной, делится поровну между электрическим и магнитным полем.

Важным свойством плоской волны является постоянство ее амплитуды ( E_max, B_max = const ) и, следовательно, постоянство интенсивности волны. Почему это происходит? Плоская волна «ходит ровным фронтом», она не рассеивается. Энергия, переносимая волной, все время падает на одну и ту же поверхность, в отличие от сферической волны, где энергия, излучаемая источником, падает на поверхность, которая увеличивается с расстоянием r от источника как r 2 .

С другой стороны, идея бесконечной поверхности по многим причинам совершенно нереальна. Можем ли мы тогда действительно иметь плоскую волну? Да, но только приблизительно. Если мы находимся далеко от передающей антенны, то волновые поверхности, создаваемые антенной, которые вблизи антенны напоминают тороидальные поверхности, становятся более плоскими по мере удаления. В конечном итоге, на большом расстоянии мы считаем поверхности плоскими, особенно когда рассматриваем небольшой участок поверхности. Тогда можно считать, что в небольшом диапазоне изменения расстояния от антенны амплитуда волны постоянна.

Вторым примером плоской (почти) электромагнитной волны может служить лазерное излучение. Луч лазерного света имеет очень небольшую расходимость.

Для справки. Лазерный луч имеет очень малое расхождение. Из всех доступных лазеров — зеленый лазер имеет самый «компактный» луч. Угол расхождения тем меньше, чем меньше длина волны лазерного излучения. Кроме того, лазерный свет монохроматичен, то есть имеет одну длину волны. Кроме того, в поперечном сечении пучка лучей лазера электрическое поле колеблется в той же фазе. Можно успешно представить, что это плоская электромагнитная волна с малой площадью волны.

Видео:4.3 Плоские электромагнитные волны в идеальных диэлектрических средахСкачать

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно: