Уравнение плоской бегущей волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид (7 видео)

Уравнение плоской бегущей волны

Для большинства задач, связанных с волнами, важно знать состояние колебаний различных точек среды в тот или иной момент времени. Состояния точек среды будут определены, если известны амплитуды и фазы их колебаний. Для поперечных волн необходимо еше знать характер поляризации. Для плоской линейно-поляризованной волны достаточно иметь выражение, позволяющее определить смещение с(х, t) из положения равновесия любой точки среды с координатой х, в любой момент времени t. Такое выражение называется уравнением волны.

Рис. 2.21. Бегущая волна

Рассмотрим так называемую бегущую волну, т.е. волну с плоским волновым фронтом, распространяющуюся в каком-либо одном определенном направлении (например, вдоль оси х). Пусть частицы среды, непосредственно примыкающие к источнику плоских волн, совершают колебания по гармоническому закону; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На рисунке 2.21, а через ^(0, t) обозначено смещение частиц среды, лежащих в перпендикулярной рисунку плоскости и имеющих в выбранной системе координат координату х = 0 в момент времени t. Начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний, определенных через косинусоидальную функцию, была равна нулю. Ось х совместим с лучом, т.е. с направлением распространения колебаний. В этом случае фронт волны перпендикулярен оси х, так что частицы, лежащие в этой плоскости, будут совершать колебания в одной фазе. Сам фронт волны в данной среде перемещается вдоль оси х со скоростью и распространения волны в данной среде.

Найдем выражение ?(х, t) смещения частиц среды, удаленных от источника на расстояние х. Это расстояние фронт волны проходит

за время Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, удаленной от источника на расстояние х, будут отставать по времени на величину т от колебаний частиц, непосредственно примыкающих к источнику. Эти частицы (с координатой х) также будут совершать гармонические колебания. В отсутствие затухания амплитуда А колебаний (в случае плоской волны) не будет зависеть от координаты х, т.е.

Это и есть искомое уравнение тоской бегущей волны (не путать с волновым уравнением, рассматриваемым ниже!). Уравнение, как уже отмечалось, позволяет определить смещение % частицы среды с координатой х в момент времени t. Фаза колебаний зависит

от двух переменных: от координаты х частицы и времени t. В данный фиксированный момент времени фазы колебаний различных частиц будут, вообще говоря, различны, но можно выделить такие частицы, колебания которых будут происходить в одинаковой фазе (синфазно). Можно также считать, что разность фаз колебаний этих частиц равна 2пт (где т = 1, 2, 3. ). Кратчайшее расстояние между двумя частицами бегущей волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны X.

Найдем связь длины волны X с другими величинами, характеризующими распространение колебаний в среде. В соответствии с введенным определением длины волны можно написать

или после сокращений Так как , то

Это выражение позволяет дать иное определение длины волны: длина волны есть расстояние, на которое успевают распространиться колебания частиц среды за время, равное периоду колебаний.

Уравнение волны обнаруживает двойную периодичность: по координате и по времени: ^(х, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Цх + пХ, ml), где пит — любые целые числа. Можно, например, фиксировать координаты частиц (положить х = const) и рассматривать смещение их как функцию времени. Или, наоборот, фиксировать момент времени (принять t = const) и рассматривать смещение частиц как функцию координат (мгновенное состояние смещений — мгновенная фотография волны). Так, находясь на пристани можно с помощью фотоаппарата в момент времени t сфотографировать морскую поверхность, но можно, бросив щепку в море (т.е. зафиксировав координату х), следить за ее колебаниями во времени. Оба эти случая приведены в виде графиков на рис. 2.21, а—в.

Уравнение волны (2.125) можно переписать иначе

Отношение обозначается к и называется волновым числом

Так как , то

Волновое число, таким образом, показывает, какое число длин волн укладывается в отрезке 2л единиц длины. Введя волновое число в уравнение волны, получим уравнение бегущей в положительном направлении Ох волны в наиболее часто употребляемом виде

Найдем выражение, связывающее разность фаз Дер колебаний двух частиц, принадлежащих разным волновым поверхностям Х и х₂. Воспользовавшись уравнением волны (2.131), запишем:

Если обозначить или согласно (2.130)

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в произвольном направлении, описывается в общем случае уравнением

где г —радиус-вектор, проведенный из начала координат к частице, лежащей на волновой поверхности; к — волновой вектор, равный по модулю волновому числу (2.130) и совпадающий по направлению с нормалью к волновой поверхности в направлении распространении волны.

Возможна также комплексная форма записи уравнения волны. Так, например, в случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси х

а в общем случае плоской волны произвольного направления

Уравнение волны в любой из перечисленных форм записи может быть получено как решение дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Если мы знаем решение этого уравнения в форме (2.128) или (2.135) — уравнение бегущей волны, то найти само волновое уравнение не составляет труда. Продифференцируем 4(х, t) = % из (2.135) дважды по координате и дважды времени и получим

выражая ?, через полученные производные и сравнивая результаты, получим

Имея в виду соотношение (2.129), запишем

Это и есть волновое уравнение для одномерного случая.

В общем виде для ?, = с(х, у, z, /) волновое уравнение в декартовых координатах выглядит так

или в более компактном виде:

где Д — дифференциальный оператор Лапласа

Фазовой скоростью называется скорость распространения точек волны, колеблющихся в одинаковой фазе. Иными словами — это скорость перемещения «гребня», «впадины», либо любой другой точки волны, фаза которой фиксирована. Как уже отмечалось ранее, фронт волны (а следовательно, и любая волновая поверхность) перемещается вдоль оси Ох со скоростью и. Следовательно, скорость распространения колебаний в среде совпадает со скоростью перемещения данной фазы колебаний. Поэтому скорость и, определяемую соотношением (2.129), т.е.

принято называть фазовой скоростью.

Тот же результат можно получить, найдя скорость точек среды, удовлетворяющих условию постоянства фазы со/ — fee = const. Отсюда находится зависимость координаты от времени(со/ — const) и скорость перемещения данной фазы

что совпадает с (2.142).

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох, описывается уравнением

Действительно, в этом случае фазовая скорость отрицательна

Фазовая скорость в данной среде может зависеть от частоты колебаний источника. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а среды, в которых имеет место эта зависимость, называются диспергирующими средами. Не следует думать, однако, что выражение (2.142) и есть указанная зависимость. Дело в том, что в отсутствие дисперсии волновое число к прямо пропорционально

со и поэтому . Дисперсия имеет место лишь в том случае, когда со зависит от к нелинейно).

Бегущая плоская волна называется монохроматической (имеющей одну частоту), если колебания в источнике гармонические. Монохроматическим волнам отвечает уравнение вида (2.131).

Для монохроматической волны угловая частота со и амплитуда А не зависят от времени. Это значит, что монохроматическая волна безгранична в пространстве и бесконечна во времени, т.е. представляет собой идеализированную модель. Всякая реальная волна, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство частоты и амплитуды, монохроматической не является. Реальная волна не длится бесконечно долго, а начинается и кончается в определенные моменты времени в определенном месте, и, следовательно, амплитуда такой волны есть функция времени и координаты этого места. Однако чем длиннее интервал времени, в течение которого поддерживаются постоянными амплитуда и частота колебаний, тем ближе к монохроматической данная волна. Часто в практике монохроматической волной называют достаточно большой отрезок волны, в пределах которого частота и амплитуда не изменяются, подобно тому, как изображают на рисунке отрезок синусоиды, и называют его синусоидой.

Содержание

Бегущие электромагнитные волны
Уравнение плоской бегущей волны
Что называют электромагнитной волной. Волновое число
Уравнение сферической бегущей волны
Уравнение плоской бегущей волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид
🎬 Видео

Видео:Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Бегущие электромагнитные волны

Бегущие волны – это волны, которые переносят энергию в пространстве. Количественно транспортирование энергии этой волной назначает вектор плотности потока энергии, называемый вектором Умова-Пойтинга. Его направление совпадает с направлением распространения энергии. Модуль вектора равняется энергии, которую может переносить волна за время, равное 1 с , через площадку, располагаемую перпендикулярно к направлению ее движения с площадью, равняющуюся 1 .

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

Уравнение плоской бегущей волны

Для получения уравнения бегущей волны рассматривается плоская гармоническая. Считается, что она распространяется по О х . Поверхности волны перпендикулярны О х , все точки волновой поверхности совершают колебания одинаково, смещение ξ = ξ ( x , t ) будет функцией с координатой x и временем t . Запись уравнение колебаний частиц, находящихся на плоскости х , примет вид:

ξ ( x , t ) = A cos ω t — x υ ( 1 ) .

Отсюда ξ ( x , t ) является периодической по времени и по координате х . уравнение ( 1 ) называют уравнением бегущей волны. Если плоская волна задается при помощи выражения ( 1 ) , то ее перемещение идет по О х . При обратном ее направлении по О х уравнение запишется как:

ξ ( x , t ) = A cos ω t + x υ ( 2 ) .

Если волна движется по О х без поглощения энергии, то это характеризуется уравнением:

ξ ( x , t ) = A cos ω t — x υ + φ 0 ( 3 ) .

Значение A = c o n s t относят к амплитуде, ω – к циклической частоте волны, φ 0 — к начальной фазе колебаний, определяемой выбором началом отсчета x и t , ω t — x υ + φ 0 – к фазе плоской волны.

Видео:Получение уравнения плоской бегущей волны.Скачать

Что называют электромагнитной волной. Волновое число

Электромагнитные волны – это распространяющиеся в пространстве изменения состояния электромагнитного поля. Они характеризуются волновым числом k .

Запись выражения ( 1 ) примет совершенно другой вид при известном волновом числе.

Если перейти к комплексным числам, применив формулу Эйлера, уравнение плоской волны зафиксируем.

Выражение ( 6 ) имеет физический смысл только в действительной части, но R e возможно опустить в записи уравнения волны.

Перейдем к рассмотрению волнового процесса, где не происходит изменение фазы.

Далее найдем дифференциал от выражения ( 7 ) .

При условии, что υ волны зависит от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.

Видео:Лекция 2 ВолныСкачать

Уравнение сферической бегущей волны

Сферическая волна – это волна, волновая поверхность которой является концентрической сферой. Такое уравнение примет вид:

ξ ( r , t ) = A 0 r cos ω t — k r + φ 0 ( 11 ) ,

где r является расстоянием от центра волны до точки рассмотрения. Если имеем дело со сферической волной, то ее амплитуда колебаний не будет постоянной даже при условии, что энергия не поглощается средой. Ее убывание происходит обратно пропорционально расстоянию. Выполнение уравнения ( 8 ) возможно тогда, когда источник волн считается точечным.

Уравнение бегущей волны в любом виде подчинено волновому уравнению.

Дана плоская электромагнитная волна в вакууме, которая распространяется по О х . Амплитуда напряженности электрического поля равняется E m . Определить амплитуду напряженности магнитного поля заданной волны.

За основу необходимо принять выражение для амплитуд электромагнитной волны:

ε ε 0 E = μ μ 0 H ( 1 . 1 ) .

Запись уравнения колебаний модуля E → в электромагнитной волне при условии, что она является плоской и идет по О х , фиксируем:

E = E m cos ω t — k x ( 1 . 2 ) .

Для записи уравнения колебаний H → в электромагнитной волне, в случае если она считается плоской и распространяется по О х :

H = H m cos ω t — k x ( 1 . 3 ) .

Из условия имеем, что волна производит рассеивание в вакууме, то ε = 1 , μ = 1 . Применяя ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , ( 1 . 3 ) :

ε 0 E m = μ 0 H m → H m = ε 0 μ 0 E m .

Ответ: H m = ε 0 μ 0 E m .

Распространение электромагнитной плоской волны идет в вакууме по О х . Ее падение производится перпендикулярно поверхности тела, которое способно полностью поглощать волну. Значение амплитуды напряженности магнитного поля равняется
H m . Определить давление волны на тело.

Необходимо учитывать, что тело, которое поглощает падающую на него энергию, оказывается под давлением, равным среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне.

Следует применять соотношение амплитуд электромагнитной волны, которое записывается:

ε ε 0 E = μ μ 0 H .

Для того, чтобы зафиксировать уравнение колебаний E при распространении волны по О х , получим:

E = E m cos ω t — k x .

Теперь перейдем к уравнению колебаний H , если рассеивание плоской волны идет соответственно направлению О х . Запишем:

H = H m cos ω t — k x .

Следует, что значение объемной плотности электрической энергии примет вид:

ω E = ε ε 0 E 2 2 .

Формула плотности магнитного поля:

ω H = μ μ 0 H 2 2 .

Причем ω E = ω H . Запись примет вид:

ω = ω E + ω H = 2 ω H = μ μ 0 H 2 = μ μ 0 H m 2 cos 2 ω t — k x .

После усреднения плотности, имеем:

» open=» ω = » open=» μ μ 0 H m 2 cos 2 ω t — k x .

При » open=» cos 2 ω t — k x = 1 2 получаем:

p = » open=» ω = μ μ 0 H m 2 2 .

Ответ: p = » open=» ω = μ μ 0 H m 2 2 .

Видео:Упругие механические волны. 1 часть. 11 класс.Скачать

Уравнение плоской бегущей волны распространяющейся вдоль оси ох имеет вид

отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.

— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме

где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.

Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.

Тогда уравнение плоской волны запишется так: