Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярную вектору в координатах

Пусть дана некоторая точка M₀ и ненулевой вектор n. Через точку M₀ можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow<M_M>) перпендикулярен вектору n. Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M₀ и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow<M_M>) имеет координаты х — х₀, у — у₀ и z — z₀, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 4, z₀ = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

3адачa 2. Даны точки M₁ (2; -1; 3) и M₂(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ перпендикулярно вектору (overrightarrow<M_M_2>).

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow<M_M_2>) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М₀ = М₂(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А₁<-5; 2; 7), А₂(5; 0; 6), А₃(0; -1; 2) проведена медиана А₁М₀. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно медиане А₁М₀.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow<A_M_0>). Определим его координаты. Точка М₀ — середина отрезка А₂А₃, поэтому, если (х₀; у₀; z₀) — ее координаты, то

Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны

A = 5 /₂ + 5 = 15 /₂, В = — 1 /₂ — 2 = — 5 /₂, С = 4 — 7 = — 3.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения

.

(1)

Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀ и перпендинулярной прямой L.

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:

Упростим уравнение (3):

Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1).

Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (8), получим:

(9)

Упростим уравнение (9):

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:

(11)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:

(11′)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (13), получим:

Упростим уравнение (13):

Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).

Уравнение плоскости через координаты вектора нормали и точки: онлайн-калькулятор

Плоскость — это бесконечная поверхность с принадлежащими ей прямыми, через которые проходят любые две ее точки. Нормалью к кривой в указанной точке является прямая, расположенная перпендикулярно к касательной прямой в заданной точке кривой.

Если указаны координаты точки A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , принадлежащей плоскости, и вектор нормали n = , то уравнение плоскости соответствует формуле:

A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 .

Чтобы найти уравнение плоскости, перпендикулярной вектору онлайн, необходимо:

• указать значение точки A ;
• заполнить значение вектора;
• воспользоваться кнопкой «Рассчитать».

Как найти уравнение плоскости через координаты вектора нормали и точки с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Пусть нужно найти уравнение плоскости по вектору нормали к ней и координатам точки, лежащей в плоскости. Для этого в онлайн-калькуляторе просто зададим известную точку и соответствующий вектор (нормаль):

Впишем значения в пустые поля и нажмем «Рассчитать» (значения взяты произвольно):

После этого калькулятор автоматически выдаст подробное решение с ответом:

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Уравнение плоскости через точку перпендикулярно вектору онлайн

Сервис предназначен для геометрических вычислений, которыми пользуются учащиеся школ и студенты университетов для подготовки к занятиям.

Решение задачи с помощью онлайн-калькулятора имеет преимущества:

• формула в основе автоматических подсчетов дает точный ответ без ошибок и опечаток;
• нет необходимости искать нужный способ расчета;
• пользователю доступно подробное решение;
• производить расчеты можно неограниченное количество раз бесплатно.

Пошаговые вычисления позволяют учащемуся вникнуть в процесс решения задачи по геометрии и справляться с заданиями самостоятельно. Подготовка к занятиям благодаря калькулятору занимает меньше времени и происходит более продуктивно.