Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dперпендикулярно вектору Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (48)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (49)

Угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду двумя плоскостями, заданными уравнениями Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dопределяется как угол между векторами их нормалей Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dили дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (50)

Уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой l в пространстве:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(51)

где Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– фиксированная точка прямой; Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– направляющий вектор прямой l, т. е. любой вектор, параллельный l; t – числовой параметр.

Каждому значению параметра Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dсоответствует единственная точка прямой l.

Канонические уравнения прямой:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (52)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
и Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (53)

Углом Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду прямыми называют угол между их направляющими векторами Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= <m1; n1; p1> и Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= <m2; n2; p2>, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), т. е.

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (54)

Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду плоскостью Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи прямой Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dопределяется по формуле:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. (55)

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 2

Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Требуется найти значение матричного многочлена f (A).

Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 3. Даны координаты трех векторов: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи вектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

1) вычислить модуль вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

2) найти координаты вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

3) найти угол φ между векторами Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

4) вычислить проекцию вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dна направление вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребрами AB и BC;

8) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Решение задачи 1

Записываем матричный многочлен: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dЗдесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т. е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A 2 . При умножении матрицы A на себя используем правило «строка на столбец» (формула (23)):

A 2 = A·A = Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):

E = Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Теперь найдем значение матричного многочлена f(A),используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Ответ: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Решение задачи 2

1) Запишем систему в матричном виде:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, или AX = B,

где Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х3, т. е. а23 = 0).

2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Вычислим эти определители, используя формулу (25):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Найдем решение системы по формулам Крамера (30):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

3) Решим систему при помощи обратной матрицы.

a) Определитель Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dследовательно, обратная матрица существует.

б) Чтобы найти союзную матрицу Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dк матрице А, необходимо вычислить по формулам (26) алгебраические дополнения всех ее элементов:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).

Тогда союзная матрица (см. формулу (31)): Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило «строка на столбец»):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.

1) система в матричном виде: AX = B, где

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Решение задачи 3

1) Модуль вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dвычисляется по формуле (35):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

2) Чтобы найти координаты вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, используем формулы (38) и (39):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

тогда Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

3) Косинус угла между векторами Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dнайдем по формуле (41):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Для этого вычислим скалярное произведение Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dпо формуле (40): Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, тогда Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
и Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

4) Проекцию вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dна направление Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dвычислим по формуле (42):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

5) Площадь треугольника, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dнайдем по формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dУравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(кв. ед.).

6) Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dнаходим смешанное произведение векторов по формуле (45):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

тогда объема параллелепипеда по формуле (47): Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

1) модуль вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

2) координаты вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

3) угол между векторами Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

4) проекция вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dна направление вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

5) площадь треугольника, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(кв. ед.);

6) объем параллелепипеда, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d:
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(куб. ед.).

Решение задачи 4

1) Длину ребра Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dнайдем по формуле (36):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

2) Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т. е. вектор, перпендикулярный векторам Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. Одним из таких векторов является векторное произведение Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dна Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d. Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле (37):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= = ,

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= .

Векторное произведение Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dнайдем по формуле (43):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= . Используем уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dперпендикулярно вектору Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(формула (48): Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– уравнение плоскости грани ABC.

3) Прежде, чем найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(формула (49):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– уравнение грани BCD.

Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, перпендикулярного этой плоскости: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d=.

Косинус угла Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем
по формуле(50):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Отсюда Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

4) Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2; 1; 1) и имеющей направляющий вектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= (формулы (51)):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– параметрические уравнения AB.

Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d(формулы (53)):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

откуда, обозначив каждую из дробей t, получаем:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– параметрические уравнения AB.

5) Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= . Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3)
и вектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= (формулы (52)):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– канонические уравнения DK.

6) Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей
в канонических уравнениях буквой t, получаем:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d– параметрические уравнения DK.

Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, и принадлежит плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Решим последнее уравнение относительно t:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра в первые три уравнения системы:

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Итак, точка пересечения DK и грани ABC: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

7) Угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребрами AB и BC найдем, как угол между на-
правляющими векторами прямых AB и BC: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d=
и Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= . Найдем косинус угла Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
по формуле(54):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Тогда угол между ребрами AB и BC: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

8) Чтобы определить угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= . Плоскость ABC имеет вектор нормали Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d= . Синус угла Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду прямой Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи плоскостью ABC можно вычислить по формуле (55):

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Тогда угол между ребром AD и гранью ABC: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).

1) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

2) АВС: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

3) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

4) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

5) DK: Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

6) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

7) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

8) Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

9) чертеж пирамиды на рис. 19.

Варианты контрольнЫХ работ

Каждый вариант контрольной работы № 1 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости». Каждый вариант контрольной работы № 2 содержит 4 задачи по темам «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве».

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Варианты контрольной работы № 1

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.

Номер вариантаКоординаты точекНомер вариантаКоординаты точек
А(–2; –3), В(2; 7), С(6; –1)А(3; –3), В(–4; 1), С(–2; 5)
А(–5; 1), В(6; 3), С(–4; –7)А(3; 5), В(–2; 2), С(2; –4)
А(4; 5), В(–3; 2), С(5; –4)А(–2; 4), В(5; 6), С(3; –4)
А(7; –7), В(1; 2), С(–5; –4)А(3; 7), В(–4; 1), С(–2; –5)
А(–3; 4), В(4; 5), С(8; –3)А(4; 3), В(–3; –2), С(–7; 2)

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А, уравнение прямой l и число λ.

Номер вариантаКоординаты точкиУравнение прямой lЧисло λНомер вариантаКоординаты точкиУравнение прямой lЧисло λ
А(–1; 0)y + 2 = 01 : 1А(–5; 1)x + 1 = 01: 1
А(3; 1)3x = 163 : 4А(5; –4)5x = 15 : 1
А(3; 0)x = 02 : 1А(1; 0)2x = 72 : 3
А(2; 0)4x = 14 : 3А(1; 2)x = 41 : 2
А(0; 0)2x + 5 = 02 : 3А(3; 2)3x = 13 : 1

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка.

Номер вариантаУравнение кривойНомер вариантаУравнение кривой
7x 2 – 9y 2 + 42x+ 18y – 9 = 09x 2 + 4y 2 – 54x + 8y + 49 = 0
x 2 + 2x – 12y + 37 = 0x 2 – 10x + 4y + 17 = 0
5x 2 + 9y 2 + 10x – 54y + 41 = 03x 2 – y 2 – 30x – 2y + 62 = 0
y 2 + 6x + 6y – 3 = 0y 2 – 8x – 4y – 4 = 0
5x 2 – 4y 2 – 20x – 24y – 36 = 07x 2 + 16y 2 – 56x + 64y + 64 = 0

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Номер вариантаУравнение кривойУравнение прямой
x 2 + 2y 2 – 2x + 8y + 3 = 0x + 2y + 3 = 0
x 2 – 2y 2 + 4x + 4y – 6 = 0x + 2y = 0
x 2 + 6x – 16y + 25 = 0x – 4y + 15 = 0
x 2 + 4y 2 – 6x + 8y + 5 = 0x – 2y – 5 = 0
y 2 – 4x – 6y – 15 = 02x + y – 3 = 0
x 2 – 5y 2 + 10x + 20y – 15 = 0x – 5y + 15 = 0
x 2 + 4y 2 + 2x – 32y + 45 = 0xy + 5 = 0
x 2 – 4x + 8y + 44 = 0x – 2y – 20 = 0
2x 2 – y 2 – 16x – 6y + 19 = 0xy – 7 = 0
y 2 + 10x + 8y – 34 = 02x + y + 4 = 0

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;

2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК).

Номер вариантаУравнение кривойНомер вариантаУравнение кривой
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

1) найти область определения функции Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d, принадлежащих области определения функции Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР;

4) определить тип кривой.

Варианты контрольной работы № 2

Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А.

Номер вариантаМногочлен f(x)Матрица А
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Номер вариантаМногочлен f(x)Матрица А
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Требуется найти значение матричного многочлена Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными.

Номер вариантаСистема уравненийНомер вариантаСистема уравнений
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 3. Даны координаты трех векторов Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи вектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Номер вариантаВекторы Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dВектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Номер вариантаВекторы Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dВектор Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d
Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

1) вычислить модуль вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

2) найти координаты вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

3) найти угол φ между векторами Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

4) вычислить проекцию вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dна направление вектора Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dи Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d;

6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d.

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD.

Номер вариантаКоординаты точек
А(1; 2; –1), В(0; 0; 1), С(1; –3; 3), D(2; –1; –1)
А(7; 2; 4), В(7; –1; –2), С(3; 3; 1), D(4; 2; 1)
А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(–1; 0; 1), D(–4; 6; –3)
А(–2; 0; –4), В(–1; 7; 1), С(4; –8; –4), D(1; –4; 6)
А(1; 2; 0), В(3; 0; –1), С(5; –2; 3), D(3; 2; –1)
А(–1; 1; 2), В(2; 1; –2), С(–2; 0; 4), D(2; –1; 2)
А(4; 2; 5), В(2; –3; 0), С(–10; 5; 8), D(–5; 2; 4)
А(2; –1; 1), В(–1; –3; 2), С(–2; 3; 1), D(–1; 2; –3)
А(–1; 1; 2), В(–2; 0; 3), С(3; 6; –3), D(–1; –2; 7)
А(4; –1; 3), В(–2; 1; 0), С(0; –5; 1), D(–2; 1; –1)

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребрами AB и BC;

8) найти угол Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину dмежду ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 1998. – 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 14.09.2007. Подписано в печать 18.09.2007. Формат 60´84 1 /16.
Бум. типографская. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,18. Заказ 443. Тираж 300 экз.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Видео:Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

  1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

  1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

  1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Уравнение плоскости перпендикулярной ребру ad и проходящей через вершину d

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

📺 Видео

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Лекция 28. Виды уравнения прямой в пространстве.Скачать

Лекция 28. Виды уравнения прямой в пространстве.

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.Скачать

Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскости
Поделиться или сохранить к себе: