Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид

(так как плоскость по условию задачи параллельна оси Oz, то в ее уравнении отсутствует координата z).

Если плоскость проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляя координаты точек A и B в уравнении (1), получим два уравнения:

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Для определения коэффициентов A, B и D имеем систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Составляем матрицу коэффициентов этих уравнений

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Тогда по формулам (25) получаем

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Подставляя найденные значения A, B и C в (1), получим

После сокращения на t уравнение искомой плоскости приобретает вид

Проверьте правильность решения подстановкой в полученное уравнение сначала координат точки A, а потом координат точки B. Каждый раз в левой части должен получиться ноль.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

1.3.2. Аналитическая геометрия в пространстве

1. Всякая плоскость в координатном пространстве OXYZ имеет векторное уравнение следующего вида: r ¦ п = p. Здесь

r = xi + yj + zk — радиус-вектор текущей точки плоскости

M(x, у, z); п = i cosa + j cos b + k cosg — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, a, b, g — углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат OX, OY, OZ, и р — длина этого перпендикуляра.

При переходе к координатам это уравнение принимает вид xcos a + ycos b + zcos g — p = 0 (нормальное уравнение плоскости).

2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ах + Ву +Cz + D = 0 (общее уравнение). Здесь А, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора

N = Ai + Bj + Ck, перпендикулярного к плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить на нормирующий множитель

Уравнение плоскости параллельной оси z

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой уравнением Ах + Ву +Cz + D = 0:

А = 0; плоскость параллельна оси ОХ;

В = 0; плоскость параллельна оси О^

C = 0; плоскость параллельна оси ОZ;

D = 0; плоскость проходит через начало координат;

А = В = 0; плоскость перпендикулярна оси ОZ (параллельна плоскости ХОY);

А = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОY (параллельна плоскости ХОZ);

В = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОХ (параллельна плоскости YОZ);

А = D = 0; плоскость проходит через ось ОХ;

В = D = 0; плоскость проходит через ось OY;

C = D = 0; плоскость проходит через ось OZ;

А = В = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOY (z = 0);

А = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOZ (у = 0);

B = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью YOZ (х = 0).

Если в общем уравнении Ах + By +Cz + D = 0 коэффициент D ф 0, то, разделив все члены уравнения на — D, можно уравнение

плоскости привести к видуУравнение плоскости параллельной оси z^ здесьУравнение плоскости параллельной оси z

. Это уравнение плоскости называется уравнением в отрезках: в нем а — абсцисса точки пересечения плоскости с осью OX, b и с — соответственно ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями OY и OZ.

4. Угол j между плоскостями А1х + В1У + Qz + D1 = 0 и А2х + В2У +C2z + D2 = 0 определяется по формуле

Уравнение плоскости параллельной оси z

Условие параллельности плоскостей:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Условие перпендикулярности плоскостей:

Уравнение плоскости параллельной оси z

5. Расстояние от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости, определяемой уравнениемУравнение плоскости параллельной оси zНаходится по формуле

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки M0 и начала координат относительно данной плоскости: этот знак положителен, если точка M0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и отрицателен, если они расположены по одну сторону от плоскости.

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0)

и перпендикулярной к вектору N = Ai + Bj + Ck, имеет вид А(х — х0) + B(y — у0) + C(z — z0) = 0. При произвольных А, В и C последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую к связке плоскостей, проходящих через точку М0. Его часто поэтому называют уравнением связки плоскостей.

7. Уравнение А1х + B1y +C1z + D1 + А(А2х + B^y +C2z + D2) = 0 при произвольном I определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую, по которой пересекаются плоскости, определяемые уравнениями

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями I и II, параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(r 1Х M1(Jj), M3(r 3) (Л = x1i + yd + z1k; r2 = x2i + У2 j + z2k; r3 = x3i + y3 j + z3 к), проще всего найти из условия компланарности векторов r — T1, r2 — rl, r3 — rl, где r = xi + yj+zk — радиус-вектор текущей точки искомой плоскости M:

или в координатной форме:

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + у + 5z — 1 = 0, 2x + 3у — z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей

Уравнение плоскости параллельной оси z

Значение I определяем из условия, что координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Получаем искомое уравнение в виде:

Уравнение плоскости параллельной оси z

или, умножая на 13 и приводя подобные члены, в виде:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3у + 5z — 4 = 0 и X — у — 2z + 7 = 0 и параллельной оси оу.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка x + 3у + 5z — 4 + + l(x — у — 2z + 7) = 0, преобразуем уравнение к виду (1 + Х)х + (3 -1)у + (5 — 2l)z + (71 — 4) = 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т. е. 3 — l = 0, I = 3. Подставив значение I в уравнение пучка, получаем

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.23. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (2; -1; 4) и N(3; 2; -1) перпендикулярно к плоскости X + у + z — 3 = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через первую из данных точек:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Условие прохождения этой плоскости через вторую точку и условие перпендикулярности определяются равенствами:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Исключая коэффициенты А, В и C из системы уравнений

Уравнение плоскости параллельной оси z

получаем искомое уравнение в виде:

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.24. Из точки P(2; 3; -5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки М1(2; 3; 0), М2(2; 0; -5), М3(0; 3; -5). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, для чего воспользуемся уравнением

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; 5) и перпендикулярной к вектору

Уравнение плоскости параллельной оси z

Решение. Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору:

Уравнение плоскости параллельной оси z

1. Прямая может быть задана уравнениями 2-х плоскостей

Уравнение плоскости параллельной оси z

пересекающихся по этой прямой.

2. Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = аz + с, у = bz + d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проектирующими ее на плоскости хoz и yoz.

3. Если даны две точки M(x1, у1, z1) и N(x2, у2, z2), то уравнения прямой, проходящей через них, будут иметь вид:

Уравнение плоскости параллельной оси z

4. Так называемые канонические уравненияУравнение плоскости параллельной оси z

определяют прямую, проходящую через точку M(x1, у1, z1)

и параллельную вектору S = li + mj + nk. В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

где a, b и g — углы, образованные прямой с осями координат.

Уравнение плоскости параллельной оси z

5. От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

Уравнение плоскости параллельной оси z

6. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими

Уравнение плоскости параллельной оси z
Уравнение плоскости параллельной оси z

деляется по формуле

перпендикулярности двух прямых:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

условие параллельности двух прямых:

Уравнение плоскости параллельной оси z

7. Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):

Уравнение плоскости параллельной оси z

Если величины /1, т, П1 непропорциональны величинам /2, m2, «2, то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

условие параллельности прямой и плоскости: Уравнение плоскости параллельной оси z Уравнение плоскости параллельной оси z Уравнение плоскости параллельной оси zусловие перпендикулярности прямой и плоскости:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси zОпределяется по формуле

Уравнение плоскости параллельной оси z

9. Для определения точки пересечения прямойУравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси zС плоскостью Ах + Ву + Cz + D = 0 нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой x = /t + X0, у = mt + у0, z = nt + z0:

а) если А/ + Вт + Cn ф 0, то прямая пересекает плоскость в одной точке;

б) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D ф 0, то прямая параллельна плоскости;

в) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Пример 1.26. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х — у + 3z — 1 = 0 и 5х + 4у — z — 7 = 0.

Решение. Исключив вначале у, а затем z, получим:

Если разрешим каждое из уравнений относительно х, то будем иметь:

отсюдаУравнение плоскости параллельной оси z

Второй способ: найдем вектор S = li + mj + nk, параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам заданных плоскостей N1 = 2i — j + 3k и N2= 5i + 4 j — k, то за него можно принять векторное произведение векторов N1 и N2.

Уравнение плоскости параллельной оси z

Таким образом, l = -11; m = 17; n = 13.

За точку M1(x1, у1, z1), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью yoz. Т ак как при этом x1 = 0, то координаты y1 и z1 этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:

Решая эту систему, находим у1 = 2; z1 = 1.

Итак, искомая прямая определяется уравнениями:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Мы получили прежний ответ.

Пример 1.27. Построить прямую

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Решение. Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для этого напишем уравнения плоскостей, которыми определена прямая, в отрезках на осях:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.28. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

Уравнение плоскости параллельной оси z

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой: 2х + 3у + z = 0. (Для этой плоскости можно принять А = l; B = m; C = n; D = 0; использовано условие перпендикулярности прямой и плоскости, см. п. 8 введения к настоящему разделу).

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Построив данные плоскости, мы получим искомую прямую как линию пересечения этих плоскостей (рис. 20).

Для определения t имеем уравнение:

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

Остается составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку М (см. п. 3 введения к настоящему разделу):

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.29. В уравнениях прямойУравнение плоскости параллельной оси zОпределить

параметр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой

Уравнение плоскости параллельной оси z, и найти точку их пересечения.

Решение. Для нахождения параметра n используем условие пересечения 2-х прямых:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Следовательно, уравнения пересекающихся прямых таковы: искомой:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Для вычисления координат точки пересечения этих прямых выразим из первого уравнения х и у через z: х = 2z, у = -3z. Подставляя их значения в равенствоУравнение плоскости параллельной оси zИмеемУравнение плоскости параллельной оси z,

отсюда z = 1. Зная z, находим х и у: х = 2z = 2, у = -3z = -3. Следовательно M(2; -3; 1).

Пример 1.30. Прямая задана каноническими уравнениями

Уравнение плоскости параллельной оси z

Составить общие уравнения этой прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Получили общие уравнения прямой, которая теперь задана пересечением 2-х плоскостей, одна из которых 5х — 3у — 13 = 0 параллельна оси Oz, а другая х + 3z — 11 = 0 параллельна оси Oy.

Пример 1.31. Найти координаты точки M, делящей попалам отрезок прямой

Уравнение плоскости параллельной оси z

заключенный между плоскостями хoz и xoy.

Решение. Найдем точку А пересечения прямой с плоскостью хoz, полагая в уравнениях прямой у = 0. Тогда получим:

отсюда x = 2,6; z = 2,8. Тогда А(2,6; 0; 2,8).

Уравнение плоскости параллельной оси zУравнение плоскости параллельной оси z

отсюда X = 11, у = 14, или В(11; 14; 0).

Определяем координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Следовательно, координаты искомой точки М будут: М(6,8; 7; 1,4).

Пример 1.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:

Уравнение плоскости параллельной оси z

которое делим на а ф 0, и пусть b /а = I:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Аналогично, полагая в уравнениях прямой z = 0, найдем координаты точки В пересечения прямой с плоскостью хоу:

В этом пучке нужно выбрать плоскость, параллельную 2-й данной прямой. Из условия параллельности плоскости и прямой, имеем:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Уравнение плоскости параллельной оси z

Подставляя I = 1 в уравнение пучка плоскостей, получим: Уравнение плоскости параллельной оси zТогда искомое уравнение плоскости будет:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Пример 1.33. Дана прямая Уравнение плоскости параллельной оси zНайти ее проекцию на плоскость

Решение. Нужно найти плоскость, которая проходит через данную прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда искомая проекция определится как пересечение этой плоскости с данной.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

Эта плоскость должна быть перпендикулярной к данной плоскости, что можно записать как:

Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости, будет:

Проекция данной прямой на данную плоскость определяется как прямая пересечения плоскостей:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Запишем эту прямую в каноническом виде. Найдем на прямой какую-либо точку. Для этого положим, например х0 = 1, и система запишется в виде:

Уравнение плоскости параллельной оси z

Отсюда, у0 = 1, z0 = 0, т. е. точка M(1; 1; 0) принадлежит искомой прямой.

Направляющий вектор прямой S = (l; m; n) найдем из того условия, что он перпендикулярен нормальным векторам

N1 = (2; -3; -2) и N2 = (5; 2; 2) плоскостей, определяющих искомую прямую.

В качестве S берем векторное произведение векторов N1 и N2 , т. е.

Уравнение плоскости параллельной оси z

Тогда искомое уравнение в каноническом виде будет:

Видео:455. Уравнение плоскости, параллельной осиСкачать

455. Уравнение плоскости, параллельной оси

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Видео:2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Видео:11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Уравнение плоскости параллельной оси z

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

🔥 Видео

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Составить уравнение плоскости. ПримерыСкачать

Составить уравнение плоскости. Примеры

Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным направлениям.Скачать

Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным направлениям.

Анализ общего уравнения плоскостиСкачать

Анализ общего уравнения плоскости

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.Скачать

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.

Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.Скачать

Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"

№534. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120Скачать

№534. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120
Поделиться или сохранить к себе: