Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и через точку A(2, 1, 3).

Так как искомая плоскость проходит через ось Ox, то ее уравнение имеет вид By + Cz = 0. Подставим в это уравнение координаты точки A, через которую плоскость проходит. Получаем B + 3C = 0, откуда B = -3C.

Это значение B подставляем в By + Cz = 0 и получаем, сокращая на C, 3y — z = 0.

Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Задача 22243 3. Составить уравнения плоскости.

Условие

Уравнение плоскости через точку и ось оz

3. Составить уравнения плоскости, проходящей через:

1) ось Oz и точку А(2; -3; 4);
2) точку А параллельно плоскости Оxy.

Решение

Уравнение плоскости через точку и ось оz

1) Значит плоскость проходит через начало координат и имеет вид
Ах+Ву+Сz=0

базисный вектор vector оси Оz имеет координаты
(0;0;1)
Поэтому точка (0;0;1) принадлежит плоскости
Ax+By+Cz=0
A*0+B*0+C*1=0⇒ C=0
Подставляем координаты точки А
2A-3B=0
A=3B/2
Ax+By+Cz=0
(3B/2)x+By=0
Cокращаем на В
3х+2у=0

2)
Нормальный вектор этой плоскости — базисный вектор
vector
Поэтому вектор vector имеет координаты:
vector=(0,0;1)
Значит A=0, B=0, C=1
Уравнение плоскости имеет вид:
z+D=0.
Чтобы найти D подставляем координаты точки А
4+D=0
D=-4

Уравнение плоскости:
z-4=0
О т в е т. а) 3х+2у=0
б) z-4=0

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

1.3.2. Аналитическая геометрия в пространстве

1. Всякая плоскость в координатном пространстве OXYZ имеет векторное уравнение следующего вида: r ¦ п = p. Здесь

r = xi + yj + zk — радиус-вектор текущей точки плоскости

M(x, у, z); п = i cosa + j cos b + k cosg — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, a, b, g — углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат OX, OY, OZ, и р — длина этого перпендикуляра.

При переходе к координатам это уравнение принимает вид xcos a + ycos b + zcos g — p = 0 (нормальное уравнение плоскости).

2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ах + Ву +Cz + D = 0 (общее уравнение). Здесь А, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора

N = Ai + Bj + Ck, перпендикулярного к плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить на нормирующий множитель

Уравнение плоскости через точку и ось оz

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой уравнением Ах + Ву +Cz + D = 0:

А = 0; плоскость параллельна оси ОХ;

В = 0; плоскость параллельна оси О^

C = 0; плоскость параллельна оси ОZ;

D = 0; плоскость проходит через начало координат;

А = В = 0; плоскость перпендикулярна оси ОZ (параллельна плоскости ХОY);

А = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОY (параллельна плоскости ХОZ);

В = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОХ (параллельна плоскости YОZ);

А = D = 0; плоскость проходит через ось ОХ;

В = D = 0; плоскость проходит через ось OY;

C = D = 0; плоскость проходит через ось OZ;

А = В = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOY (z = 0);

А = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOZ (у = 0);

B = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью YOZ (х = 0).

Если в общем уравнении Ах + By +Cz + D = 0 коэффициент D ф 0, то, разделив все члены уравнения на — D, можно уравнение

плоскости привести к видуУравнение плоскости через точку и ось оz^ здесьУравнение плоскости через точку и ось оz

. Это уравнение плоскости называется уравнением в отрезках: в нем а — абсцисса точки пересечения плоскости с осью OX, b и с — соответственно ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями OY и OZ.

4. Угол j между плоскостями А1х + В1У + Qz + D1 = 0 и А2х + В2У +C2z + D2 = 0 определяется по формуле

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Условие параллельности плоскостей:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Условие перпендикулярности плоскостей:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

5. Расстояние от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости, определяемой уравнениемУравнение плоскости через точку и ось оzНаходится по формуле

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки M0 и начала координат относительно данной плоскости: этот знак положителен, если точка M0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и отрицателен, если они расположены по одну сторону от плоскости.

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0)

и перпендикулярной к вектору N = Ai + Bj + Ck, имеет вид А(х — х0) + B(y — у0) + C(z — z0) = 0. При произвольных А, В и C последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую к связке плоскостей, проходящих через точку М0. Его часто поэтому называют уравнением связки плоскостей.

7. Уравнение А1х + B1y +C1z + D1 + А(А2х + B^y +C2z + D2) = 0 при произвольном I определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую, по которой пересекаются плоскости, определяемые уравнениями

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями I и II, параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(r 1Х M1(Jj), M3(r 3) (Л = x1i + yd + z1k; r2 = x2i + У2 j + z2k; r3 = x3i + y3 j + z3 к), проще всего найти из условия компланарности векторов r — T1, r2 — rl, r3 — rl, где r = xi + yj+zk — радиус-вектор текущей точки искомой плоскости M:

или в координатной форме:

Уравнение плоскости через точку и ось оzУравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + у + 5z — 1 = 0, 2x + 3у — z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Значение I определяем из условия, что координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Получаем искомое уравнение в виде:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

или, умножая на 13 и приводя подобные члены, в виде:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3у + 5z — 4 = 0 и X — у — 2z + 7 = 0 и параллельной оси оу.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка x + 3у + 5z — 4 + + l(x — у — 2z + 7) = 0, преобразуем уравнение к виду (1 + Х)х + (3 -1)у + (5 — 2l)z + (71 — 4) = 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т. е. 3 — l = 0, I = 3. Подставив значение I в уравнение пучка, получаем

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.23. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (2; -1; 4) и N(3; 2; -1) перпендикулярно к плоскости X + у + z — 3 = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через первую из данных точек:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Условие прохождения этой плоскости через вторую точку и условие перпендикулярности определяются равенствами:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Исключая коэффициенты А, В и C из системы уравнений

Уравнение плоскости через точку и ось оz

получаем искомое уравнение в виде:

Уравнение плоскости через точку и ось оzУравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.24. Из точки P(2; 3; -5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки М1(2; 3; 0), М2(2; 0; -5), М3(0; 3; -5). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, для чего воспользуемся уравнением

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; 5) и перпендикулярной к вектору

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Решение. Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

1. Прямая может быть задана уравнениями 2-х плоскостей

Уравнение плоскости через точку и ось оz

пересекающихся по этой прямой.

2. Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = аz + с, у = bz + d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проектирующими ее на плоскости хoz и yoz.

3. Если даны две точки M(x1, у1, z1) и N(x2, у2, z2), то уравнения прямой, проходящей через них, будут иметь вид:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

4. Так называемые канонические уравненияУравнение плоскости через точку и ось оz

определяют прямую, проходящую через точку M(x1, у1, z1)

и параллельную вектору S = li + mj + nk. В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

где a, b и g — углы, образованные прямой с осями координат.

Уравнение плоскости через точку и ось оz

5. От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

6. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими

Уравнение плоскости через точку и ось оz
Уравнение плоскости через точку и ось оz

деляется по формуле

перпендикулярности двух прямых:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

условие параллельности двух прямых:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

7. Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Если величины /1, т, П1 непропорциональны величинам /2, m2, «2, то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

условие параллельности прямой и плоскости: Уравнение плоскости через точку и ось оz Уравнение плоскости через точку и ось оz Уравнение плоскости через точку и ось оzусловие перпендикулярности прямой и плоскости:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оzОпределяется по формуле

Уравнение плоскости через точку и ось оz

9. Для определения точки пересечения прямойУравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оzС плоскостью Ах + Ву + Cz + D = 0 нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой x = /t + X0, у = mt + у0, z = nt + z0:

а) если А/ + Вт + Cn ф 0, то прямая пересекает плоскость в одной точке;

б) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D ф 0, то прямая параллельна плоскости;

в) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Пример 1.26. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х — у + 3z — 1 = 0 и 5х + 4у — z — 7 = 0.

Решение. Исключив вначале у, а затем z, получим:

Если разрешим каждое из уравнений относительно х, то будем иметь:

отсюдаУравнение плоскости через точку и ось оz

Второй способ: найдем вектор S = li + mj + nk, параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам заданных плоскостей N1 = 2i — j + 3k и N2= 5i + 4 j — k, то за него можно принять векторное произведение векторов N1 и N2.

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Таким образом, l = -11; m = 17; n = 13.

За точку M1(x1, у1, z1), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью yoz. Т ак как при этом x1 = 0, то координаты y1 и z1 этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:

Решая эту систему, находим у1 = 2; z1 = 1.

Итак, искомая прямая определяется уравнениями:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Мы получили прежний ответ.

Пример 1.27. Построить прямую

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Решение. Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для этого напишем уравнения плоскостей, которыми определена прямая, в отрезках на осях:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.28. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой: 2х + 3у + z = 0. (Для этой плоскости можно принять А = l; B = m; C = n; D = 0; использовано условие перпендикулярности прямой и плоскости, см. п. 8 введения к настоящему разделу).

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Построив данные плоскости, мы получим искомую прямую как линию пересечения этих плоскостей (рис. 20).

Для определения t имеем уравнение:

Уравнение плоскости через точку и ось оzУравнение плоскости через точку и ось оz

Остается составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку М (см. п. 3 введения к настоящему разделу):

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.29. В уравнениях прямойУравнение плоскости через точку и ось оzОпределить

параметр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой

Уравнение плоскости через точку и ось оz, и найти точку их пересечения.

Решение. Для нахождения параметра n используем условие пересечения 2-х прямых:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Следовательно, уравнения пересекающихся прямых таковы: искомой:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Для вычисления координат точки пересечения этих прямых выразим из первого уравнения х и у через z: х = 2z, у = -3z. Подставляя их значения в равенствоУравнение плоскости через точку и ось оzИмеемУравнение плоскости через точку и ось оz,

отсюда z = 1. Зная z, находим х и у: х = 2z = 2, у = -3z = -3. Следовательно M(2; -3; 1).

Пример 1.30. Прямая задана каноническими уравнениями

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Составить общие уравнения этой прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Получили общие уравнения прямой, которая теперь задана пересечением 2-х плоскостей, одна из которых 5х — 3у — 13 = 0 параллельна оси Oz, а другая х + 3z — 11 = 0 параллельна оси Oy.

Пример 1.31. Найти координаты точки M, делящей попалам отрезок прямой

Уравнение плоскости через точку и ось оz

заключенный между плоскостями хoz и xoy.

Решение. Найдем точку А пересечения прямой с плоскостью хoz, полагая в уравнениях прямой у = 0. Тогда получим:

отсюда x = 2,6; z = 2,8. Тогда А(2,6; 0; 2,8).

Уравнение плоскости через точку и ось оzУравнение плоскости через точку и ось оz

отсюда X = 11, у = 14, или В(11; 14; 0).

Определяем координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Следовательно, координаты искомой точки М будут: М(6,8; 7; 1,4).

Пример 1.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

которое делим на а ф 0, и пусть b /а = I:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Аналогично, полагая в уравнениях прямой z = 0, найдем координаты точки В пересечения прямой с плоскостью хоу:

В этом пучке нужно выбрать плоскость, параллельную 2-й данной прямой. Из условия параллельности плоскости и прямой, имеем:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Подставляя I = 1 в уравнение пучка плоскостей, получим: Уравнение плоскости через точку и ось оzТогда искомое уравнение плоскости будет:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Пример 1.33. Дана прямая Уравнение плоскости через точку и ось оzНайти ее проекцию на плоскость

Решение. Нужно найти плоскость, которая проходит через данную прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда искомая проекция определится как пересечение этой плоскости с данной.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

Эта плоскость должна быть перпендикулярной к данной плоскости, что можно записать как:

Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости, будет:

Проекция данной прямой на данную плоскость определяется как прямая пересечения плоскостей:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Запишем эту прямую в каноническом виде. Найдем на прямой какую-либо точку. Для этого положим, например х0 = 1, и система запишется в виде:

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Отсюда, у0 = 1, z0 = 0, т. е. точка M(1; 1; 0) принадлежит искомой прямой.

Направляющий вектор прямой S = (l; m; n) найдем из того условия, что он перпендикулярен нормальным векторам

N1 = (2; -3; -2) и N2 = (5; 2; 2) плоскостей, определяющих искомую прямую.

В качестве S берем векторное произведение векторов N1 и N2 , т. е.

Уравнение плоскости через точку и ось оz

Тогда искомое уравнение в каноническом виде будет:

🎬 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).

455. Уравнение плоскости, параллельной осиСкачать

455. Уравнение плоскости, параллельной оси

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Уравнение плоскости через точку и нормальСкачать

Уравнение плоскости через точку и нормаль

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.Скачать

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

Метод координат Урок №2 2 Нахождение уравнения плоскости по трем точкамСкачать

Метод координат  Урок №2 2  Нахождение уравнения плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскости

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

8. Плоскость решение задачСкачать

8. Плоскость решение задач
Поделиться или сохранить к себе: