Уравнение плоскости через ось oz и точку

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид

(так как плоскость по условию задачи параллельна оси Oz, то в ее уравнении отсутствует координата z).

Если плоскость проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляя координаты точек A и B в уравнении (1), получим два уравнения:

Уравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точку

Для определения коэффициентов A, B и D имеем систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Составляем матрицу коэффициентов этих уравнений

Уравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точку

Тогда по формулам (25) получаем

Уравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точкуУравнение плоскости через ось oz и точку

Подставляя найденные значения A, B и C в (1), получим

После сокращения на t уравнение искомой плоскости приобретает вид

Проверьте правильность решения подстановкой в полученное уравнение сначала координат точки A, а потом координат точки B. Каждый раз в левой части должен получиться ноль.

Видео:Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).

Уравнения плоскости: общее, через три точки, нормальное

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Плоскость, общее уравнение плоскости

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат — Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Если известна какая-нибудь точка Уравнение плоскости через ось oz и точкуплоскости P и какой-нибудь вектор Уравнение плоскости через ось oz и точкунормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор Уравнение плоскости через ось oz и точкуперпендикулярен вектору Уравнение плоскости через ось oz и точку(рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Вектор Уравнение плоскости через ось oz и точкузадан по условию. Координаты вектора Уравнение плоскости через ось oz и точкунайдём по формуле Уравнение плоскости через ось oz и точку:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов Уравнение плоскости через ось oz и точку, выразим скалярное произведение Уравнение плоскости через ось oz и точкув координатной форме:

Уравнение плоскости через ось oz и точку. (1)

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, Уравнение плоскости через ось oz и точку, т.е. равенство (1) нарушается.

Перед решением задач может пригодиться урок о декартовой системе координат. Также хорошо бы владеть материалом о скалярном произведении векторов.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнение плоскости через ось oz и точкуи перпендикулярной вектору Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора Уравнение плоскости через ось oz и точку, а числа x 0 , y 0 и z 0 — координаты точки Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

Уравнение плоскости через ось oz и точку(2)

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A(0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B(0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C(2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точкуопределяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точкуопределяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали Уравнение плоскости через ось oz и точкуэтой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точкупараллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точкупараллельна оси Oz.

3. При A = D = 0 уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точкуопределяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точкупроходит через ось Oy, а плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точкучерез ось Oz.

4. При A = B = 0 уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точкуопределяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точкупараллельна плоскости yOz, а плоскость Уравнение плоскости через ось oz и точку— плоскости xOz.

5. При A = B = D = 0 уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точку(или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 — координатную плоскость yOz.

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид Уравнение плоскости через ось oz и точку. Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка Уравнение плоскости через ось oz и точкупринадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (Уравнение плоскости через ось oz и точку). Смотрим ещё раз на координаты точки:

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

Подставив найденное значение A в уравнение Уравнение плоскости через ось oz и точку, получим

Уравнение плоскости через ось oz и точкуили Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки Уравнение плоскости через ось oz и точку, Уравнение плоскости через ось oz и точкуи Уравнение плоскости через ось oz и точку, не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы Уравнение плоскости через ось oz и точкуи Уравнение плоскости через ось oz и точкуне коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости Уравнение плоскости через ось oz и точкулежит в одной плоскости с точками Уравнение плоскости через ось oz и точку, Уравнение плоскости через ось oz и точкуи Уравнение плоскости через ось oz и точкутогда и только тогда, когда векторы Уравнение плоскости через ось oz и точку, Уравнение плоскости через ось oz и точкуи Уравнение плоскости через ось oz и точкукомпланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

Уравнение плоскости через ось oz и точку(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

Уравнение плоскости через ось oz и точку, Уравнение плоскости через ось oz и точку, Уравнение плоскости через ось oz и точку

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Получили общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости через ось oz и точкуили после деления на -2:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

Уравнение плоскости через ось oz и точку,

где Уравнение плоскости через ось oz и точку— направляющие косинусы нормали плоскости, Уравнение плоскости через ось oz и точку— расстояние от начала координат до плоскости.

Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости — в трёх).

Пусть M — какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения Уравнение плоскости через ось oz и точкуточки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты Уравнение плоскости через ось oz и точкуэтой точки.

Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.

Уравнение плоскости через ось oz и точку,

так как расстояние не может быть отрицательным числом.

Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости через ось oz и точку

приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена Уравнение плоскости через ось oz и точкув общем уравнении плоскости.

Пример 6. Привести уравнение плоскости Уравнение плоскости через ось oz и точкук нормальному виду.

Решение. Вычислим нормирующий множитель:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3) , а плоскость задана общим уравнением Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:

Уравнение плоскости через ось oz и точку.

Вычислим отклонение точки от плоскости:

Уравнение плоскости через ось oz и точку

Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

Задача 22243 3. Составить уравнения плоскости.

Условие

Уравнение плоскости через ось oz и точку

3. Составить уравнения плоскости, проходящей через:

1) ось Oz и точку А(2; -3; 4);
2) точку А параллельно плоскости Оxy.

Решение

Уравнение плоскости через ось oz и точку

1) Значит плоскость проходит через начало координат и имеет вид
Ах+Ву+Сz=0

базисный вектор vector оси Оz имеет координаты
(0;0;1)
Поэтому точка (0;0;1) принадлежит плоскости
Ax+By+Cz=0
A*0+B*0+C*1=0⇒ C=0
Подставляем координаты точки А
2A-3B=0
A=3B/2
Ax+By+Cz=0
(3B/2)x+By=0
Cокращаем на В
3х+2у=0

2)
Нормальный вектор этой плоскости — базисный вектор
vector
Поэтому вектор vector имеет координаты:
vector=(0,0;1)
Значит A=0, B=0, C=1
Уравнение плоскости имеет вид:
z+D=0.
Чтобы найти D подставляем координаты точки А
4+D=0
D=-4

Уравнение плоскости:
z-4=0
О т в е т. а) 3х+2у=0
б) z-4=0

📸 Видео

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

455. Уравнение плоскости, параллельной осиСкачать

455. Уравнение плоскости, параллельной оси

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскости

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

Уравнение плоскости через точку и нормальСкачать

Уравнение плоскости через точку и нормаль

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.Скачать

Частные случаи уравнения плоскости. 1 часть. 11 класс.

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Как построить точку, симметричную точке А(5;-3) относительно оси Оу Как решить задачу по геометрииСкачать

Как построить точку, симметричную точке А(5;-3) относительно оси Оу Как решить задачу по геометрии
Поделиться или сохранить к себе: