Уравнение плоскости через 2 направляющих вектора (7 видео)

Пункт 2. Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка и 2 направляющих вектора ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Одного направляющего вектора недостаточно, ведь тогда плоскость может вращаться вокруг него, то есть плоскость не будет однозначно фиксирована.

Обозначим координаты направляющих, например, так: и .

Первый способ. Можно найти нормаль к плоскости как векторное произведение 2 направляющих векторов и далее искать уравнение плоскости по точке и нормали, методом, рассмотренным в пункте 1. Но это будет решение в 2 шага.

Однако можно также получить уравнение плоскости сразу, без вычисления векторного произведения:

Второй способ.Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов , образует линейно-зависимую систему (ЛЗС), то есть эти векторы не образуют параллелепипед, а лежат в одной плоскости.

Уравнение плоскости через 2 направляющих вектора

Тогда смешанное произведение 0, то есть определитель, составленный из них, равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z. А если начальная точка (0,0,0), то уравнение будет вычисляться с помощью такого определителя: .

Пример.Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,2,3) и (1,1,1).

Решение. . Можем разложить по первой строке: = .

Для удобства, чтобы 1-й коэффициент был положителен, можно домножить на . Ответ: .

Замечание.Векторы можно поменять местами, и это не влияет на уравнение плоскости. Неважно, какой из них считается первым, а какой вторым. Если все миноры сменят знак, то из уравнения просто можно будет вынести коэффициент .

Замечание. Построение уравнения плоскости по трём точкам. Если дано 3 точки, достаточно взять 2 направляющих и (пусть это и будут те самые ) и затем действовать так, как сказано ранее.

Лекция № 7. 14. 10. 2016

Пункт 3. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дано уравнение плоскости и произвольная точка .

Возможно, она лежит в плоскости (тогда расстояние по формуле автоматически получится 0). Но в общем случае она не принадлежит плоскости. Мы не знаем, где основание перпендикуляра, более того, его и не потребуется искать.

Возьмём произвольную точку в плоскости. Сделать это просто: присвоим какие-нибудь значения 2 переменным из трёх, и вычислим третью. Например, как правило, задать x,y и вычислить z.

Итак, выбрали какую-то точку в плоскости. Отрезок между и не перпендикулярен плоскости, но его проекция на нормаль — это как раз и есть кратчайшее расстояние до плоскости (d).

= =

Если подставить в уравнение плоскости (в числителе) точку, лежащую в плоскости, то получим 0. В общем же случае, результат подстановки некоторой точки, не лежащей в плоскости, в уравнение плоскости, характеризует удаление от плоскости.

Пункт 4. Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны 2 плоскости.

Если рассматривать это как систему уравнений, то видим, что 2 уравнения и 3 переменных, то есть по меньшей мере одна свободная переменная. Это означает, что если решения есть, то их бесконечно много. Это и есть все точки, принадлежащие прямой, являющейся пересечением плоскостей.

Чтобы найти пересечение, достаточно решить систему уравнений, где 2 уравнения — это и есть уравнения этих плоскостей.

Если то плоскости совпадают, так как уравнения полностью пропорциональны.

Если то плоскости параллельны. Дело в том, что если из одного уравнения вычесть кратное второму, то получим все 0 коэффициенты при x, y, z, и останется противоречивое уравнение (некая ненулевая константа = 0).

Если пропорциональность нарушена среди каких-то из первых 3 дробей, то плоскости пересекаются по прямой.

Пункт 5. Угол между плоскостями и метод его нахождения.

Можно искать как угол между нормалями

(показаны красным). Их координаты известны — это

. В то же время известно, что

. Тогда

Прямая в пространстве.

Для прямой на плоскости и для плоскости в пространстве есть однозначно определённое направление нормали (перпендикуляра) т.к. там размерности рассматриваемых многообразий 1 и 2 (2 и 3 соответственно), то есть «не хватает» одной размерности. А для прямой в пространстве не хватает 2 размерностей (1 и 3). Это совершенно новый случай, здесь нельзя однозначно задать перпендикуляр. Есть целая плоскость, перпендикулярная прямой, то есть бесконечное число нормалей. А вот направляющий вектор однозначно определён (с точность до его длины, конечно). Это проявится в том, что мы получим другой тип уравнений.

Содержание

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости
Определение уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
💡 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :

где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и

Составляем уравнение (4.14):

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Видео:5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Видео:Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.