Уравнение первой степени с двумя неизвестными 7 класс колягин

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№45 - Уравнения первой степени с двумя неизвестными.)Скачать

Презентации к урокам алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя неизвестными».
презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему

Презентации сделаны к урокам алгебры в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя неизвестными». Эти презентации могут быть как частью урока, так и монтировать целый урок. Эти презентации мною использованы при обучении детей с ослабленным здоровьем на дому очно и в дистанционном режиме.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№46 - Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.)Скачать

Подписи к слайдам:

Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Урок 1 Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений Цели : ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Уравнение и его свойства Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных ax=b Линейное уравнение с одной переменной Л ин ейное уравнение с двумя переменными ax+by =c а x + b y = c , где а, b, c – заданные числа. Коэффициенты Свободный член

Из истории уравнений Уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами , имеет бесчисленное множество реше — ний и является неопределенным. Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений. Диофант из Александрии ( 3 век )

Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному 12х – 5у = 12х – 7 = 5у если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному 9х + 15у = 3 Ι 🙁 — 3 ) -3х — 5у = — 1 7

Задание 1. 1.1. Из линейного уравнения с двумя неизвестными 2х – 8у = — 10 выразите переменную х: 1.2. Из линейного уравнения с двумя неизвестными 3х – 2у = 5 выразите переменную у: 3х – 5 = 2у Ι : 2 2х = 8у – 10 Ι : 2, Х = 4у — 5 3х — 5 2 = у

Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченна я пара чисел ( х ; у ), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.

Задание 2 Найдите все пары ( х ; у ) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения. 2.1. 13х + 4у =55 Ответ: ( 3 ; 4) 2.2. 5х + 7у =59 Ответ: (2 ; 7) (9 ; 2)

Система уравнений и её решение Определение Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называются два уравнения, объединенные фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что эти уравнения должны быть решены одновременно. а 1 х + b 1 y = c 1, а 2 х + b 2 y = c 2 ; В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а 1 , b 1 , c 1 , а 2 , b 2 , c 2 — Заданные числа, а х и у — неизвестные

Из истории систем уравнений Задачи на составление и решение систем уравнений встречаются в вавилонских и египетских текстах II тыся — челетия до н. э., в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм ( 1646 – 1716 )

Например, в системе а 1 = 1, b 1 = -1, с 1 = 2; а 2 = 3, b 2 = -2, с 2 = 9. Задание 3. (Устно.) Проверьте, являются ли числа х = 4 , у = 3 решениями системы Решение: х – у = 2, 3х – 2у = 9. 2,5 ·4 – 3 · 3 =1, 5·4 – 6 · 3 = 2. 2,5х – 3у = 1, 5х – 6у = 2. Ответ: числа х = 4 , у = 3 являются решениями системы

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что их нет

Задание 4. Если в системе уравнений 6х – 21 у = 9, 6х + 2у = 4. 2х – 7у = 3, 3х + у = 2. уравнять модули коэффициентов при х , то система примет вид 2х – 7у = 3 Ι · 3 , 3х + у = 2 Ι · 2 . 2 · 3х – 7 · 3у = 3 · 3, 3 · 2х + 2у = 2 · 2; 6х – 21 у = 9, 6х + 2у = 4. РЕШЕНИЕ

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 33 № 615(1), 616(1), 617(1), 619(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 33, № 3, 4(1), 5(1), 14(1). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 33 ( стр. 90) № 4(1), 7.

Спасибо всем за работу

Предварительный просмотр:

Видео:7 класс. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.Скачать

Подписи к слайдам:

Способы решения систем уравнений а₁ х + b ₁ y = c ₁, а ₂ х + b₂ y = c₂ ; где а₁ , b ₁ , c ₁ х , у -неизвестные а₂ , b ₂ , c ₂ –заданные числа Способ подстановки Способ сравнения Способ сложения Графический способ

Способ подстановки Цель: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Из истории : Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В 17-18 вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Гаусс. Из истории : Из истории : Из истории : Из истории : Пьер Ферма Пьер Ферма Исаак Ньютон Карл Фридрих Гаусс

Решение системы способом подстановки у — 2х=4, 7х — у =1; у=2х+4, 7х — у=1; у=2х+4, 7х — (2х+4)=1; у=2х+4, х=1; у=6, х=1. 7х — 2х — 4 = 1; 5х = 5; х=1 ; Ответ: ( 1 ; 6) Выразим у через х Подставим Решим уравнение Подставим Выразим у через х

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной Записать ответ: ( х ; у ) Способ подстановки ( алгоритм )

Решите систему уравнений способом подстановки 3х + 2у=27, х + 5у =35; 1).выразим из второго уравнения х , подставим в первое уравнение 3( 35- 5у) + 2у=27, Х = 35 – 5у; 2). решим первое уравнение 3 (35 – 5у) + 2у = 27, 105 – 15у + 2у = 27, -13у = — 78, У = 6 3 ). Найдем х х = 35 -5 · 6 = 5 х = 5 Ответ : ( 5; 6 )

Решите задачу. Сумма двух чисел равна 48. Первое число больше второго в 2 раза. Найдите эти числа . Решение. 1). Пусть х — первое число, а у – второе число. 2). Сумма чисел: х + у = 48. 3). Первое число больше второго в 2 раза: х = 2у. 4). Составим систему уравнений: х + у = 48, х = 2у. 5). Решим систему способом подстановки. Подставим х = 2у в первое уравнение. 2у + у = 48, у = 16 6). Найдем первое число: х = 32. Ответ: искомые числа 16 и 32.

Задание. Заполните пропуски. Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х — 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . . уравнение системы 3 х — 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . уравнение системы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х — 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . . уравнение системы 3 х — 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . уравнение системы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х — 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . . уравнение системы 3 х — 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . уравнение системы

Проверьте правильность заполнения таблицы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х — 3у = 5. Выразить …… х… .. из …… 1 … … уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . 2. . уравнение системы 3 х — 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить …… у ….. из …… 2 … … уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) . 1 . . уравнение системы

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 34 № 627(1 ), 628(4), 629(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 34, № 6 . 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 34 ( стр. 92) № 4(1), 6(1).

Видео:Уравнение первой степени с двумя неизвестнымиСкачать

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x 2 + z 2 = 7x 2 + z 2 = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

при x = 4 получаем:

при x = –4 получаем:

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Решите уравнение: x – 2y = 5

Выразим переменную x через переменную y:

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Видео:Алгебра.7 класс (Урок№42 - Уравнения первой степени с одним неизвестным.)Скачать

Урок + презентация по алгебре на тему «Уравнения первой степени с двумя неизвестными.» ( 7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ коспект урока.doc

План – конспект урока алгебры в 7 классе.

Тема урока: Уравнения первой степени с двумя неизвестными.(слайд 1)

Автор учебника: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными, научить составлять уравнение по условию задачи, научить узнавать, является ли пара чисел решением уравнения.

Развивающие: развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала; умения анализировать, сопоставлять; развитие наблюдательности, внимания, математической речи учащихся; формирование математической культуры, потребности приобретения знаний.

Воспитательные: воспитание самостоятельности, активности, заинтересованности учащихся на всех этапах урока; формирование таких качеств личности как организованность, ответственность, аккуратность; формирование навыков само- и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку (Приложение 1).

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

а) Фронтальный опрос (слайд 2):

1) Какое равенство называют уравнением?

2) Что называют корнем уравнения?

3) Что значит решить уравнение?

4) Сколько корней может иметь уравнение?

5) Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.

6) Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?

б) Задание классу: решить старинную задачу (слайд 3)

Задача о жизни Диофанта.

Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?

Задача сводится к решению уравнения : + + ( Ответ: 84 года).

Чем же знаменит Диофант?

3. Историческая справка. (слайд 4)

Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что же это за уравнения?

Рассмотрим шутливую задачу. (слайд 5)

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Какое бы вы составили уравнение? (Обсуждение с классом). Необходимо ввести две переменные: х – число инопланетян, y- число питомцев, тогда получим уравнение 3x+2y=15.

Ребята, давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев (слайд 6) ? 3х+2y=15. Выразим y через х: y= и далее воспользуемся методом перебора: при х=1, y=6, при х=2, y , при х=3, y=3. Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

4. Изучение нового материала.

а ) Работа с учебником. Предложить учащимся рассмотреть Задачу 1 на стр. 214.

Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. (слайд 7). Привести примеры линейных уравнений с двумя переменными. Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными (слайд 8).

б) Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (учащиеся дают определение).

в) Работа с учебником: Задача 2 стр. 215.

Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными. (Слайд 9)

г) Физкультминутка для глаз.

д) Работа в парах. (слайд 10).

Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов):

1) x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5, 4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8.

е) Работа по учебнику.

№ 615 (1; 3), № 616 (2; 4): 2) y = , пары решений ( x ; ), где x – любое число ; 4) y = , пары решений ( x ; ), где x – любое число, № 617(1; 3):1) x = ;(2;3), 3) y = ; (1; 5), (3; 2).

5. Самостоятельная работа (слайд 11):

I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:

«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида получится?» Решите задачу методом подбора.

II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:

« В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора.

(слайд 12) Самопроверка:

I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы и 2 букета по 5 роз.

II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.

Обобщение пройденного материала на уроке.

а) какие уравнения называются линейными с двумя переменными?

б) что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

в) как записывается это решение?

7 . Домашнее задание.§33 (до задачи 3), №615 (2), № 616 (1;3), № 617 (2; 4),

дополнительно, для сильных учащихся, №625. (слайд 14)

IV. Список литературы

1. Факультативный курс по математике: учеб. Пособие для 7-9 кл. сред. шк./ сост. И. Н. Никольская. – М.: Просвещение, 1991.

2. «Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика» (ПС) – 2001, -№21, с. 28-32.

3. «Линейные уравнения с двумя переменными» А. Пономаренко/ «Математика» (ПС) – 2002, -№6, с. 27-32.

4. «Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика» (ПС) -2001,-№22, стр. 25-28.

5. «Задачи с целыми числами» Е. Галкин/ «Математика» (ПС)-2000,-№6, стр.4-6.

6. «Энциклопедия для детей» Т.11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2002, стр. 163-174.

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Урок алгебры в 7 классе
подготовила :
Ханина Марина Федоровна
учитель математики
МБОУ «Гимназия №1»

Фронтальный опрос
1)Какое равенство называют уравнением?
2)Что называют корнем уравнения?
3)Что значит решить уравнение?
4)Сколько корней может иметь уравнение?
5)Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.
6)Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?

Задача о жизни Диофанта.
Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?
Ответ: 84 года.

Историческая справка
Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Уравнение :3x+2y=15.

Пусть х – количество инопланетян, у – количество питомцев.
Тогда у всех питомцев по 2у ног, а у всех инопланетян -3х ног.
Составим уравнение:
3х + 2у = 15.
Заметим, что количество инопланетян и питомцев не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и
у=(15 – 3х)/2должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 15 – 3х без остатка делилось на 2.
Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 1, тогда у = 6 и при х=3, тогда у = 3.

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев или 3 инопланетянина и 3 питомца.

Определение.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида
ах+by=c,
в котором a, b, c — заданные числа, причем хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю .
Числа a и b называют коэффициентами , а число c — свободным членом.

Какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными :
а) 6х²=36; б)2х-5у=9;

д) х/5- у/4=3, е) -7x +xy=45

Определение.
Решением уравнения с двумя неизвестными x и y называется упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.
Если ax+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.
Если ax+0*y=c и a‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где y – любое число.
Если 0*x+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.
Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными?

Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов):
x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5,

I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида получится?» Решите задачу методом подбора.

II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
« В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора.

Самопроверка:
I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы или 2 букета по 5 роз.

II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.

а) Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
б) Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
в) Как записывается это решение?

Домашнее задание
§33 (до задачи 3),
№615 (2), № 616 (1;3), № 617 (2; 4),
дополнительно, для сильных учащихся, №625.

Список используемой литературы:
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- М.: Просвещение, 1999.
Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012.
3. Ресурсы Интернет

Краткое описание документа:

План – конспект урока алгебры в 7 классе.

Тема урока: Уравнения первой степени с двумя неизвестными. (слайд 1)

Автор учебника: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными, научить составлять уравнение по условию задачи, научить узнавать, является ли пара чисел решением уравнения.

Развивающие: развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала; умения анализировать, сопоставлять; развитие наблюдательности, внимания, математической речи учащихся; формирование математической культуры, потребности приобретения знаний.

Воспитательные: воспитание самостоятельности, активности, заинтересованности учащихся на всех этапах урока; формирование таких качеств личности как организованность, ответственность, аккуратность; формирование навыков само- и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку (Приложение 1).

Актуализация прежних знаний.

а) Фронтальный опрос (слайд 2):

Какое равенство называют уравнением?

Что называют корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Сколько корней может иметь уравнение?

Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.

Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?

б) Задание классу: решить старинную задачу (слайд 3)

Задача о жизни Диофанта.

Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?

Задача сводится к решению уравнения : + + ( Ответ: 84 года).

Чем же знаменит Диофант?

Историческая справка. (слайд 4)

Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что же это за уравнения?

Рассмотрим шутливую задачу. (слайд 5)

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Какое бы вы составили уравнение? (Обсуждение с классом). Необходимо ввести две переменные: х – число инопланетян, y- число питомцев, тогда получим уравнение 3x+2y=15.

Ребята, давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев (слайд 6) ? 3х+2y=15. Выразим y через х: y= и далее воспользуемся методом перебора: при х=1, y=6, при х=2, y , при х=3, y=3. Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Изучение нового материала.

а ) Работа с учебником. Предложить учащимся рассмотреть Задачу 1 на стр. 214.

Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. (слайд 7). Привести примеры линейных уравнений с двумя переменными . Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными (слайд 8).

б) Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (учащиеся дают определение).

в) Работа с учебником: Задача 2 стр. 215.

Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными . (Слайд 9)

г) Физкультминутка для глаз.

д) Работа в парах. (слайд 10).

Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов):

x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5, 4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8.

е) Работа по учебнику.

№ 615 (1; 3), № 616 (2; 4): 2) y = , пары решений ( x ; ), где x – любое число ; 4) y = , пары решений ( x ; ), где x – любое число, № 617(1; 3):1) x = ;(2;3), 3) y = ; (1; 5), (3; 2).

Самостоятельная работа (слайд 11):

I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:

«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида получится?» Решите задачу методом подбора.

II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:

« В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора.

(слайд 12) Самопроверка:

I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы и 2 букета по 5 роз.

II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.

Обобщение пройденного материала на уроке.

а) какие уравнения называются линейными с двумя переменными?

б) что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

в) как записывается это решение?

7 . Домашнее задание.§33 (до задачи 3), №615 (2), № 616 (1;3), № 617 (2; 4),

дополнительно, для сильных учащихся, №625. (слайд 14)

IV. Список литературы

Факультативный курс по математике: учеб. Пособие для 7-9 кл. сред. шк./ сост. И. Н. Никольская. – М.: Просвещение, 1991.

«Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика» (ПС) – 2001, -№21, с. 28-32.

«Линейные уравнения с двумя переменными» А. Пономаренко/ «Математика» (ПС) – 2002, -№6, с. 27-32.

«Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика» (ПС) -2001,-№22, стр. 25-28.

«Задачи с целыми числами» Е. Галкин/ «Математика» (ПС)-2000,-№6, стр.4-6.

«Энциклопедия для детей» Т.11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2002, стр. 163-174.

Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Урок алгебры в 7 классе подготовила : Ханина Марина Федоровна учитель математики МБОУ «Гимназия №1» Фронтальный опрос 1)Какое равенство называют уравнением? 2)Что называют корнем уравнения? 3)Что значит решить уравнение? 4)Сколько корней может иметь уравнение? 5)Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений. 6)Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения? Задача о жизни Диофанта. Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант? Ответ: 84 года. Историческая справка Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев? Уравнение :3x+2y=15. Задача Решение задачи: Пусть х – количество инопланетян, у – количество питомцев. Тогда у всех питомцев по 2у ног, а у всех инопланетян -3х ног. Составим уравнение: 3х + 2у = 15. Заметим, что количество инопланетян и питомцев не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(15 – 3х)/2должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 15 – 3х без остатка делилось на 2. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 1, тогда у = 6 и при х=3, тогда у = 3. Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев или 3 инопланетянина и 3 питомца. Определение. Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида ах+by=c, в котором a, b, c — заданные числа, причем хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю . Числа a и b называют коэффициентами , а число c — свободным членом. Какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными : а) 6х²=36; б)2х-5у=9; в)7х+3у³=12; г) ½х+⅓у=6, д) х/5- у/4=3, е) -7x +xy=45 Определение. Решением уравнения с двумя неизвестными x и y называется упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство. Если ax+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары , где х – любое число. Если ax+0*y=c и a‡ 0, то решениями уравнения являются пары , где y – любое число. Если 0*x+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары , где х – любое число. Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными? Работа в парах. Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов): x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5, 4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8. Самостоятельная работа . I уровень. Составьте уравнение для решения задачи: «Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида получится?» Решите задачу методом подбора. II уровень. Составьте уравнение для решения задачи: « В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора. Самопроверка: I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы или 2 букета по 5 роз. II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток. Итог урока а) Какие уравнения называются линейными с двумя переменными? б) Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными? в) Как записывается это решение? Домашнее задание §33 (до задачи 3), №615 (2), № 616 (1;3), № 617 (2; 4), дополнительно, для сильных учащихся, №625. Список используемой литературы: Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- М.: Просвещение, 1999. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012. 3. Ресурсы Интернет

💡 Видео

Проверь себя - Алгебра 7 класс КолягинСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

№ 1-100 - Алгебра 7 класс КолягинСкачать

Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений.Скачать

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Алгебра 7 класс (Урок№43 - Решение линейных уравнений с одним неизвестным.)Скачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Вводные упражнения - Алгебра 7 класс КолягинСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Алгебра 7 класс Уравнения первой степени с двумя неизвестнымиСкачать

7 класс, 37 урок, Системы двух линейных уравнения с двумя переменными. Основные понятияСкачать