Видео:Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Уравнение перпендикулярной прямой
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .
Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой
В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой
Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.
Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .
Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.
Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .
По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .
Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .
Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .
Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.
После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .
Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Решение примеров
Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.
Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .
Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .
Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0
Полученное уравнение является искомым.
Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .
Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.
Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Ответ: x 2 = y — 1 .
Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .
Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .
Видео:10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать
Общее уравнение прямой
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).
Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.
Пусть в координатной плоскости задана некоторая прямая m.
Построим отрезок AB так, что AB⊥m и AB∩m=F, AF=BF (то есть прямая m — серединный перпендикуляр к AB).
Отметим на прямой m произвольную точку M(x;y).
В прямоугольных треугольниках AFM и BFM:
1) MF — общий катет;
2) AF=BF (по построению).
Значит ΔAFM =ΔBFM (по двум катетам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.
Возведём в квадрат обе части равенства:
Уравнение принимает вид: ax+by+c=0.
В силу произвольности выбранной точки M этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой m (если же M(x;y)∉m, то AM≠BM и координаты точки M уравнению не удовлетворяют).
Так как точки A и B различны, хотя бы одна из разностей x2-x1, y2-y1 отлична от нуля, значит a и b не обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.
Частные случаи расположения прямой в декартовой системе координат
Подставим эти значения в уравнение прямой: 0·x+by+c=0. Отсюда by+c=0, by=-c,
Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс.
В частности, y=0 — уравнение оси Ox.
Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси ординат.
В частности, x=0 — уравнение оси Oy.
ax+by+0=0, ax+by=0, by=-ax,
Это уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат.
При b≠0 (то есть для прямых, не параллельных оси Oy) общее уравнение прямой ax+by+c=0 может быть преобразовано:
🔥 Видео
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Уравнение прямой ax плюс by плюс c равно 0. Доказательство теоремы. Урок 1. Геометрия 8 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать
Уравнение параллельной прямойСкачать
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать
№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать
Часть 8 Уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярную к заданной прямойСкачать
Выбери значения коэффициентов a, b, c, при которых прямая ax+by+c=0 параллельна оси хСкачать
12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать
Уравнение прямой, проходящей через две точки, и прямой, перпендикулярной заданной прямойСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
