В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.
Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать
Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой
Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.
Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .
Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.
Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .
По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .
Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .
Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .
Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.
После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .
Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.
Видео:Прямая на плоскости. Проекция точки на прямуюСкачать
Решение примеров
Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.
Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .
Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .
Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0
Полученное уравнение является искомым.
Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .
Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.
Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Ответ: x 2 = y — 1 .
Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .
Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Задача 42076 Написать уравнение перпендикуляра.
Условие
Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M(1; 1; 6) на прямую
Решение
Дано параметрическое уравнение прямой.
Выразим t
<t=(x+1)/3
<t=y/2
<t=z
Приравниваем правые части
(x+1)/3=y/2=z
Получили каноническое уравнение прямой в пространстве
Прямая имеет направляющий вектор
vector=(3;2;1)
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M, перпендикулярно данной прямой.
При этом направляющий вектор прямой — нормальный вектор плоскости
Найдем координаты точки N- точки пересечения плоскости и прямой:
3*(-1+3t-1)+2*(2t-1)+1*(t-6)=0
t=1
x_(N)=-1+3=2
y_(N)=2*1=2
z_(N)=1
Составляем уравнение прямой проходящей через две точки М и N:
Уравнение МN, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]frac<x−x_><x_−x_>=frac<y−y_><y_−y_>=frac<z−z_><z_−z_>[/m]
Видео:Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебраСкачать
Перпендикуляр к прямой
Что такое перпендикуляр к прямой? Как построить перпендикуляр к прямой? Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой? Что такое наклонная? Что называется проекцией наклонной? Об этом — ниже.
Перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a — это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной прямой a, один конец которого — точка A, второй — точка пересечения этих двух прямых.
Как построить перпендикуляр к прямой?
На рисунке 1 изображены прямая a и точка A, не лежащая на прямой a.
Чтобы построить перпендикуляр, воспользуемся угольником.
Угольник располагаем так,
чтобы одна сторона прямого угла проходила вдоль прямой a,
а вторая — через точку A.
Если провести через точку A вдоль стороны угольника прямую,
то получим прямую b, перпендикулярную данной прямой a.
Нам нужно построить перпендикуляр, то есть отрезок — часть этой прямой.
Соединим точку A с точкой на пересечении прямых a и b
(назовем вторую точку B).
Отрезок AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.
Точка B называется основанием перпендикуляра.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.
Расстояние от точки A до прямой a (рисунок 4) равно длине отрезка AB.
Из данной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.
Любой другой отрезок, который соединяет точку A с точкой на прямой a, называется наклонной.
Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок, соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.
На рисунке 5 AC — наклонная, проведенная из точки A к прямой a.
Точка C называется основанием наклонной AC.
Отрезок, который соединяет основание перпендикуляра с основанием данной наклонной, называется проекцией этой наклонной на прямую.
На рисунке 6 BC — проекция наклонной AC на прямую a.
Перпендикуляр часто встречается при решении задач, связанных с треугольниками. В частности, определение высоты треугольника опирается на перпендикуляр.
В следующий раз рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.
🌟 Видео
23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать
7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать
4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
