Уравнение пересечения отрезка и окружности

Пересечение Окружности Отрезка Линии

Я пытаюсь определить точку, в которой отрезок линии пересекаются окружности. Например, учитывая любую точку между P0 и P3 (а также предполагая, что вы знаете радиус), какой самый простой способ определить P3?

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

5 ответов

у вас есть система уравнений. Круг определяется: x^2 + y^2 = r^2 . Линии определяется y = y0 + [(y1 — y0) / (x1 — x0)]·(x — x0) . Подставьте вторую в первую, вы получите x^2 + (y0 + [(y1 — y0) / (x1 — x0)]·(x — x0))^2 = r^2 . Решите это, и вы получите значения 0-2 для x. Подключите их обратно в любое уравнение, чтобы получить ваши значения для y.

  • найти угол между P0 и P1
  • нарисуйте линию под этим углом от P0 на расстоянии r, что даст вам P3

из центра круга и радиуса вы можете написать уравнение, описывающее круг. Из двух точек P0 и P1 можно написать уравнение, описывающее линию.

таким образом, у вас есть 2 уравнения в 2 неизвестных, которые вы можете решить путем замены.

и (x1,y1) = координаты точки P1

уравнение для круга:

уравнение для строка:

подключение 2-го уравнения в первое, получим:

аналогично вы можете найти, что

точка (x,y) — это точка пересечения между линией и кругом, (x,y) — ваш ответ.

перейти к этому коду..его сэкономить время

КОД MATLAB

функция [ флаг] = circleLineSegmentIntersection2 (Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, R)

% A и B — две конечные точки отрезка линии, а C-центр окружность, % R-радиус окружности. Эта вычислительная функция ближайшая точка fron C к сегменту %, если расстояние до ближайшая точка > R возврат 0 else 1

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Как найти пересечение окружности и отрезка

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Уравнение пересечения отрезка и окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Уравнение пересечения отрезка и окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Уравнение пересечения отрезка и окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Уравнение пересечения отрезка и окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Уравнение пересечения отрезка и окружностиТеорема о бабочке

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьУравнение пересечения отрезка и окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругУравнение пересечения отрезка и окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрУравнение пересечения отрезка и окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругУравнение пересечения отрезка и окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрУравнение пересечения отрезка и окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеУравнение пересечения отрезка и окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыУравнение пересечения отрезка и окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныУравнение пересечения отрезка и окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиУравнение пересечения отрезка и окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыУравнение пересечения отрезка и окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиУравнение пересечения отрезка и окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныУравнение пересечения отрезка и окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиУравнение пересечения отрезка и окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиУравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиУравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаУравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Пересекающиеся хорды
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Пересекающиеся хорды
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Пересечение Окружности Отрезка Линии

Я пытаюсь определить точку, в которой отрезок линии пересекаются окружности. Например, учитывая любую точку между P0 и P3 (а также предполагая, что вы знаете радиус), какой самый простой способ определить P3?

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:Уравнение окружностиСкачать

Уравнение окружности

5 ответов

у вас есть система уравнений. Круг определяется: x^2 + y^2 = r^2 . Линии определяется y = y0 + [(y1 — y0) / (x1 — x0)]·(x — x0) . Подставьте вторую в первую, вы получите x^2 + (y0 + [(y1 — y0) / (x1 — x0)]·(x — x0))^2 = r^2 . Решите это, и вы получите значения 0-2 для x. Подключите их обратно в любое уравнение, чтобы получить ваши значения для y.

  • найти угол между P0 и P1
  • нарисуйте линию под этим углом от P0 на расстоянии r, что даст вам P3

из центра круга и радиуса вы можете написать уравнение, описывающее круг. Из двух точек P0 и P1 можно написать уравнение, описывающее линию.

таким образом, у вас есть 2 уравнения в 2 неизвестных, которые вы можете решить путем замены.

и (x1,y1) = координаты точки P1

уравнение для круга:

уравнение для строка:

подключение 2-го уравнения в первое, получим:

аналогично вы можете найти, что

точка (x,y) — это точка пересечения между линией и кругом, (x,y) — ваш ответ.

перейти к этому коду..его сэкономить время

КОД MATLAB

функция [ флаг] = circleLineSegmentIntersection2 (Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, R)

% A и B — две конечные точки отрезка линии, а C-центр окружность, % R-радиус окружности. Эта вычислительная функция ближайшая точка fron C к сегменту %, если расстояние до ближайшая точка > R возврат 0 else 1

Видео:УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрияСкачать

УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрия

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x0,y0). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x0, y0) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x0,y0). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x0, y0) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x0, y0), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x0,y0) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Уравнение пересечения отрезка и окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Уравнение пересечения отрезка и окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Уравнение пересечения отрезка и окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Уравнение пересечения отрезка и окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Уравнение пересечения отрезка и окружностиТеорема о бабочке

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьУравнение пересечения отрезка и окружности
КругУравнение пересечения отрезка и окружности
РадиусУравнение пересечения отрезка и окружности
ХордаУравнение пересечения отрезка и окружности
ДиаметрУравнение пересечения отрезка и окружности
КасательнаяУравнение пересечения отрезка и окружности
СекущаяУравнение пересечения отрезка и окружности
Окружность
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругУравнение пересечения отрезка и окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаУравнение пересечения отрезка и окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрУравнение пересечения отрезка и окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяУравнение пересечения отрезка и окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеУравнение пересечения отрезка и окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыУравнение пересечения отрезка и окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныУравнение пересечения отрезка и окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиУравнение пересечения отрезка и окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыУравнение пересечения отрезка и окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиУравнение пересечения отрезка и окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныУравнение пересечения отрезка и окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиУравнение пересечения отрезка и окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыУравнение пересечения отрезка и окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыУравнение пересечения отрезка и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиУравнение пересечения отрезка и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиУравнение пересечения отрезка и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаУравнение пересечения отрезка и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Пересекающиеся хорды
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Уравнение пересечения отрезка и окружности
Пересекающиеся хорды
Уравнение пересечения отрезка и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Видео:Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямой

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Уравнение пересечения отрезка и окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Уравнение пересечения отрезка и окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📹 Видео

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: