Звено называют колебательным, если связь между входной x(t) и выходной z(t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида
,
причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению
,
должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие . Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.
Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ (при ξ >1 получается два инерционных звена)
.
В операторной форме это уравнение может быть записано в виде
,
и значит, передаточная функция звена будет такова
(11)
В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис.36).
Рис.36. Пример колебательного звена.
Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (11)
(12)
Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением
Представление выражения в виде понадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа
(13)
Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т0 можно из выражения
,
приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p
.
(14)
Разложим выражение в фигурных скобках для h(t) на простейшие дроби
где А1, А2, А3 – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.
Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.
.
Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим
. (15)
Из третьего равенства (15) и (14) следует, что
Тогда из остальных равенств (15) найдем
Отсюда, с учетом найденных значений для А1, А2, А3, получим, имея в виду (13), и (14)
(16)
Эта переходная характеристика звена изображена на рис. 37.
Рис. 37. Переходная характеристика колебательного звена.
Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т * – период колебаний процесса
.
На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний . В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.
Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.38). это, впрочем, видно и из (16), если положить там ξ =0
Рис. 38. Переходная характеристика
консервативного звена.
Весовая функция колебательного звена находится из выражения
(17)
Рис. 39. Весовая функция колебательного звена.
Для случая ξ = 0, т.е консервативного звена, весовая функция найдется из выражения (17)
Эта характеристика изображена на рис. 40.
Рис. 40. Весовая функция консервативного звена.
Для исследования колебательного звена в частотной области найдем частотную передаточную функцию w(j ) заменой в (11) р→ j
.
Отсюда легко получается амплитудная частотная A( ) и фазовая частотная φ( ) характеристики звена.
(18)
Из (18) видно, что АЧХ A( ) существенно зависит от степени затухания ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) при с -1 обращается в бесконечность (рис.41).
Рис. 41. АЧХ Колебательного звена.
В отношении зависимостей осей частоты ФЧХ φ( ) следует сказать следующее. Известно, что главное значение
y = arctg(x) для положительных x изменяется от 0 до . Остальные значения y получаются из главного путем прибавления к нему величины + kπ, где k =1,2, .
Полученное в (19) значение φ дает главное значение арктангенса от 0 до – в диапазоне частот с -1 (при с -1 знаменатель φ( ) обращается в ноль, а само значение φ ). Для определения φ( ) для частот, больших с -1 , надо, следовательно к главному значению добавлять + kπ (в нашем случае возьмем k = 1 и знак “минус”, т.к. речь идет о возрастании аргумента функции φ( ) в отрицательную сторону). Итак, математическое выражение, характеризующие ФЧХ φ( ), будет разным для различных областей частот
φ (20)
Из (20) видно, что на поведении φ( ) сильно сказывается параметр ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) для диапазона частот с -1 φ( ) = 0, а для диапазона с -1 φ( ) = – π. На рис. 42 изображены φ( ) для разных значений ξ.
Рис. 42. ФЧХ колебательного звена.
АФХ W(j ) колебательного звена можно построить, используя уже полученные значения A( ) и φ( ). Отметим три характерные точки рассматриваемой АФХ.
Из (18) легко получить, что А(0) = k, , А(∞) = 0. Аналогично из (20) получим φ(0) = 0, φ и φ(∞) = – π. Тогда качественно по этим трем точкам построим АФХ звена (рис.43)
Рис. 43. АФХ колебательного звена.
Хотя A( ) и φ( )существенно зависят от степени затухания ξ, из (18) можно усмотреть, что для = 0 и = ∞ A(∞) не зависят от ξ, а (20) удостоверяет, что φ( ) не зависит от ξ при = 0, с -1 и при = ∞. Для остальных значений частоты A( ) и φ( ) зависят от ξ, в частности, . Это означает, что с уменьшением ξ значение увеличивается, а сама АФХ с уменьшением ξ “разбухает”. Рассматривая предельный переход, можно сказать, что при ξ = 0 на частотах с -1 происходит разрыв АФХ и низкочастотная ее часть (т.е. ) будет проходить по положительной част и оси абсцисс, начиная с точки k в право, а высокочастотная ( ) – по отрицательной полуоси абсцисс из – ∞ до 0. Это же можно усмотреть и из рис. III. 30 для ξ = 0: для φ( ) = 0, а для φ( ) = – π.
Выражение для точной ЛАЧХ базируется на основе соотношения
(21)
Из выражения (21)для передаточной функции видно, что звено имеет одну постоянную времени Т0 и, значит, одну сопрягающую частоту с -1 и два частотных участка.
, T0 1.
Тогда выражение для второй асимптоты будет
Таким образом, вторая асимптота есть прямая линия с наклоном – 40 , проходящая через конечную точку первой асимптоты.
На рис. 44 представлена асимптотическая ЛАЧХ. Выше для инерционного звена указывалось, что максимальное отличие асимптотической ЛАЧХ от точной не превышает 3,03 дб. Для колебательного звена, из-за зависимости его характеристик от параметра ξ, эти отличия могут быть много больше, так что имеются специальные таблицы, которые предназначены внести поправки для различных ξ в асимптотические ЛАЧХ, чтобы приблизить их к точным. На рис.44 точные значения ЛАЧХ (в том числе и для ξ =0) нанесены пунктиром. Видно, что максимальные отличия точной ЛАЧХ от асимптотической находятся вблизи частоты с -1 , вдали же от этой частоты различия практически исчезают.
Рис. 44. ЛАЧХ колебательного звена.
Упругое звено.
Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида
.
Примерами упругого звена (см. рис.45) могут служить пассивные четырехполюсники вида
Рис. 45. Примеры упругого звена.
Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим
,
и следовательно, передаточная функция звена будет
(22)
Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра . При λ > 1, т.е. при Т0 > T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ 1) h(0) > h( ∞), а для упругого интегрирующего звена (λ 1 и λ 1 в) λ 1) и интегрирующего (λ 1 в) λ 1, т.е. Т0>T или , зависимости A( ), φ( ) и w( ) представлены на рис. III. 36, а при λ 1).
Рис. 49. A( ), φ( ) и w( ) упругого интегрирующего звена (λ 1, т.е. (рис. 50)
, T0 1.
, T 1.
, T>1.
Для этого участка уравнение асимптоты примет вид
Это выражение характеризует горизонтальную прямую, проходящую через конец второй асимптоты.
Рис. 50. ЛАЧХ упругого дифференцирующего звена (λ >1).
Построение ЛАЧХ можно сильно упростить, если воспользоваться нижеследующей методикой.
Первая асимптота ЛАЧХ заканчивается на сопрягающейся частоте , которой соответствует постоянная времени . Из выражения для передаточной функции (22) видно, что эта постоянная времени расположена в скобке , находящейся в числителе. Известно мнемоническое правило, что если скобка находится в числителе, то ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на + , а если в знаменателе, то .
В нашем случае , и, следовательно, ЛАЧХ “ломается” на +20 . Поэтому, раз наклон первой асимптоты был ноль, а на частоте ЛАЧХ изменила его на +20 , то наклон ЛАЧХ на II участке будет 0+20 = 20 . Сопрягающей частоте соответствует постоянная времени Т. с, которая, как видно из (III. 1.22) расположена в скобке, находящейся в знаменателе. Значит, на частоте c2 ЛАЧХ претерпевает излом на -20 и наклон ЛАЧХ на III участке будет -20 +20 = 0.
Рассмотрим теперь случай λ
Дата добавления: 2017-01-13 ; просмотров: 4674 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Видео:7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать
3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено
Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ САР, во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.
Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1
Рисунок 3.5.1 Модель электического колебательного контура
Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.
Входное ступенчатое воздействие xt, формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» хt = Uвхt.
Результирующий отклик звена — напряжение на конденсаторе yt = Uсt = Uвыхt.
Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.
— ЭДС индукции на катушке, направленопротивизменениятока;
— падение напряжении на сопротивлении.
Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:
где:
— заряд кондесатора.
Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:
После замены силы тока, ее выражением через получим следующие выражение:
Заменив и получим уравнение колебательного звена:
Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):
причем , т.е.
Учитывая, что , удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:
Введем новые параметры: и , где — параметр (коэффициент) затухания (демпфирования).
Подставляя новые параметры в (3.5.1):
Уравнение 3.5.2 — наиболее удобная форма представления уравнения динамики.
Перейдем к изображениям: и уравнение динамики в изображениях Лапласа:
Передаточная функции колебательного звена:
Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) , причем при 1″ alt=»beta > 1″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/88a/1d4/1e3/88a1d41e3070af8864f76fc755c23f06.svg»/>свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.
Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения :
Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя :
Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:
Амплитуда АФЧХ
Сдвиг фазы
frac. end right. mathbf» alt=»varphi (omega) = left < begin-arctg frac, если omega le frac; \ -pi- arctg frac, если omega > frac. end right. mathbf» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c8a/3b3/938/c8a3b3938b910eea4df51754c9ad7de5.svg» width=»468″ height=»84″/>
Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:
Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:
Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:
Отсюда вырражение для экстермума:
Очевидно, что существует если
Если , то заивисмость имеет экстремум.
Если frac<sqrt>» alt=»beta >frac<sqrt>» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6c8/fba/8d5/6c8fba8d5ad46b794c1ab808b9b3a662.svg»/>, экстремума в заивсимости нет.
Вычислим максимальное значение , под ставим выражение для 3.5.10 в формулу 3.5.7, получим:
Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при график имеет горб, который при уменьшении растет и при , что означает разрыв в зависимости .
Частоту ωм будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.
Поскольку , то очевидна роль постоянных времени :
– ‘раскачивает’ колебания, а − ‘демпфирует’ их. Рассмотрим соответствующие графики:
Рисунок 3.5.2 АЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.3 ФЧХ колебательного звена
Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.
Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω0.
Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:
Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω0.
Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:
Рисунок 3.5.4 АФЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.5 Годограф АФЧХ консервативного звена
Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.
Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где — частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:
Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения :
На этом месте у меня всегда выносится мозг, как могут прыгающие на пружинке шарике, и электроны в электрическом контуре, описаны с помощью одиникового выражения, формулы синуса — соотношения стороно в прямоугольном треуголнике. Как это работает?!
Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) = 20 lg (А(ω)):
Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.
На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.
Рисунок 3.5.6 ЛАХ колебательного звена
Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T1и T2 можно “собирать вместе”.
Величина Hm (см. рис. 3.5.6) называется превышением:
Если , то в упрощенных расчетах величину превышения Hm можно оценить, как:
при ω=ωm (эта формула работает для ярко выраженных горбов).
Вычислим переходную функцию звена h(t):
Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса
По формуле Хэвисайда
Разберем отдельно каждый предел:
Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:
Тогда корни выраженные через переменные m и n будут записаны как:
Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней :
тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:
домножая на комплексно сопряженное число числитель и знаменатель получим значение второго предела:
Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:
домножая на комплексно сопряженное число , числитель и знаменатель получим значение третьего предела:
Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:
подставляя значения n и m:
и собирая все слагаемые формулы 3.5.15 получаем:
Введем новую переменную и перепишем формулу для переходной функции:
Величина называется частотой собственной колебаний при .
Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты
— частота свободных колебаний;
— частота, соответствующая максимальной амплитуде;
— частота собственных колебаний.
Причем
Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):
Если , то :
3.5.17 — переходная функция консервативного звена.
Рисунок 3.5.6 Переходная функция консервативного звена
Если , то , т.е. собственных колебаний в звене нет, процесс без колебательный. В этом случае возникают трудности со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16).
Раскрываем неопределенность типа :
эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).
Рисунок 3.5.8 Переходная функция колебательного звена (при β = 1) Рисунок 3.5.9 Переходная функция колебательного звена (при 0
Если , то
Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений (w(t)):
Если
Рисунок 3.5.10 Весовая функция колебательного звена при β = 0.
Если
Рисунок 3.5.11 Весовая функция колебательного звена при β = 1.
Если
Рисунок 3.5.12 Весовая функция колебательного звена при 0
Примерами колебательного звена можно считать:
R − C − L – цепь см. начало статьи;
Упругие механические передачи;
Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).
Видео:Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУСкачать
Пример
В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:
Рисунок 3.5.13 Модель колебательного контура
Схема модели содержит в себе:
модель электрического контура в виде электрической схемы;
модель контура в виде колебательного звена.
Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:
Рисунок 3.5.14 Общие сигналы проекта. Рисунок 3.5.15. Вычисление параметров для колебательного звена.
В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования
Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.
Рисунок 3.5.16. Графики напряжений источника и на конденсаторе.
Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.
Рисунок 3.5.17 Сравнение модели контура и колебательного звена
На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает практически полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:
Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. разделы 3.3 Апериодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.
Рисунок 3.5.18. Частотный анализ электрического контура
Амплитуда входного тестового сигнала — 1 В, аналогична амплитуде ступенчатого воздействия из предыдущего численного эксперимента.
Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19
Рисунок 3.5.19 Результаты гармонического анализа.
Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц
Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.
Рисунок 3.5.20 Модель с изменяемыми параметрами контура.
Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20
Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)
Рисунок 3.5.21. Скрипт изменения параметров модели
Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.
Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)
Рисунок 3.5.22. Настройки контура для устранения колебаний Рисунок 3.5.23. Графики изменения переходных процессов в контуре при изменении R и С.
При увеличении сопротивления резистора и емкости кондесатора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и когда Если 1 Rightarrow » alt=»beta >1 Rightarrow » src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3cc/2a4/cc7/3cc2a4cc7489acadbe3822fa87e3ca8c.svg»/> колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.
Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.
Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25
Рисунок 3.5.24 Схема колебательного контура с настройками частоты источника.
Добавляем в скрипт необходимый код, обеспечивающий расчет частот максимальной амплитуды, собственных колебаний и свободных колебаний, а также код для изменения частоты источника напряжения. Данный код скрипта приведен на рисунке 3.5.25
Рисунок 3.5.24 Скрипт для управления и отображения частоты.
Данная модель позволяет независимо настраивать параметры цепи и частоту источника напряжения.
В частности, можно убедится, что при различных настройках колебательного контура максимальная амплитуда колебаний напряжения достигается тогда, когда частота источника совпадает с частотой максимальной амплитуды, рассчитанной по формуле 3.5.10 см.скрипт на рис. 3.5.24.
Видео с управлением данным контуром можно посмотреть по ссылке.
А, например, на следующем графике изображено изменение напряжения на конденсаторе при повышении частоты источника от 0 до 300 Гц с шагом 1 Гц – 1 сек.
График построен путем давления в скрипте строки, передвигающей ползунок каждую секунду на 1 единицу (Гц) BarW.Value=Round(time) .
Как видим результат ручного управления совпал с результатом гармонического анализа максиму амплитуды теоретической частоте максимума — 112 Гц.
Примеры проектов для самостоятельного изучения можно взять по ссылке здесь.
Видео:11)ТАУ для чайников. Часть 4.3. Колебательное звеноСкачать
Звено второго порядка (колебательное звено)
Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 28108 ; Нарушение авторских прав
Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида:
Если на вход звена подать единичную функцию Хэвисайда от времени 1[t], при нулевых начальных условиях системы, то реакция на выходе будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую часто обозначают как h(t). Сигнал 1[t] — это, в некотором смысле, эталонный испытательный сигнал. Существуют и другие эталонные испытательные сигналы. Например, бесконечный импульс нулевой длины (дельта-функция Дирака), гармонический сигнал, периодические прямоугольные импульсы.
Преобразуем по Лапласу это уравнение:
Определим передаточную функцию звена:
Если записать уравнение без входного воздействия (нулевые входные воздействия U = 0) и сократить Y, то есть: T 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0, то такое уравнение будет называться характеристическим, поскольку характеризует исключительно внутренние свойства звена. Обратите внимание, что в записи звена содержатся три параметра:
В зависимости от величины ξ звенья второго порядка классифицируются по видам:
И оно имеет действительные отрицательные корни: Данное звено можно представить в виде последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени: Tогда при T1 > T2 переходная характеристика звена имеет вид: То есть в решении присутствуют затухающие экспоненты. Типичное поведение звена с такими параметрами показано на рис. 4.6.
В частном случае, когда ξ = 1, оба корня будут одинаковыми, отрицательными: 15 Колебательное звено 2-го порядка (0 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0. Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью: Так как корни мнимые, то в поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного (см. рис. 4.7 и рис. 4.8).
Из графиков видно, что с ростом ξ колебательность звена уменьшается, исчезая при ξ ≥ 1 Переходная функция звена имеет вид: При малых ξ значение A приближается к 1, а значение φ — к 90°. По физическому смыслу ω0 представляет собой собственную частоту колебаний. 16 Консервативное звено 2-го порядка (ξ = 0) Характеристическое уравнение звена следующее: Корни одинаковые, комплексно-сопряженные, с нулевой вещественной частью: Так как корни чисто мнимые, то поведением звена являются незатухающие колебания (ξ = 0), см. рис. 4.9.
Переходная функция звена имеет вид: h(t) = k · (1 – cos(t/T)). Из графика экспериментальным путем можно определить единственный параметр T = T0/(2 · π). 5. Лекция 05. Построим регрессионную модель динамической системы на примере. Зададим модель в виде передаточной функции (см. рис. 5.1).
Примерный вид динамических сигналов на входе и на выходе показан на рис. 5.2. Ограничимся временем рассмотрения сигналов, равным T.
После дискретизации, связанной с обработкой информации на цифровых машинах, эти сигналы будут выглядеть так, как показано на рис. 5.3. Обратите внимание на то, что отдельные отсчеты отстоят друг от друга на расстоянии Δt. Важно, что отсчеты стоят достаточно часто. Всего этих отсчетов — n, то есть T = n · Δt,
Допустим, что зависимости, представленные на рис. 5.2 и рис. 5.3, описываются передаточной функцией следующего вида (заметим, что, как и в лекции 02, вид зависимости выдвигается гипотетически и гипотеза должна быть, в конце концов, подтверждена или опровергнута): Заменяя значок «p» на «d/dt» (обращаем ваше внимание, что такую замену можно производить только для случая нулевых начальных условий: X(0) = 0 и Y(0) = 0) и учитывая, что передаточная функция — это, по определению, отношение выхода к входу, то есть W = Y/X, получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка: Дважды проинтегрируем это выражение и получим для некоторого произвольного момента времени t: Коэффициенты A1, A2, A3, A4 требуется определить. Для этого выразим уравнение в разностном виде через суммы: где n — число экспериментальных точек. Заметим, что мы заменили интегралы и непрерывное течение времени — на суммы и дискретное представление времени. Чтобы вычислить суммы и двойные суммы экспериментально заданных зависимостей x и y, воспользуемся для удобства табл. 5.1 (чтобы излишне не загромождать таблицу, мы не стали дописывать в суммах Δti и Δτj).
|