Уравнение переходной функции колебательного звена

Колебательное звено.

Звено называют колебательным, если связь между входной x(t) и выходной z(t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида

Уравнение переходной функции колебательного звена,

причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению

Уравнение переходной функции колебательного звена,

должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие Уравнение переходной функции колебательного звена. Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.

Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ Уравнение переходной функции колебательного звена(при ξ >1 получается два инерционных звена)

Уравнение переходной функции колебательного звена.

В операторной форме это уравнение может быть записано в виде

Уравнение переходной функции колебательного звена,

и значит, передаточная функция звена будет такова

Уравнение переходной функции колебательного звена(11)

В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис.36).

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис.36. Пример колебательного звена.

Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (11)

Уравнение переходной функции колебательного звена(12)

Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена

Представление выражения Уравнение переходной функции колебательного звенав виде Уравнение переходной функции колебательного звенапонадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа

Уравнение переходной функции колебательного звена(13)

Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т0 можно из выражения

Уравнение переходной функции колебательного звена,

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p

Уравнение переходной функции колебательного звена.

Уравнение переходной функции колебательного звена(14)

Разложим выражение в фигурных скобках для h(t) на простейшие дроби

Уравнение переходной функции колебательного звена

где А1, А2, А3 – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.

Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.

Уравнение переходной функции колебательного звена.

Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим

Уравнение переходной функции колебательного звена. (15)

Из третьего равенства (15) и (14) следует, что

Уравнение переходной функции колебательного звена

Тогда из остальных равенств (15) найдем

Отсюда, с учетом найденных значений для А1, А2, А3, получим, имея в виду (13), Уравнение переходной функции колебательного звенаи (14)

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена(16)

Эта переходная характеристика звена изображена на рис. 37.

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 37. Переходная характеристика колебательного звена.

Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т * – период колебаний процесса

Уравнение переходной функции колебательного звена.

На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний Уравнение переходной функции колебательного звена. В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.

Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.38). это, впрочем, видно и из (16), если положить там ξ =0

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 38. Переходная характеристика

консервативного звена.

Весовая функция колебательного звена находится из выражения

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена(17)

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 39. Весовая функция колебательного звена.

Для случая ξ = 0, т.е консервативного звена, весовая функция найдется из выражения (17)

Уравнение переходной функции колебательного звена

Эта характеристика изображена на рис. 40.

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 40. Весовая функция консервативного звена.

Для исследования колебательного звена в частотной области найдем частотную передаточную функцию w(j Уравнение переходной функции колебательного звена) заменой в (11) р→ j Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена.

Отсюда легко получается амплитудная частотная A( Уравнение переходной функции колебательного звена) и фазовая частотная φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) характеристики звена.

Уравнение переходной функции колебательного звена(18)

Из (18) видно, что АЧХ A( Уравнение переходной функции колебательного звена) существенно зависит от степени затухания ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) при Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 Уравнение переходной функции колебательного звенаобращается в бесконечность (рис.41).

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 41. АЧХ Колебательного звена.

В отношении зависимостей осей частоты ФЧХ φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) следует сказать следующее. Известно, что главное значение

y = arctg(x) для положительных x изменяется от 0 до Уравнение переходной функции колебательного звена. Остальные значения y получаются из главного путем прибавления к нему величины + kπ, где k =1,2, .

Полученное в (19) значение φ Уравнение переходной функции колебательного звенадает главное значение арктангенса от 0 до – Уравнение переходной функции колебательного звенав диапазоне частот Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 (при Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 знаменатель φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) обращается в ноль, а само значение φ Уравнение переходной функции колебательного звена). Для определения φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) для частот, больших Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 , надо, следовательно к главному значению добавлять + kπ (в нашем случае возьмем k = 1 и знак “минус”, т.к. речь идет о возрастании аргумента функции φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) в отрицательную сторону). Итак, математическое выражение, характеризующие ФЧХ φ( Уравнение переходной функции колебательного звена), будет разным для различных областей частот

φ Уравнение переходной функции колебательного звена(20)

Из (20) видно, что на поведении φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) сильно сказывается параметр ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) для диапазона частот Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) = 0, а для диапазона Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) = – π. На рис. 42 изображены φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) для разных значений ξ.

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 42. ФЧХ колебательного звена.

АФХ W(j Уравнение переходной функции колебательного звена) колебательного звена можно построить, используя уже полученные значения A( Уравнение переходной функции колебательного звена) и φ( Уравнение переходной функции колебательного звена). Отметим три характерные точки рассматриваемой АФХ.

Из (18) легко получить, что А(0) = k, Уравнение переходной функции колебательного звена, А(∞) = 0. Аналогично из (20) получим φ(0) = 0, φ Уравнение переходной функции колебательного звенаи φ(∞) = – π. Тогда качественно по этим трем точкам построим АФХ звена (рис.43)

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 43. АФХ колебательного звена.

Хотя A( Уравнение переходной функции колебательного звена) и φ( Уравнение переходной функции колебательного звена)существенно зависят от степени затухания ξ, из (18) можно усмотреть, что для Уравнение переходной функции колебательного звена= 0 и Уравнение переходной функции колебательного звена= ∞ A(∞) не зависят от ξ, а (20) удостоверяет, что φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) не зависит от ξ при Уравнение переходной функции колебательного звена= 0, Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 и при Уравнение переходной функции колебательного звена= ∞. Для остальных значений частоты A( Уравнение переходной функции колебательного звена) и φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) зависят от ξ, в частности, Уравнение переходной функции колебательного звена. Это означает, что с уменьшением ξ значение Уравнение переходной функции колебательного звенаувеличивается, а сама АФХ с уменьшением ξ “разбухает”. Рассматривая предельный переход, можно сказать, что при ξ = 0 на частотах Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 происходит разрыв АФХ и низкочастотная ее часть (т.е. Уравнение переходной функции колебательного звена) будет проходить по положительной част и оси абсцисс, начиная с точки k в право, а высокочастотная ( Уравнение переходной функции колебательного звена) – по отрицательной полуоси абсцисс из – ∞ до 0. Это же можно усмотреть и из рис. III. 30 для ξ = 0: для Уравнение переходной функции колебательного звенаφ( Уравнение переходной функции колебательного звена) = 0, а для Уравнение переходной функции колебательного звенаφ( Уравнение переходной функции колебательного звена) = – π.

Выражение для точной ЛАЧХ базируется на основе соотношения

Уравнение переходной функции колебательного звена(21)

Из выражения (21)для передаточной функции видно, что звено имеет одну постоянную времени Т0 и, значит, одну сопрягающую частоту Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 и два частотных участка.

Уравнение переходной функции колебательного звена, Уравнение переходной функции колебательного звенаT0 1.

Тогда выражение для второй асимптоты будет

Уравнение переходной функции колебательного звена

Таким образом, вторая асимптота есть прямая линия с наклоном – 40 Уравнение переходной функции колебательного звена, проходящая через конечную точку первой асимптоты.

На рис. 44 представлена асимптотическая ЛАЧХ. Выше для инерционного звена указывалось, что максимальное отличие асимптотической ЛАЧХ от точной не превышает 3,03 дб. Для колебательного звена, из-за зависимости его характеристик от параметра ξ, эти отличия могут быть много больше, так что имеются специальные таблицы, которые предназначены внести поправки для различных ξ в асимптотические ЛАЧХ, чтобы приблизить их к точным. На рис.44 точные значения ЛАЧХ (в том числе и для ξ =0) нанесены пунктиром. Видно, что максимальные отличия точной ЛАЧХ от асимптотической находятся вблизи частоты Уравнение переходной функции колебательного звенас -1 , вдали же от этой частоты различия практически исчезают.

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 44. ЛАЧХ колебательного звена.

Упругое звено.

Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида

Уравнение переходной функции колебательного звена.

Примерами упругого звена (см. рис.45) могут служить пассивные четырехполюсники вида

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 45. Примеры упругого звена.

Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим

Уравнение переходной функции колебательного звена,

и следовательно, передаточная функция звена будет

Уравнение переходной функции колебательного звена(22)

Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра Уравнение переходной функции колебательного звена. При λ > 1, т.е. при Т0 > T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ 1) h(0) > h( ∞), а для упругого интегрирующего звена (λ 1 и λ 1 в) λ 1) и интегрирующего (λ 1 в) λ 1, т.е. Т0>T или Уравнение переходной функции колебательного звена, зависимости A( Уравнение переходной функции колебательного звена), φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) и w( Уравнение переходной функции колебательного звена) представлены на рис. III. 36, а при λ 1).

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 49. A( Уравнение переходной функции колебательного звена), φ( Уравнение переходной функции колебательного звена) и w( Уравнение переходной функции колебательного звена) упругого интегрирующего звена (λ 1, т.е. Уравнение переходной функции колебательного звена(рис. 50)

Уравнение переходной функции колебательного звена, Уравнение переходной функции колебательного звенаT0 1.

Уравнение переходной функции колебательного звена, Уравнение переходной функции колебательного звенаT 1.

Уравнение переходной функции колебательного звена, Уравнение переходной функции колебательного звенаT>1.

Для этого участка уравнение асимптоты примет вид

Уравнение переходной функции колебательного звена

Это выражение характеризует горизонтальную прямую, проходящую через конец второй асимптоты.

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 50. ЛАЧХ упругого дифференцирующего звена (λ >1).

Построение ЛАЧХ можно сильно упростить, если воспользоваться нижеследующей методикой.

Первая асимптота ЛАЧХ заканчивается на сопрягающейся частоте Уравнение переходной функции колебательного звена, которой соответствует постоянная времени Уравнение переходной функции колебательного звена. Из выражения для передаточной функции (22) видно, что эта постоянная времени расположена в скобке Уравнение переходной функции колебательного звена, находящейся в числителе. Известно мнемоническое правило, что если скобка Уравнение переходной функции колебательного звенанаходится в числителе, то ЛАЧХ на частоте Уравнение переходной функции колебательного звенапретерпевает излом на + Уравнение переходной функции колебательного звена, а если в знаменателе, то Уравнение переходной функции колебательного звена.

В нашем случае Уравнение переходной функции колебательного звена, и, следовательно, ЛАЧХ “ломается” на +20 Уравнение переходной функции колебательного звена. Поэтому, раз наклон первой асимптоты был ноль, а на частоте Уравнение переходной функции колебательного звенаЛАЧХ изменила его на +20 Уравнение переходной функции колебательного звена, то наклон ЛАЧХ на II участке будет 0+20 Уравнение переходной функции колебательного звена= 20 Уравнение переходной функции колебательного звена. Сопрягающей частоте Уравнение переходной функции колебательного звенасоответствует постоянная времени Т. с, которая, как видно из (III. 1.22) расположена в скобке, находящейся в знаменателе. Значит, на частоте Уравнение переходной функции колебательного звенаc2 ЛАЧХ претерпевает излом на -20 Уравнение переходной функции колебательного звенаи наклон ЛАЧХ на III участке будет -20 Уравнение переходной функции колебательного звена+20 Уравнение переходной функции колебательного звена= 0.

Рассмотрим теперь случай λ

Дата добавления: 2017-01-13 ; просмотров: 4674 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

7) ТАУ  для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено

Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ САР, во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.1 Модель электического колебательного контура

Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.

Входное ступенчатое воздействие xt, формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» хt = Uвхt.

Результирующий отклик звена — напряжение на конденсаторе yt = Uсt = Uвыхt.

Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена— ЭДС индукции на катушке, направленопротивизменениятока;

Уравнение переходной функции колебательного звена— падение напряжении на сопротивлении.

Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:

Уравнение переходной функции колебательного звенагде:

Уравнение переходной функции колебательного звена— заряд кондесатора.

Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:

Уравнение переходной функции колебательного звена

После замены силы тока, ее выражением через Уравнение переходной функции колебательного звенаполучим следующие выражение:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Заменив Уравнение переходной функции колебательного звенаи Уравнение переходной функции колебательного звенаполучим уравнение колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

Уравнение переходной функции колебательного звена

причем Уравнение переходной функции колебательного звена, т.е. Уравнение переходной функции колебательного звена

Учитывая, что Уравнение переходной функции колебательного звена, удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: Уравнение переходной функции колебательного звенаи Уравнение переходной функции колебательного звена, где Уравнение переходной функции колебательного звена— параметр (коэффициент) затухания (демпфирования).

Подставляя новые параметры в (3.5.1):

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение 3.5.2 — наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Перейдем к изображениям: Уравнение переходной функции колебательного звенаи Уравнение переходной функции колебательного звенауравнение динамики в изображениях Лапласа:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Передаточная функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) Уравнение переходной функции колебательного звена, причем при 1″ alt=»beta > 1″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/88a/1d4/1e3/88a1d41e3070af8864f76fc755c23f06.svg»/>свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при Уравнение переходной функции колебательного звеназвено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Амплитуда АФЧХ

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Сдвиг фазы

frac. end right. mathbf» alt=»varphi (omega) = left < begin-arctg frac, если omega le frac; \ -pi- arctg frac, если omega > frac. end right. mathbf» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c8a/3b3/938/c8a3b3938b910eea4df51754c9ad7de5.svg» width=»468″ height=»84″/>

Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Отсюда вырражение для экстермума:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Очевидно, что Уравнение переходной функции колебательного звенасуществует если Уравнение переходной функции колебательного звена

Если Уравнение переходной функции колебательного звена, то заивисмость Уравнение переходной функции колебательного звенаимеет экстремум.

Если frac<sqrt>» alt=»beta >frac<sqrt>» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6c8/fba/8d5/6c8fba8d5ad46b794c1ab808b9b3a662.svg»/>, экстремума в заивсимости Уравнение переходной функции колебательного звенанет.

Вычислим максимальное значение Уравнение переходной функции колебательного звена, под ставим выражение для Уравнение переходной функции колебательного звена3.5.10 в формулу 3.5.7, получим:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при Уравнение переходной функции колебательного звенаграфик Уравнение переходной функции колебательного звенаимеет горб, который при уменьшении Уравнение переходной функции колебательного звенарастет и при Уравнение переходной функции колебательного звена, что означает разрыв в зависимости Уравнение переходной функции колебательного звена.

Частоту ωм будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Поскольку Уравнение переходной функции колебательного звена, то очевидна роль постоянных времени :

Уравнение переходной функции колебательного звена– ‘раскачивает’ колебания, а Уравнение переходной функции колебательного звена− ‘демпфирует’ их. Рассмотрим соответствующие графики:

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.2 АЧХ колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.3 ФЧХ колебательного звена

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину Уравнение переходной функции колебательного звенапринято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω0.

Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Величину Уравнение переходной функции колебательного звенапринято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω0.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.4 АФЧХ колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.5 Годограф АФЧХ консервативного звена

Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту Уравнение переходной функции колебательного звена, где Уравнение переходной функции колебательного звеначастота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

На этом месте у меня всегда выносится мозг, как могут прыгающие на пружинке шарике, и электроны в электрическом контуре, описаны с помощью одиникового выражения, формулы синуса — соотношения стороно в прямоугольном треуголнике. Как это работает?!

Введя новую переменную Уравнение переходной функции колебательного звенав выражение для Lm(ω) = 20 lg (А(ω)):

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.6 ЛАХ колебательного звена

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T1и T2 можно “собирать вместе”.

Величина Hm (см. рис. 3.5.6) называется превышением:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Если , Уравнение переходной функции колебательного звенато в упрощенных расчетах величину превышения Hm можно оценить, как:

Уравнение переходной функции колебательного звена

при ω=ωm (эта формула работает для ярко выраженных горбов).

Вычислим переходную функцию звена h(t):

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена

По формуле Хэвисайда

Уравнение переходной функции колебательного звена

Разберем отдельно каждый предел:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Тогда корни Уравнение переходной функции колебательного звенавыраженные через переменные m и n будут записаны как:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:

Уравнение переходной функции колебательного звена

домножая на комплексно сопряженное число Уравнение переходной функции колебательного звеначислитель и знаменатель получим значение второго предела:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:

Уравнение переходной функции колебательного звена

домножая на комплексно сопряженное число Уравнение переходной функции колебательного звена, числитель и знаменатель получим значение третьего предела:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

подставляя значения n и m:

Уравнение переходной функции колебательного звена

и собирая все слагаемые формулы 3.5.15 получаем:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

Введем новую переменную Уравнение переходной функции колебательного звенаи перепишем формулу для переходной функции:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Величина Уравнение переходной функции колебательного звенаназывается частотой собственной колебаний при Уравнение переходной функции колебательного звена.

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена— частота свободных колебаний;

Уравнение переходной функции колебательного звена— частота, соответствующая максимальной амплитуде;

Уравнение переходной функции колебательного звена— частота собственных колебаний.

Причем Уравнение переходной функции колебательного звена

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):

Если Уравнение переходной функции колебательного звена, то Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

3.5.17 — переходная функция консервативного звена.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.6 Переходная функция консервативного звена

Если Уравнение переходной функции колебательного звена, то Уравнение переходной функции колебательного звена, т.е. собственных колебаний в звене нет, процесс без колебательный. В этом случае возникают трудности со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16).

Раскрываем неопределенность типа Уравнение переходной функции колебательного звена:

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.8 Переходная функция колебательного звена (при β = 1) Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.9 Переходная функция колебательного звена (при 0

Если Уравнение переходной функции колебательного звена, то Уравнение переходной функции колебательного звена

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений Уравнение переходной функции колебательного звена(w(t)):

Если Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.10 Весовая функция колебательного звена при β = 0.

Если Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.11 Весовая функция колебательного звена при β = 1.

Если Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.12 Весовая функция колебательного звена при 0

Примерами колебательного звена можно считать:

R − C − L – цепь см. начало статьи;

Упругие механические передачи;

Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУСкачать

Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУ

Пример

В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.13 Модель колебательного контура

Схема модели содержит в себе:

модель электрического контура в виде электрической схемы;

модель контура в виде колебательного звена.

Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.14 Общие сигналы проекта. Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.15. Вычисление параметров для колебательного звена.

В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования Уравнение переходной функции колебательного звена

Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.16. Графики напряжений источника и на конденсаторе.

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.17 Сравнение модели контура и колебательного звена

На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает практически полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. разделы 3.3 Апериодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.18. Частотный анализ электрического контура

Амплитуда входного тестового сигнала — 1 В, аналогична амплитуде ступенчатого воздействия из предыдущего численного эксперимента.

Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.19 Результаты гармонического анализа.

Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц

Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.20 Модель с изменяемыми параметрами контура.

Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20

Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.21. Скрипт изменения параметров модели

Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.

Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.22. Настройки контура для устранения колебаний Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.23. Графики изменения переходных процессов в контуре при изменении R и С.

При увеличении сопротивления резистора и емкости кондесатора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и когда Если 1 Rightarrow » alt=»beta >1 Rightarrow » src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3cc/2a4/cc7/3cc2a4cc7489acadbe3822fa87e3ca8c.svg»/> колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.

Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.

Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.24 Схема колебательного контура с настройками частоты источника.

Добавляем в скрипт необходимый код, обеспечивающий расчет частот максимальной амплитуды, собственных колебаний и свободных колебаний, а также код для изменения частоты источника напряжения. Данный код скрипта приведен на рисунке 3.5.25

Уравнение переходной функции колебательного звенаРисунок 3.5.24 Скрипт для управления и отображения частоты.

Данная модель позволяет независимо настраивать параметры цепи и частоту источника напряжения.

В частности, можно убедится, что при различных настройках колебательного контура максимальная амплитуда колебаний напряжения достигается тогда, когда частота источника совпадает с частотой максимальной амплитуды, рассчитанной по формуле 3.5.10 см.скрипт на рис. 3.5.24.

Видео с управлением данным контуром можно посмотреть по ссылке.

А, например, на следующем графике изображено изменение напряжения на конденсаторе при повышении частоты источника от 0 до 300 Гц с шагом 1 Гц – 1 сек.

Уравнение переходной функции колебательного звена

График построен путем давления в скрипте строки, передвигающей ползунок каждую секунду на 1 единицу (Гц) BarW.Value=Round(time) .

Как видим результат ручного управления совпал с результатом гармонического анализа максиму амплитуды теоретической частоте максимума — 112 Гц.

Примеры проектов для самостоятельного изучения можно взять по ссылке здесь.

Видео:11)ТАУ для чайников. Часть 4.3. Колебательное звеноСкачать

11)ТАУ для чайников.  Часть 4.3. Колебательное звено

Звено второго порядка (колебательное звено)

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 28108 ; Нарушение авторских прав

Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Если на вход звена подать единичную функцию Хэвисайда от времени 1[t], при нулевых начальных условиях системы, то реакция на выходе будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую часто обозначают как h(t). Сигнал 1[t] — это, в некотором смысле, эталонный испытательный сигнал. Существуют и другие эталонные испытательные сигналы. Например, бесконечный импульс нулевой длины (дельта-функция Дирака), гармонический сигнал, периодические прямоугольные импульсы.

Преобразуем по Лапласу это уравнение:

Определим передаточную функцию звена:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Если записать уравнение без входного воздействия (нулевые входные воздействия U = 0) и сократить Y, то есть: T 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0, то такое уравнение будет называться характеристическим, поскольку характеризует исключительно внутренние свойства звена. Обратите внимание, что в записи звена содержатся три параметра:

Уравнение переходной функции колебательного звена

T — постоянная времени (в секундах); ξ — коэффициент затухания (безразмерная величина); k — передаточный коэффициент.

В зависимости от величины ξ звенья второго порядка классифицируются по видам:

  • ξ = 0 — консервативное звено второго порядка;
  • 0 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0.

И оно имеет действительные отрицательные корни:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Данное звено можно представить в виде последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Tогда при T1 > T2 переходная характеристика звена имеет вид:

Уравнение переходной функции колебательного звена

То есть в решении присутствуют затухающие экспоненты. Типичное поведение звена с такими параметрами показано на рис. 4.6.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 4.6. Реакция апериодического звена на единичный входной сигнал

В частном случае, когда ξ = 1, оба корня будут одинаковыми, отрицательными:

Уравнение переходной функции колебательного звена

15 Колебательное звено 2-го порядка (0 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0.

Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Так как корни мнимые, то в поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного (см. рис. 4.7 и рис. 4.8).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 4.7. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.5)
Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 4.8. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.2)

Из графиков видно, что с ростом ξ колебательность звена уменьшается, исчезая при ξ ≥ 1

Переходная функция звена имеет вид:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звенаУравнение переходной функции колебательного звена

При малых ξ значение A приближается к 1, а значение φ — к 90°. По физическому смыслу ω0 представляет собой собственную частоту колебаний.

16 Консервативное звено 2-го порядка (ξ = 0)

Характеристическое уравнение звена следующее:

Корни одинаковые, комплексно-сопряженные, с нулевой вещественной частью:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Так как корни чисто мнимые, то поведением звена являются незатухающие колебания (ξ = 0), см. рис. 4.9.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 4.9. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0)

Переходная функция звена имеет вид: h(t) = k · (1 – cos(t/T)).

Из графика экспериментальным путем можно определить единственный параметр T = T0/(2 · π).

5. Лекция 05.
Динамические регрессионные модели,
заданные в виде передаточной функции

Построим регрессионную модель динамической системы на примере. Зададим модель в виде передаточной функции (см. рис. 5.1).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 5.1. Модель черного ящика в виде передаточной функции

Примерный вид динамических сигналов на входе и на выходе показан на рис. 5.2. Ограничимся временем рассмотрения сигналов, равным T.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 5.2. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с непрерывным временем

После дискретизации, связанной с обработкой информации на цифровых машинах, эти сигналы будут выглядеть так, как показано на рис. 5.3. Обратите внимание на то, что отдельные отсчеты отстоят друг от друга на расстоянии Δt. Важно, что отсчеты стоят достаточно часто. Всего этих отсчетов — n, то есть T = n · Δt,

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 5.3. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с дискретным временем

Допустим, что зависимости, представленные на рис. 5.2 и рис. 5.3, описываются передаточной функцией следующего вида (заметим, что, как и в лекции 02, вид зависимости выдвигается гипотетически и гипотеза должна быть, в конце концов, подтверждена или опровергнута):

Уравнение переходной функции колебательного звена

Заменяя значок «p» на «d/dt» (обращаем ваше внимание, что такую замену можно производить только для случая нулевых начальных условий: X(0) = 0 и Y(0) = 0) и учитывая, что передаточная функция — это, по определению, отношение выхода к входу, то есть W = Y/X, получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Дважды проинтегрируем это выражение и получим для некоторого произвольного момента времени t:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Коэффициенты A1, A2, A3, A4 требуется определить. Для этого выразим уравнение в разностном виде через суммы:

Уравнение переходной функции колебательного звена

где n — число экспериментальных точек. Заметим, что мы заменили интегралы и непрерывное течение времени — на суммы и дискретное представление времени. Чтобы вычислить суммы и двойные суммы экспериментально заданных зависимостей x и y, воспользуемся для удобства табл. 5.1 (чтобы излишне не загромождать таблицу, мы не стали дописывать в суммах Δti и Δτj).

Таблица 5.1. Таблица исходных данных и вспомогательных расчетов
iXiYi Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена
X1Y1X1Y1X1Y1
X2Y2X1 + X2Y1 + Y22X1 + X22Y1 + Y2
X3Y3X1 + X2 + X3Y1 + Y2 + Y33X1 + 2X2 + X33Y1 + 2Y2 + Y3
mXmYmX1 + X2 + … + XmY1 + Y2 + … + YmmX1 + … + XmmY1 + … + Ym
nXnYnX1 + X2 + … + XnY1 + Y2 + … + YnnX1 + … + XnnY1 + … + Yn

Ошибку в некоторой m-ой точке можно записать так:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Как и ранее, ошибка показывает, насколько отходит теоретическое значение Ym от экспериментального значения.

Суммарная ошибка (вносимая всеми точками), которую надо минимизировать, будет:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Величина ошибки зависит от значений параметров A1, A2, A3, A4. Поэтому F является функцией от четырех переменных: F(A1, A2, A3, A4). Чтобы найти минимум функции F, доставляемый за счет параметров A1, A2, A3, A4, надо взять частные производные F по каждому из параметров и приравнять каждую производную к нулю. В результате получаем систему линейных уравнений:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Получено четыре уравнения с четырьмя неизвестными A1, A2, A3, A4. Из решения системы уравнений вычисляем неизвестные коэффициенты и дополняем ими модель, где коэффициенты уже определены как числа:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Задача определения коэффициентов модели решена. Разумеется, как и ранее, необходимо сравнить получаемое из этой модели решение Y теоретическое с Y, заданным экспериментально, и вычислить ошибку F. Далее проверить ее значение по критерию — допустимо ли значение вычисленной ошибки, или гипотезу о виде модели требуется сменить на более точную.

Считая что коэффициенты модели теперь нам известны, построим для заданного примера реализацию, имитирующую поведение системы, описанной передаточной функцией. Для этого воспользуемся уже однажды полученной формулой:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Уравнение переходной функции колебательного звена

Реализация модели представлена на рис. 5.4.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 5.4. Техническая реализация передаточного звена после определения коэффициентов регрессионной модели

При переходе от интеграла к численному суммированию мы воспользовались методом прямоугольников. Разбив площадь под кривой y на ряд прямоугольников одинаковой ширины Δt (см. рис. 5.5), получаем, что площадь i-го прямоугольника равна yi · Δt, а S — сумма площадей всех n прямоугольников — будет приблизительно равна площади под кривой (интегралу от функции y). Очевидно, что приближение тем точнее, чем меньше значение Δt.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 5.5. Применение метода прямоугольников для численного вычисления интегралов

6. Лекция 06.
Модель в виде фильтра Каллмана

Каллманом была доказана теорема о том, что любой динамический сигнал может быть представлен в виде:

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 6.1. Графическое представление фильтра Каллмана на схемах

Идея фильтра Каллмана заключается в том, что выход системы в i-ый момент времени определяется входным сигналом, его предысторией и предысторией самого состояния системы.

Чем больше имеется членов ряда, то есть чем больше переменных Y учитывается в записи модели, тем глубже память системы. Заметим, что наличие члена Yi – 1 в модели динамической системы соответствует наличию первой производной, Yi – 2 — второй производной и т. д.

Допустим, известны следующие экспериментальные данные: состояния сигналов Xi и Yi в n временных точках (табл. 6.1).

Таблица 6.1. Таблица экспериментальных данных
iXiYi
X1Y1
X2Y2
n – 1Xn – 1Yn – 1
nXnYn

Поскольку для каждой экспериментальной точки Xi надо указать ее соседей, задаваемых рядом, то удобно отсчеты представить в расширенной таблице, используемой для расчета (см. табл. 6.2).

Таблица 6.2. Таблица экспериментальных данных и промежуточных расчетов
iXiXi – 1YiYi – 1Yi – 2
mXmXm – 1YmYm – 1Ym – 2
m + 1Xm + 1XmYm + 1YmYm – 1
m + 2Xm + 2Xm + 1Ym + 2Ym + 1Ym

Находим ошибку между значением экспериментально снятой точки и теоретическим ее значением (гипотезой):

Суммарная ошибка F (сумма берется по всем экспериментальным точкам) должна быть минимизирована относительно определяемых переменных A1, A2, …, B1, B2, …, C:

Уравнение переходной функции колебательного звена

После взятия частных производных от F по A1, A2, …, B1, B2, …, C, приравнивания их к нулю и составления системы уравнений получается линейная множественная регрессионная модель, из которой определяются неизвестные коэффициенты A1, A2, …, B1, B2, …, C модели.

Поскольку коэффициенты модели определены, построим реализацию (см. рис. 6.2), имитирующую поведение системы, описанной фильтром Каллмана.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 6.2. Вариант технической реализации фильтра Каллмана

«Блок задержки» в представленной реализации необходим для того, чтобы сдвинуть сигнал на такт и получить соседний отсчет для следующей переменной ряда модели. В зависимости от среды реализации блок задержки можно организовать разными способами.

Например, в случае реализации блока задержки в среде моделирования Stratum-2000, первый способ может быть основан на перезаписи информации из одной переменной (ячейки) в другую, на что требуется один такт. Таким образом, можно организовать задержку сигнала на любое число тактов. Например, задержка сигнала X относительно Y будет составлять 3 такта, если выполнить следующую последовательность операций: A1 := X; A2 := A1; Y := A2.

Во втором способе задержка организуется при помощи массива: на каждом такте нужно, чтобы цифры были перемещены в соседние ячейки.

На рис. 6.3 приведена схема настройки (автоматического нахождения коэффициентов).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 6.3. Схема автоматической настройки коэффициентов модели «на ходу»

На рис. 6.4 приведена схема проверки фильтра Каллмана.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 6.4. Схема проверки работы модели фильтра Каллмана

7. Лекция 07.
Модель динамической системы в виде
Фурье представления (модель сигнала)

Этот способ моделирования динамических систем основывается на том, что в любом сигнале присутствуют гармонические составляющие. В зависимости от частоты, составляющие называются гармониками (первая, вторая и так далее). Сумма гармоник с соответствующими весами составляет модель сигнала.

Пусть, например, в некотором сигнале присутствует сумма трех гармоник: 3 · cos(t) + 2 · cos(3t) + 0.5 · cos(5t). Это значит, что в сигнале присутствует первая гармоника с амплитудой 3, третья гармоника с амплитудой 2, пятая гармоника с амплитудой 0.5. Сам суммарный сигнал выглядит так, как показано на рис. 7.1.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.1. Пример гармонического сигнала

Спектр этого сигнала показан на рис. 7.2. Ясно, что в нашем примере больший вес (амплитуду) в сигнале имеет (более других представлена) первая гармоника, наименьший вес имеет пятая гармоника.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.2. Пример спектра гармонического сигнала

Любой сигнал, сколь сложен бы он ни был, может быть представлен суммой гармоник. Более простой сигнал представляется меньшим числом гармоник, более сложный — большим. Быстро меняющийся сигнал, содержащий резкие пики, имеет в своем составе гармоники высоких порядков. Чем больше гармоник представлено в модели сигнала, тем точнее, в общем случае, модель отражает реальный сигнал.

Пусть задан некий сигнал X(t) (рис. 7.3).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.3. Временной сигнал на входе преобразования Фурье (возможный вид)

Определимся со временем рассмотрения сигнала: если сигнал периодический, то время рассмотрения равно периоду p сигнала; если сигнал непериодический, то периодом сигнала считается все время его рассмотрения.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена
Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена
Уравнение переходной функции колебательного звена Уравнение переходной функции колебательного звена

Ai и Bi — это веса соответствующих гармоник, присутствующих в сигнале; i — номер гармоники. Формулы их расчета называются прямым преобразованием Фурье.

Значение 2π · i/p = ωi — это частота i-ой гармоники. Отметим также, что частота i-ой гармоники связана с частотой первой гармоники простым соотношением: ωi = i · ω1.

Отметим важную особенность данного способа представления: вместо всего сигнала во всех его подробностях достаточно хранить вектор чисел, представляющих весовые коэффициенты составляющих его гармоник: (A0, A1, A2, …, B1, B2, …). То есть эти числа полностью характеризуют исходный сигнал, так как по ним сигнал можно полностью восстановить формулой обратного преобразования Фурье:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Именно эти числа используются также при обработке сигнала в модели динамической системы. Изображение этих чисел на графике в зависимости от номера гармоники (частоты) называется спектром сигнала (рис. 7.4). Спектр показывает, насколько присутствует в сигнале соответствующая составляющая. Спектр — это частотная характеристика сигнала.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.4. Сигнал, представленный в частотной области на выходе преобразования Фурье, спектр сигнала (возможный вид)

Здесь сигнал представлен в частотной области. Всегда по формулам прямого преобразования Фурье можно перейти из временной области в частотную, а по формулам обратного преобразования Фурье перейти из частотной области во временную. В какой области (частотной или временной) работать с сигналом в отдельный момент, решают из соображений удобства, наглядности и экономии вычислений. Заметим, что емкие с точки зрения вычислений операции интегрирования и дифференцирования сигнала во временной области заменяются на операции алгебраического сложения и умножения в частотной области, что с вычислительной точки зрения реализуется намного точнее и быстрее.

Система чисел Ai и Bi является полной характеристикой сигнала. Такой же полной характеристикой сигнала является система чисел S и φ, которые также образуют спектр (рис. 7.5). S — это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φ — фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.5. Сигнал, представленный в частотной области, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика сигнала (возможный вид)

Системы «A и B» и «S и φ» являются полностью равнозначными. Переход из системы «A и B» в систему «S и φ» производится по следующим формулам: Si = sqrt(Ai 2 + Bi 2 ) — абсолютная амплитуда сигнала; φi = arctg(Bi/Ai) — фаза сигнала, при сложении гармоник нужно учитывать сдвиг фаз (сдвиг фаз проиллюстрирован на рис. 7.8).

В случае с системой «S и φ» обратное преобразование Фурье имеет вид:

Уравнение переходной функции колебательного звена

Рис. 7.6 и рис. 7.7 разъясняют смысл коэффициентов A и B разных гармоник. Эти коэффициенты — амплитуды синусов и косинусов соответствующих частот (гармоник). Во временной области графически они соответствуют размаху гармонических колебаний (рис. 7.6 и рис. 7.7); в частотной — высоте спектральной полоски на соответствующей частоте (рис. 7.4).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.6. Геометрическая иллюстрация параметров А и ω для косинусной составляющей гармонического сигнала
Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.7. Геометрическая иллюстрация параметров В и ω для синусной составляющей гармонического сигнала

Смысл чисел Si и φi разъяснен на рис. 7.8.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 7.8. Геометрическая иллюстрация параметров S и φ для составляющей гармонического сигнала

8. Лекция 08.
Модель динамической системы в виде
Фурье представления (модель объекта)

Пусть имеется входной динамический сигнал X(t) и объект F, преобразующий этот сигнал в выходной Y(t) (см. рис. 8.1). Если объект описывается дифференциальными уравнениями, то таким преобразованием является интегрирование входного сигнала и вычисление Y(t). Интегрирование, как было ранее показано, — операция, требующая значительных вычислительных ресурсов и имеющая значительную погрешность при реализации на цифровых машинах.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 8.1. Схема моделирования динамического объекта при переходе из временной области представления в частотную

Если перейти от описания входного сигнала во временной области к описанию в частотной области (см. рис. 8.1), а от дифференциальных уравнений перейти к частотной характеристике объекта, — то есть, фактически, заменить сигнал на частотную модель сигнала, а объект на частотную модель объекта, — то с вычислительной точки зрения процесс преобразования сигнала упростится. Конечно, полученный результат тоже будет частотной моделью выходного сигнала, которую для получения окончательного ответа придется сконвертировать во временную область Y(t). Процесс такой конвертации из частотной области во временную и обратно называется преобразованием Фурье (есть и другие преобразования). Для тех объектов, для которых известна их модель в частотной области, такой подход достаточно просто реализуется на компьютере и позволяет достичь любой наперед заданной точности.

Модель объекта в частотном виде называется передаточной функцией или АЧХ (амплитудно-частотной характеристикой). Объекты, для которых известны АЧХ, обычно называют типовыми звеньями (усилительное звено, апериодическое, колебательное и т. д.). Пусть, для примера, характеристика объекта в частотной области следующая (см. рис. 8.2).

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 8.2. АЧХ (возможный вид)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, насколько пропускается объектом на выход соответствующая гармоника. Значение ki характеризует коэффициент усилeния гармонического сигнала на определенной частоте ωi.

Моделирование прохождения сигнала через объект в этом виде заключается в умножении коэффициента Ai гармоники с частотой ωi входного сигнала X(t) на коэффициент усиления ki при той же гармонике с частотой ωi в АЧХ: Ai * = Ai(ωi) · ki(ωi). (Для коэффициента B преобразование аналогично.) В результате получается коэффициент Ai * выходной гармоники данной частоты ωi. Процедура выполняется для всех частот, представленных во входном сигнале и АЧХ. После получения спектра выходного сигнала можно восстановить сигнал как временную зависимость с помощью формулы обратного преобразования Фурье.

Заметим главное: моделирование прохождения сигнала через динамический объект свелось к операции умножения двух переменных, точнее, к операции поэлементного умножения вектора одних переменных на вектор других переменных.

Схема преобразования показана на рис. 8.3.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 8.3. Схема процедуры преобразования сигнала при использовании метода Фурье

Если бы временной сигнал проходил через звено, которое во временной области представлено дифференциальным уравнением, то пришлось бы его интегрировать, что, конечно, приводит к погрешностям результата. В частотной области достаточно перемножить значения коэффициентов ряда Фурье сигнала и звена при одинаковых частотах. Очевидно, что достоинством метода является замена дифференциальных уравнений модели на алгебраические. Разумеется, данный подход может быть использован только для объектов, у которых известен вид передаточной функции. (Кстати, для неизвестных случаев АЧХ может быть получена численным разложением в ряд.)

В процессе моделирования набора объектов для преобразования сигнала (например, протяженных трактов радиоэлектронных устройств) иногда приходится применять прямое и обратное преобразование Фурье неоднократно. На практике последовательные блоки часто называют каскадами.

Пусть мы имеем радио-электронное устройство (РЭУ), состоящее из 5 блоков (см. рис. 8.4). Блоки 1, 2, 4, 5 — линейные и представлены соответствующими известными АЧХ; блок 3 — нелинейный, поэтому АЧХ для него неизвестна. Примером линейного блока может служить апериодическое звено, колебательное звено и т. д. (см. Лекцию 05. Динамические регрессионные модели, заданные в виде передаточной функции). Примером нелинейного блока может служить устройство ограничения сигнала (срез) по амплитуде.

Как видно из рис. 8.4, сначала входной сигнал X(t) прямым преобразованием Фурье переводится в частотную область и проходит в виде спектра через АЧХ 1 и 2 линейного блока, затем обратным преобразованием Фурье сигнал после 2 блока переводится во временную область. Проходим нелинейный блок 3 во временном представлении. Результат работы блока 3 снова преобразуем прямым преобразованием Фурье в частотную область и проходим через АЧХ блоков 4 и 5. В конце полученный спектр преобразуется с помощью обратного преобразования Фурье во временную область, — вид сигнала, Z(t), является результатом моделирования.

Уравнение переходной функции колебательного звена
Рис. 8.4. Пример моделирования тракта, содержащего нелинейные блоки, с использованием метода Фурье

Метод, который мы рассмотрели, является одним из самых быстродействующих. Это связано с заменой операций интегрирования и дифференцирования, встречающихся в моделях динамических звеньев, на операции сложения и умножения при переходе в частотную область. Такая процедура обеспечивает точность и быстродействие модели.

Для метода важно, с какой частотой вы дискретизируете сигнал при разложении в ряд Фурье. Если частота дискретизации мала, то есть отсчеты в сигнале следуют редко, с большими интервалами, то часть сигнала остается потерянной, так как между отсчетами может оказаться резко возросший и опавший пик, информация о котором пропадет. То есть говорят, что малая частота дискретизации срезает высокие частоты в сигнале. (Пик — это и есть высокочастотная составляющая, которая может быть потеряна).

По теореме Котельникова, чтобы не потерять соответствующую гармонику, требуется дискретизировать сигнал с частотой не менее чем в 2 раза большей, чем самая высокая частота из представленных в аналоговом сигнале:

где Wдискр. = 1/Δtдискр. — частота дискретизации, Wmax — максимальная частота, присутствующая в сигнале

9. Лекция 09.
Оценка качества модели

Оценка качества показывает, насколько теоретические вычисления по построенной модели отклоняются от экспериментальных данных. Наличие связи двух переменных называется корреляцией.

Если оценка качества применяется до исследования, то она решает задачу: есть ли связь между входом X и выходом Y и оценивает силу этой связи.

💥 Видео

10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.Скачать

10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.

c04 3, Динамические звенья 2: типовые звенья и их АФЧХСкачать

c04 3, Динамические звенья 2: типовые звенья и их АФЧХ

proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

proТАУ: 1. Передаточная функция

ТАУ. Matlab/Simulink - моделирование передаточной функции, снятие характеристикСкачать

ТАУ. Matlab/Simulink - моделирование передаточной функции, снятие характеристик

12) ТАУ для чайников. Часть 4.4. Интегрирующее звено.Скачать

12) ТАУ для чайников. Часть 4.4.  Интегрирующее звено.

8) ТАУ для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.Скачать

8) ТАУ  для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.

Лекция №3. Апериодическое звено. Прокопенко В. А.Скачать

Лекция №3. Апериодическое звено. Прокопенко В. А.

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

Построить структурную схему САР (САУ) по передаточной функцииСкачать

Построить структурную схему САР (САУ) по передаточной функции

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задача

Типовые динамические звенья | Вечер с теорией управления, вебинар 3Скачать

Типовые динамические звенья | Вечер с теорией управления, вебинар 3

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениям

Логарифмическая амплитудная характеристика САУ: построение ЛАХ для конкретной системыСкачать

Логарифмическая амплитудная характеристика САУ: построение ЛАХ для конкретной системы

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функцииСкачать

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функции

Понятия: амплитудно-частотная, фазо-частотная характеристики - часть 10Скачать

Понятия: амплитудно-частотная, фазо-частотная характеристики - часть 10

Частотные характеристики | Утро с теорией управления, лекция 5Скачать

Частотные характеристики | Утро с теорией управления, лекция 5
Поделиться или сохранить к себе: