Уравнение пелля и его решение

Гипотеза Римана не верна.

Риман полагал, что число простых чисел можно определить и найти закономерность их распределения среди чисел, однако.

Теорема: число простых чисел — бесчисленное множество.

Предположим, что число A наибольшее простое число. Возьмем произведение всех нечетных чисел, где A последнее и наибольшее число произведения.

3*5*7*9*11*. * A . Прибавим (или вычтем) к данному произведению число 2

3*5*7*9*11 *. *A+ 2= B, где B будет нечетным числом.

Известно, что всякое нечетное число можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей.

Если 3*5*7*9*11 *. *A+ 2= B, то B – 3*5*7*9*11*. *A=2

Число B (уменьшаемое) не может иметь одинаковых множителей с произведением 3*5*7*9*11 *. *A (вычитаемым) в противном случае одинаковый множитель нечетное число и при вынесении его за скобки мы не получим равенства.

Простые множители числа B будут отличаться от нечетных чисел вошедших в произведение 3*5*7*9*11 *. *A, то есть они могут быть только больше чем простое число A.

Следовательно, число B будет или простым числом большим чем A или состоять из произведения простых чисел больших чем A.

Предположение о существовании наибольшего простого числа оказалось ложным. Теорема доказана.

Простые числа близнецы

Теория Рамсея утверждает — полная неупорядоченность невозможна.

Все простые числа близнецы можно разбить на 3 группы.

Первая группа это числа оканчивающиеся на 1 и 3.

Вторая группа это числа оканчивающиеся на 7 и 9.

Третья группа это числа оканчивающиеся на 9 и 1.

Каждую пару чисел близнецов первой группы можно записать в таком виде:

30 K + 11 и 30 K + 13, где целое число K ≥ 0 и не кратно 11 и 13. Пусть K=11*H, тогда 30(H*11)+11=11(30H+1), то есть число в этом случае не будет простым.

Каждую пару чисел второй группы можно записать как 30 D + 17 и 30 D + 19, где целое число D ≥ 0 и не кратно 17 и 19.

Каждую пару чисел третьей группы можно записать как 30 P + 29 и 30P+31, где целое число P ≥ 0 и не кратно 29 и 31.

Пусть A n+1 следующее число за A n из первой группы чисел с одинаковым окончанием. Тогда их разность будет кратна 30. A n+1 — A n = ( 30 K + 11 ) — (30D + 11)=30 (K-D)=30C. Тогда A n+1 = A n +30C, то есть имеем рекуррентную формулу для нахождения простых чисел близнецов.

Числовой ряд значений числа C для чисел близнецов вида 30 K+11 где целое число K≥ 0 и не кратное 11.

В этой последовательности чисел нет закономерности в их распределении. Следовательно вычислить число C можно только путем подстановки чисел начиная с 1 и с последующей проверкой для чисел пары близнецов.

Пример: 101+30*1=131, 131 простое число. 103+30*1=133, 133 не простое число, тогда 131 и 133 не простые числа близнецы и C ≠ 1. Проверяем число 2: 101+30*2=161, 161 не простое число и C ≠ 2. Проверяем число 3, 101+30*3=191, 191 простое число. 103+30*3=193, 193 простое число. При C=3 получили простые числа близнецы 191 и 193 следующие за 101 и 103. Можно например, 191+2=193, так как разность между числами равна 2.

Рекуррентная формула A n+1 = A n +30C справедлива и для других простых чисел имеющими одну разность 4;6; и так далее, и образующие группы пар с одинаковым окончанием у пар.

Например: простые пары чисел с разностью равной 4.

13-17; 43-47; 103-107; 163-167; 193-197; 223-227 и так далее.

Эти простые пары чисел будут в таблице простых чисел рядом как и числа близнецы. У первой пары чисел, изначальной пары, числа могут быть расположены и не рядом, но только у изначальной пары.

В изначальной паре чисел, первое меньшее число меньше 30, так как каждое простое число можно записать как 30K + I ( остаток всегда меньше делителя ). Второе число, большее число, будет нечетным числом. Числа изначальной пары не кратные 3; 5; и K.

Рассмотрим изначальные пары чисел с разностью равной 6.

1-7; 7-13; 11-17; 13-19; 17-23; 23-29. У пар есть одинаковые окончания 1-7; 7-3; 3-9. Имея одинаковое окончание, каждая изначальная пара чисел будет образовывать свой ряд простых чисел расположенных рядом.

Пример: 1-7; 31-37; 61-67; 151-157; 271-277 и так далее.

11-17; 131-137; 251-257; 941-947; 971-977 и так далее.

Все ряды простых чисел расположенных рядом, полученные из изначальных пар и добавленные к ним числа 2; 3; 5, образуют всё множество простых чисел.

В изначальных парах 1-7; 1-11; и так далее, единица участвует в образовании простых чисел и видимо единицу нужно внести в число простых чисел .

Простые числа, это подмножество множества нечетных чисел,определенное как числа которые делятся на единицу и самого себя.

Любое простое число можно записать как A=2n-1 и каждое простое число можно изобразить точкой прямой y = 2 x – 1, где простое число y – ордината, а x – абсцисса точки.

Рекуррентная формула нечетного числа такова: B n+1 =B n + 2, тогда рекуррентная формула простого числа будет такой: A n+1 = A n +2K. В этой формуле известно простое число A n , а неизвестные числа A n +1 и K х отя A n +1 зависит от K , но на A n +1 накладывается условие A n +1 должно быть простым.

Следовательно если и будет найдена какая либо зависимость появления простого числа, то все равно нужно проверить этот результат, делением согласно понятию простого числа.

Проверить какой либо результат можем, если он ограничен, но число простых чисел и их величина, как доказано, не имеет ограничения.

Следовательно все предположения о свойствах связанных с величиной простого числа будут недоказуемыми гипотезами.

Каждое простое число можно записать как 30 K + I = I + 30K, где I Следовательно все множество простых чисел можно получить из изначальных простых чисел: 1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.

Из 8 числовых рядов простых чисел и добавленных к ним чисел 2; 3; 5, состоит всё множество простых чисел.

1 — 31 — 61 — 151 — 181 — 211 — 241 — … и т.д.

7 — 37 — 67 — 97 — 127 — 157 — 277 — … и т.д.

11 — 41 — 71 — 101 — 131 — 191 — 251 — … и т.д.

13 — 43 — 73 — 103 — 163 — 193 — 223 — … и т.д.

17 — 47 — 107 — 137 — 167 — 197 — 227 — … и т.д.

19 — 79 — 109 — 139 — 199 — 229 — 349 — … и т.д.

23 — 53 — 83 — 113 — 173 — 233 — 263 — … и т.д.

29 — 59 — 89 — 149 — 179 — 239 — 269 — … и т. д.

Доказана теорема о бесконечном множестве простых чисел.

Найдена не полная закономерность распределения простых чисел, и нет полной закономерности распределения простых чисел.

Гипотеза Римана не верна

7 февраля 2014 года.

Рамзин Александр Васильевич

Преобразуем уравнение y 2 = Ax 2 +1 следующим образом: пусть y = n +1, тогда n 2 +2 n +1= Ax 2 +1 и Ax 2 = n 2 +2 n = n ( n +2) следовательно ( n +1) 2 = n ( n +2)+1. Получено общее уравнение Пелля. Уравнение имеет бесчисленное множество решений и это множество равно множеству натуральных чисел. Используя общее уравнение Пелля можно получить все множество решений и уравнений Пелля. Ax 2 = n ( n +2), это значит, что Ax 2 всегда может быть представлено в виде 2-х сомножителей разность между которыми равна 2. При четном A , n и n +2 будут четными. Пусть n =2 a , тогда Ax 2 =4 a ( a +1) и разность между сомножителями a +1 и a равна 1. При нечетном A , n и n +2 могут быть как четными так и не четными. Ax 2 = n ( n +2)=с 2 ( Ad 2 )= A ( сd ) 2 или Ax 2 = n ( n+2 ) =4a(a+1)=2 2 b 2 (Ae 2 )=A(2be) 2 или Ax 2 =(rs) 2 , то есть корень состоит из сомножителей, если A ±1±2≠ k 2 где k — простое число. Если A=A 1 *A 2 , то Ax 2 =(A 1 c 2 )(A 2 d 2 ) или Ax 2 =2 2 (A 1 c 2 )(A 2 d 2 ) или Ax 2 = 2 2 c 2 (A 2 d 2 ) или Ax 2 =c 2 (A 2 d 2 ) Эти свойства можно использовать для решения уравнений Пелля .

Y 2 =26 x 2 +1. Проверяем наличие квадрата числа на расстоянии 1 и 2 единиц от 26. 26-1=5 2 . Знаем, что при четном A , Ax 2 =4 a ( a +1), следовательно 26 x 2 =4*25*26 =26*10 2 , y = n +1=2 a +1=2*25+1=51, тогда 51 2 =26*10 2 +1.

Y 2 =119 x 2 +1. Проверяем наличие квадрата числа на расстоянии 1 и 2 единиц от 119. 119+2=121=11 2 , знаем что Ax 2 = n ( n +2), тогда Ax 2 =119(119+2)=119*11 2 , y = n +1=119+1=120, следовательно 120 2 =119*11 2 +1.

Y 2 =30 x 2 +1 . Квадрата числа на расстоянии 1 и 2 единиц от 30 нет. Видим, что 30=5*6, 30 – число четное, тогда 30 x 2 = 4 a ( a +1)=4*5*6=30*2 2 , y = n +1=2 a +1=2*5+1=11, следовательно 11 2 =30*2 2 +1.

Y 2 =22 x 2 +1. Квадрата числа на расстоянии 1 и 2 единиц от 22 нет. 22≠ a *( a +1) так как 4*5=20, 5*6=30. Знаем, что 22 x 2 = c 2 (22 d 2 ). Ищем числа c и d путем подбора 22*2 2 =88, 88±1±2≠с 2 , 22*3 2 =198, 198-2=196=14 2 =с 2 , тогда 22 x 2 =14 2 *22*3 2 =22*42 2 , y = n +1=196+1=197, следовательно 197 2 =22*42 2 +1.

Y 2 =41 x 2 +1. Квадрата числа на расстоянии 1 и 2 единиц от 41 нет. 41≠ a *( a +1) ищем числа путем подбора 41*2 2 =164, 164±1±2≠с 2 . 41*5 2 =1025, 1025-1=32 2 , 41*5 2 -32 2 =1, тогда Ax 2 =2 2 *32 2 *( 41*5 2 )=41*320 2 . Y=2a+1=2*32 2 +1=2049, следовательно 2049 2 =41*320 2 +1.

Y 2 =22 x 2 +1 , Ax 2 =(2 c 2 )(11 d 2 ) определим c 2 и d 2 путем подбора чисел (11*2 2 ±1±2):2≠ c 2 , (11*3 2 -1):2=49=7 2 =с 2 , 11*3 2 -2*7 2 =1, знаем что при четном A , Ax 2 =4 a ( a +1), тогда 22 x 2 =2 2 *11*3 2 *2*7 2 =22*42 2

Y 2 =124x 2 +1. Если A=A 1 *k 2 , то Ax 2 =A 1 (kx) 2 =A 1 x 1 2 . 124=31*2 2 , найдем наименьшее решение уравнения y 2 =31 x 1 2 +1. 31±1±2≠ d 2 , 31≠ a ( a +1), так как 5*6=30, 6*7=42, тогда 31 x 1 2 = c 2 31 d 2 определим c 2 и d 2 путем подбора чисел. 31*2 2 ±1±2≠с 2 … 31*7 2 +2=39 2 разность равна 2, тогда 31 x 1 2 =31*7 2 *39 2 =31*273 2 , y = n +1=31*72+1=1520, следовательно 1520 2 =31*273 2 +1, но 273 2 ≠22 x 2.

Если y 1 2 =A 1 x 1 2 +1 , y 2 2 =A 2 x 2 2 +1, и y 2 =y 1 +1, то (y 1 y 2 -1)2=A 1 A 2 (x 1 x 2 ) 2 +1.

9 2 =5*4 2 +1, 10 2 =11*3 2 +1, (9*10-1) 2 =5*11(3*4) 2 +1 или 89 2 =55*12 2 +1. Используя эти свойства можно решать уравнения Пелля, но чтобы решить уравнение y 2 =353*x 2 +1 нужно проверить очень много чисел, чтобы получить промежуточный результат: 353*3793 2 -1=71264 2 Для решения уравнений Пелля разработал новый метод решения уравнений. Решая уравнения при A=109; 149; 409 и 433 затратил 3,5 часа, хотя решение при A=433 имеет 19 разрядов, а при A = 409 решение имеет 22 разряда. Примерно столько же времени затратил чтобы вычислить промежуточный результат для A=421: 421*2 146 497 463 530 785 2 – 1 = 44 042 445 696 821 418 2 и выписать окончательный результат имеющий 33 разряда: 421 * 189 073 995 951 839 020 880 499 780 706 260 2 +1= y 2 Вычисления производились с использованием калькулятора. Новый метод пока не имеет названия, думаю, что тот кто опубликует этот метод тот пусть и даст ему название. 28 января 2011 г. Рамзин Александр Васильевич

353320 Краснодарский край г.Абинск ул.Карла-Либкнехта д.63 Рамзин Александр Васильевич E-mail: oproverjenie@narod.ru Телефон: +7 961-510-22-21

© Рамзин Александр Васильевич Copyright 2008 — 2014

Видео:352 Решения уравнения Пелля и периоды разложения квадратного корня в цепную дробьСкачать

Реферат: по математике «Уравнения Пелля»

Министерство образования и науки

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №33

ученик 9 «А» класса

Петров Алексей Андреевич

учитель математики Фоменкова Татьяна Анатольевна

Глава 1. Линейные диофантовы уравнения…………………………………4

1.1 Что такое линейные диофантовы уравнения……………………………4

1.3 Графический способ решения линейного диофантова уравнения …. 6

1.4 Общее решение линейного диофантова уравнения …………………. 8

Глава 2. Уравнения Пелля…………………………………………………. 9

2.1 Что такое уравнения Пелля ……………………………………………..9

2.2 Пример: уравнение х 2 – 2у 2 =1 ……………………………………. 10

2.3 График уравнения Пелля …………………………………………. 11

2.4 Общее решение уравнения Пелля ………………………………………13

2.5 Решение уравнения Пелля, основанное на цепных дробях …………. 14

С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся ещё в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача.

Мы учимся решать уравнения с помощью различных преобразований (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных слагаемых, возведение в натуральную степень обеих частей уравнения и т.д.), разложение на множители, введение вспомогательных неизвестных. Но ни один из этих способом не помог ответить на мой вопрос: всегда ли есть решение уравнения с двумя неизвестными и как его найти.

Данная работа посвящена изучению уравнений с двумя переменными класса диофантовых уравнений первой и второй степеней.

Упоминания об уравнениях, которые сейчас принято называть линейными диофантовыми уравнениями и уравнениями Пелля, были найдены уже в работах математиков Древней Греции и древней Индии. Среди диофантовых уравнений встречаются как простые, легко решаемые элементарными методами, так и те, решения которых требуют применения современных математических теорий.

На протяжении более трех веков человечество пыталось решить эти уравнения и до сих пор современные математики ищут наиболее эффективные методы решений уравнений Пелля и знаменитого уравнения Ферма: х n +у n =z n , n>2.

Нашей целью будет научиться находить решения диофантова уравнения первой и второй степеней, если это решение имеется.

Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:

1. Всегда ли линейное диофантова уравнение и уравнение Пелля имеет решение, найти условия существования решения;

2. Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение диофантова уравнения.

§1. Линейные диофантовы уравнения.

1. Что такое линейные диофантовы уравнения.

Определение : Линейные диофантовы уравнения — это диофантовы уравнения вида

ах+bу=с, (1)
где а, b и с — некоторые целые числа, причём а и b не равны нулю одновременно.
Ответим сначала на вопрос, имеет ли линейное уравнение хотя бы одно решение.

Обозначим через d наибольший общий делитель чисел а и b. Если число с не делится на d, то решений нет, поскольку при любых х и у левая часть (1) делится на d, а правая — не делится.
Пусть теперь с = kd. В этом случае решение существует. Чтобы это доказать, достаточно показать, что имеет решение уравнение
ах+bу=d. (2)
Действительно, умножив решение (т. е. каждое из чисел х и у) уравнения (2) на k, получим решение уравнения (1).

Один из методов нахождения решения уравнения (2) основан на алгоритме Евклида.

2. Алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида служит для нахождения наибольшего общего делителя двух целых положительных чисел. Он основан на следующем простом наблюдении. Если а = bq+r (где q — частное, а r — остаток от деления а на b), то НОД (а, b) = НОД (b, r). Действительно, из формулы деления с остатком следует, что любой общий делитель чисел b и r является также делителем числа а, а любой общий делитель чисел а и b является также делителем числа r. Поэтому множества общих делителей пар чисел (а, b) и (b, r) совпадают, а значит, совпадают и их наибольшие общие делители.
Применение алгоритма Евклида заключается в последовательном делении с остатком. Сначала мы делим большее из двух чисел на меньшее. На каждом следующем шаге мы делим число, которое на предыдущем шаге было делителем, на число, которое было остатком. Так поступаем до тех пор, пока не получим нулевой остаток. Это обязательно произойдёт через конечное число шагов, поскольку остатки всё время уменьшаются. Последний ненулевой остаток и будет наибольшим общим делителем исходных чисел.
Алгоритм Евклида, применённый к паре чисел (а, b), где а > b, может быть записан в виде цепочки равенств
a=bq₁ + r_1,

r_{n -1} =r_n q_{n +1} . Тогда d = НОД (а, b) = НОД (b, r₁ ) = . = НОД (r_{n -1} , r_n ) = r_n .
Покажем теперь, как найти решение уравнения (2) с помощью цепочки равенств (3). Выразим d=r_n из предпоследнего равенства. В полученное выражение подставим значение r_{n -1} из предыдущего равенства и т. д. Продолжая этот процесс, в конце концов получим выражение d в виде левой части уравнения (2).
Для примера рассмотрим уравнение 355х + 78у = 1.

1. Сначала найдём наибольший общий делитель чисел 355 и 78 с помощью алгоритма Евклида:
355= 78 • 4+43,
78=43•1+35,
43= 35•1+ 8,
35=8•4+3,
8=3•2+2,
3= 2•1 + 1,
2=1•2.
Итак, НОД (355, 78) = 1. Перепишем полученные равенства в виде
43=355 — 78•4,
35=78 — 43•1,
8=43 — 35•1,
3=35 — 8•4,
2=8 — 3•2,
1=3 — 2•1.
2. Теперь пойдём по цепочке равенств снизу вверх:
1 = 3 — 2•1 = 3 — (8 — 3•2) •1 = 3•3 — 8 = (35 — 8•4) •3 — 8 =
= 35•3 — 8•13 = 35•3 — (43 — 35•1) •13 = 35•16 — 43•13 = (78 — 43•1)•16 — 43•13 = 78•16 — 43•29 = 78•16 — (355—78•4) •29 = 78•132 — 355•29.
Найдено решение: х = -29, у = 132.
Нам осталось ответить на вопрос: как, зная одно решение линейного диофантова уравнения, найти все? Чтобы ответить на него, разберём сначала один пример.

3. Графический способ решения линейного диофантова уравнения.
Рассмотрим пример: уравнение 3х + 5у =22.
Подбором легко найти одно из решений этого уравнения, например, х=4, у =2. Применение алгоритма Евклида приводит к другому решению: х = 44, у = -22.
Нарисуем на координатной плоскости график уравнения — множество точек (х, у), таких что х и у удовлетворяют этому уравнению. Этот график представляет собой прямую (рис. 1), которую мы обозначим через l . На ней нужно найти все точки с целыми координатами (которые мы для простоты будем называть целыми точками). Из рисунка видно, что точки (4,2) и (-1,5) лежат на прямой l и на отрезке между этими точками других целых точек нет. Конечно, ссылка на график не является доказательством. Однако доказать это несложно: непосредственно проверяем, что указанные пары чисел удовлетворяют уравнению, а при у =3 и у =4 значения х, получаемые из уравнения, оказываются нецелыми.
Заметим, что если пара (х₀ , у₀ ) — решение уравнения, то пара (х₀ -5, у₀ +3) тоже решение:
3(х₀ — 5)+ 5(у₀ +3) =3х₀ – 15 + 5у₀ + 15 = 3х₀ + 5у₀ = 22.

Преобразование (х, у) → (х-5, у+3), (4)
во-первых, сохраняет прямую l (оно является параллельным переносом вдоль неё), во-вторых, переводит целые точки в целые, и поэтому любое решение уравнения переводит в решение.

Рис. 1 График уравнения 3х + 5у =22.

Применяя к уже найденному решению преобразование (4), т. е. прибавляя к х число (-5), а к у число 3, мы получим ещё одно решение, потом ещё одно и т.д. Точки, соответствующие этим решениям, располагаются на прямой 1 через равные расстояния (см. рис. 1). Ясно, что можно двигаться и в обратную сторону.
Таким образом, мы нашли бесконечную серию решений
х=4 – 5t, у=2 + 3t, где t — любое целое число.

Докажем, что любое решение имеет такой вид.

Рассуждаем от противного: пусть на прямой 1 между точками (4 – 5t, 2 + 3t) и (4 -5(t+1), 2+3(t+1)) найдётся целая точка. Применяя несколько раз параллельный перенос (4), если t 0, мы получим, что на интервале между точками (4,2) и (-1,5) тоже есть целая точка. Противоречие.
Итак, мы нашли все решения уравнения и доказали, что других нет.

4. Общее решение линейного диофантова уравнения. Перейдём теперь к рассмотрению общего случая. Рассмотрим графики уравнений (1) при фиксированных а и b и пробегающем всевозможные целые значения параметре с. Это — бесконечное множество параллельных прямых l _с , причём каждая целая точка принадлежит ровно одной такой прямой (рис.2).

Рис. 2. Графики уравнений ах+bу=d.

Введём на координатной плоскости «сложение» точек:

(х₁ , y₁ ) + (х₂ , y₂ )= (х₁₊ х₂ , y₁₊ y₂ ).
Введённая операция сложения целых точек определена также на подмножестве целых точек. Действительно, сумма двух целых точек является целой точкой.
Эта операция имеет естественную геометрическую интерпретацию: она соответствует сложению векторов с началами в начале координат и концами в данных точках. Как и обычное сложение, сложение точек имеет обратную операцию — вычитание.
Чтобы найти общее решение уравнения (1), нужно к его частному решению добавить общее решение уравнения

Осталось решить это уравнение. Снова введём d=НОД (a,b). Тогда a=a’d, b=b’d, где НОД (a’, b’)=1. Уравнение (5) перепишется в виде

а так как а’х делится на b’ и a’ взаимно просто с b’ , то х делится на b’ .

Значит, х=b’ t, откуда у=- a’ t.

Теперь можем резюмировать. Если с не делится на НОД (a,b), то уравнение (1) решений не имеет. Если же с делится на НОД (a,b), то уравнение (1) имеет бесконечно много решений, получаемых по формулам

х=х₀ +, у=у₀ —,

где t – произвольное число, d= НОД (a,b), а (x_0, y₀ ) – частное решение, которое может быть найдено с помощью алгоритма Евклида.

§2. Уравнения Пелля.

1. Что такое уравнение Пелля?
Определение: Уравнения Пелля — это уравнения вида

х 2 — mу 2 =1, (6)
где т — целое положительное число, не являющееся точным квадратом.

Они представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени и связаны со многими важными задачами теории чисел. Прежде всего сделаем два замечания. Во-первых, при любом т. уравнение (6) имеет по крайней мере два решения: х = 1, у = 0. Эти решения мы назовём тривиальными. Во-вторых, поскольку при изменении знака у х или у левая часть уравнения (6) не изменится, достаточно ограничиться нахождением только неотрицательных решений (т. е. решений с неотрицательными х и у).

Решая уравнение Пелля, мы будем отвечать на три вопроса.
1) Существует ли хотя бы одно нетривиальное решение?
2) Если да, то как его найти?
3) Как описать все решения?

Заметим, что ограничение на параметр т является естественным. Если т — точный квадрат, то уравнение (6) не имеет нетривиальных решений.

Действительно, разность двух точных квадратов в левой части может равняться единице, только если первый из них равен единице, а второй — нулю.

2. Пример уравнения: х 2 — 2y 2 =1.

Рассмотрим уравнение Пелля при m=2: х 2 — 2y 2 =1.
Несложная выкладка показывает, что если пара (х, у) является решением рассматриваемого уравнения, то пара (3х + 4у, 2х + 3у) тоже его решение. Действительно,
(3х + 4у) 2 — 2(2х + Зy) 2 = (9х 2 + 24ху + 16у 2 ) —
— 2(4х 2 + 12ху+9у 2 )= x 2 — 2у 2 . Поэтому если х 2 — 2у 2 = 1, то и (Зх+4у) 2 – 2 (2х+Зу) 2 = 1.

Значит, исходя из тривиального решения х₀ = 1, y₀ = 0, мы можем получить бесконечную последовательность (нетривиальных) решений (x_{i ,} у_i ) с помощью рекуррентной формулы (х_i ,у_i ) = f (x_{i -1} ,y_{i -1} ), где f (х, у) = (3х + 4у, 2х + 3у). Вот несколько первых её членов: (3,2), (17,12), (99,70), (577,408).

Докажем теперь, что этой последовательностью ( х_i ,у_i ) исчерпываются все неотрицательные решения уравнения. Тогда описание всех его решений можно будет считать завершённым.

Неотрицательные решения уравнения Пелля можно естественным образом упорядочить, для этого рассмотрим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих соотношению х 2 — 2у 2 = 1, лежащих в первой координатной четверти. Это — график функции у=, определённой при х 1 (рис. 3).

Рис.3. График функции у=.

Будем говорить, что точка на этом графике тем больше, чем дальше она находится от точки (1,0). Поскольку функция монотонна, большей из двух точек графика будет та, у которой больше как абсцисса, так и ордината. Неотрицательные решения уравнения Пелля суть целые точки на графике. Поэтому неравенство (х’, у’) 2 — 2у 2 = 1, не совпадающее ни с одним из членов построенной последовательности (х_i ,у_i ). Поскольку х_i и y_i неограниченно возрастают, решение (х’,у’) лежит между какими-то двумя решениями из последовательности: (х_i ,у_i ) 2 -my 2 =1- это гипербола (рис. 4), асимптотами которой являются прямые . Чтобы убедится в этом, разложим левую часть уравнения на множители:

и введём новую (косоугольную) систему координат, направив ось Ох’ вдоль прямой , а ось Оу’- вдоль прямой . В системе координат Ох’у’ уравнение нашей кривой запишется в привычном виде: х’у’= const.

Рис.4. График уравнения x 2 -my 2 =1

При любом m гипербола проходит через точку (1, 0) и симметрична относительно обеих координатных осей.

Вместе с гиперболой х 2 — mу 2 = 1, рассмотрим серию кривых l_{n ,} задаваемых уравнениями х 2 — m у 2 =n, где п — всевозможные целые числа (рис. 5). Кривые l _n при n0 представляют собой гиперболы, а l ₀ — это пара прямых у =, являющихся общими асимптотами этого семейства гипербол.

Рис.5 Графики уравнений х 2 — m у 2 =n.

Поскольку для любой целой точки величина х 2 — ту 2 является целым числом, каждая целая точка попадает на один из графиков l_n . Так как т не является точным квадратом, на l ₀ (паре асимптот) лежит лишь начало координат. Все остальные целые точки лежат на гиперболах.

С каждой гиперболой l_n связана сопряжённая ей гипербола l _{— n} . Если мы выберем на одной из гипербол пару центрально-симметричных относительно начала координат точек, то на сопряжённой гиперболе можно выбрать такую пару центрально-симметричных точек, чтобы все четыре точки были вершинами параллелограмм со сторонами, параллельными асимптотам. Такие пары точек будем называть сопряжёнными друг другу. Действительно, если в системе координат, оси которой идут вдоль асимптот, пара симметричных точек имеет координаты (х’, у’) и (-х’, -у’), то сопряжённой ей в той же системе координат является пара симметричных точек (х’,-у’) и (-х’,у’).

4. Общее решение уравнения Пелля.

Если уравнение Пелля имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то, умножая его многократно на себя, можно найти бесконечно много решений. При этом все решения можно найти аналогично тому, как мы действовали в частном случае m =2. Двигаясь по графику уравнения (рис.6) из точки (1,0) в направлении положительных значений y , находим первое нетривиальное решение. Это решение назовём основным .

Рис.6. График уравнения x 2 -3y 2 =1

Теорема 1. Все нетривиальные положительные решения получаются многократным умножением основного решения на себя.

Доказательство. Рассмотрим последовательность (x₁ ,y₁ ), (x₂ ,y₂ ), …, (x_n ,y_n ),… решений, получаемых из основного решения (x₁ ,y₁ ) последовательным умножением на него. Предположим, что на графике уравнения между двумя её членами (x_n ,y_n ) и (x_{n +1} ,y_{n +1} ) имеется некоторое решение. Умножив его на (x₁ ,-y₁ ), получим новое решение, лежащее между (x_{n -1} ,y_{n -1} ) и (x_n ,y_n ). Действительно, умножение на (x₁ ,-y₁ ) является обратной операцией к умножению на (x₁ ,y₁ ). Проделав такую операцию n раз, получим решение, лежащее между (1,0) и (x₁ ,y₁ ). Это противоречит тому, что (x₁ ,y₁ ) – основное решение.

Теорема 2. Любое уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.

5. Решение уравнения Пелля, основанное на цепных дробях.

Введем понятие цепных дробей.

Любое нецелое число можно представить в виде, где -целое число, а>1. Действительно, в качестве нужно взять целую часть числа , а в качестве — обратное число к его дробной части . Такое представление единственное , поскольку из условия >1следует, 0 у>0 и >1, то х+у>2у.

Значит, 1=х 2 – mу 2 = (х — у)(х+у)>(х — у)· 2у.

Видео:20 Структура решений уравнения ПелляСкачать

Уравнение пелля и его решение

Квадратичное уравнение с минусом вида

где D – целое положительное число, не являющееся полным квадратом, называется уравнение Пелля. Решение x₀=1, y₀=0 очевидно. Пары (±1, 0) являются решениями, называемыми тривиальными. Ввиду симметрии, достаточно найти решения с положительными x и y.

Если D является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на этот параметр. В общем, уравнение имеет бесконечное количество решений.

Название обязано исторической ошибке Леонарда Эйлера, поскольку Джон Пелль (17 в.) уравнением не занимался. Во Франции оно называется «уравнением Ферма». Частный случай уравнения Пелля

изучался пифагорейцами в связи с вычислением приближения к sqrt(2). Тогда еще обнаружен способ построения все больших и больших решений посредством рекурсии

доказываемой подстановкой в исходную формулу. Помимо того, из уравнения видно, что при достаточно больших числах единицей в правой части можно пренебречь, тогда sqrt(2) приблизительно равен отношению x/y.

Пары (x_n,у_n) известны как боковые и диагональные числа, потому что их отношение стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.

Рекуррентное соотношение для общего случая вывел в седьмом веке н. э. индийский математик Брахмагупта. При этом используется правило вложения

Поскольку задачи с прочими диофантовыми уравнениями часто сводятся к задаче с уравнением Пелля, над техникой поиска его решения работали Лагранж и Эйлер.

Например, известен такой ход. При больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x/y должно быть близким к sqrt(D). Верно и более сильное утверждение: такое отношение должно быть подходящей дробью, и имеет место следующий критерий: числитель и знаменатель подходящей дроби являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер n этой подходящей дроби нечетен и сравним с –1 по модулю p (т.е. дает при делении на p число p–1), где p – период цепной дроби.

Пусть D=13, период цепной дроби p=5 и существует n=9 такое, что n mod p = –1, наилучшее приближение sqrt(13) = 649/180, следовательно x=649, y=180 является следующим, после тривиального, решением уравнения

В нашем распоряжении, вместе с тривиальным, появилась пара решений. Для числа x + D 1/2 y можно ввести норму (x + D 1/2 y)(x – D 1/2 y) = x 2 – Dy 2 , таким образом, решения уравнения Пелля лежат на сфере единичного радиуса (решению соответствует единица кольца Z(D 1/2 )).

Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: паре решений (x₁,y₁) и (x₂,y₂) можно поставить в соответствие следующую пару

🎦 Видео

Уравнение Пелля с Екатериной #1Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

2 Доказательство Конвея–Вайлдбергера существования решения уравнения ПелляСкачать

22 Если правая часть уравнения Пелля не равна 1, то оно может иметь более одной серии решенийСкачать

1 Уравнения ПелляСкачать

Одно уравнениеСкачать

19 Принцип Дирихле и существование нетривиального решения уравнения ПелляСкачать

327 Существование нетривиального решения уравнения Пелля как следствие леммы о выпуклом телеСкачать

Сопряжённые числа. Уравнения ПелляСкачать

ЛШ-2020, 10 класс, Г. Юргин, уравнение Пелля вступлениеСкачать

Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

40 Две последовательности и уравнение ПелляСкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

328 Приближения рациональными числами и существование нетривиального решения уравнения ПелляСкачать

301 Что такое уравнение Пелля? Квадрат из 35 единичных квадратиков и ещё одногоСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать