Уравнение параболы в комплексной форме

Содержание
  1. Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения
  2. Окружность и ее уравнения
  3. Эллипс и его каноническое уравнение
  4. Исследование формы эллипса по его уравнению
  5. Другие сведения об эллипсе
  6. Гипербола и ее каноническое уравнение
  7. Исследование формы гиперболы по ее уравнению
  8. Другие сведения о гиперболе
  9. Асимптоты гиперболы
  10. Эксцентриситет гиперболы
  11. Равносторонняя гипербола
  12. Парабола и ее каноническое уравнение
  13. Исследование формы параболы по ее уравнению
  14. Параллельный перенос параболы
  15. Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными
  16. Дополнение к кривым второго порядка
  17. Эллипс
  18. Гипербола
  19. Парабола
  20. Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка
  21. Кривая второго порядка и её определение
  22. Окружность и ее уравнение
  23. Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени
  24. Эллипс и его уравнение
  25. Исследование уравнения эллипса
  26. Эксцентриситет эллипса
  27. Связь эллипса с окружностью
  28. Гипербола и ее уравнение
  29. Исследование уравнения гиперболы
  30. Эксцентриситет гиперболы
  31. Асимптоты гиперболы
  32. Равносторонняя гипербола
  33. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам
  34. Парабола и ее простейшее уравнение
  35. Исследование уравнения параболы
  36. Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу
  37. Конические сечения
  38. Кривая второго порядка и её вычисление
  39. Уравнение линии в декартовых и полярных координатах
  40. Окружность
  41. Эллипс
  42. Гипербола
  43. Парабола
  44. Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду
  45. Решение заданий на тему: Кривые второго порядка
  46. 🎬 Видео

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат Уравнение параболы в комплексной формеопределяется уравнением первой степени относительно переменных Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме;

2) всякое уравнение первой степени Уравнение параболы в комплексной формев прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме:

Уравнение параболы в комплексной форме

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форменулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Уравнение параболы в комплексной форме

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса Уравнение параболы в комплексной формес центром в точке Уравнение параболы в комплексной форметребуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку Уравнение параболы в комплексной форме
(рис. 38). Имеем

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме. Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса Уравнение параболы в комплексной формес центром в точке Уравнение параболы в комплексной форме. Если центр окружности находится на оси Уравнение параболы в комплексной форме, т. е. если Уравнение параболы в комплексной форме, то уравнение (I) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Если центр окружности находится на оси Уравнение параболы в комплексной формет. е. если Уравнение параболы в комплексной формето уравнение (I) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если Уравнение параболы в комплексной форме, то уравнение (I) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса Уравнение параболы в комплексной формес центром в точке Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение:

Имеем: Уравнение параболы в комплексной форме. Подставив эти значения в уравнение (I), найдем Уравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной форме.

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме, как бы она ни была расположена в плоскости Уравнение параболы в комплексной форме. Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) Уравнение параболы в комплексной форме, то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на Уравнение параболы в комплексной форме, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Положим Уравнение параболы в комплексной формеТак как, по условию, Уравнение параболы в комплексной формето можно положить Уравнение параболы в комплексной форме
Получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Если в уравнении Уравнение параболы в комплексной формето оно определяет точку Уравнение параболы в комплексной форме(говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же Уравнение параболы в комплексной формето уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: Уравнение параболы в комплексной форме. Следовательно, Уравнение параболы в комплексной форме.

Пример:

Установить, какое из уравнений:

Уравнение параболы в комплексной форме

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что Уравнение параболы в комплексной форме. Во втором уравнении Уравнение параболы в комплексной форме. Однако и оно не определяет окружность, потому что Уравнение параболы в комплексной форме. В третьем уравнении условия Уравнение параболы в комплексной формевыполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром Уравнение параболы в комплексной формеи радиусом Уравнение параболы в комплексной форме.

В четвертом уравнении также выполняются условия Уравнение параболы в комплексной формеОднако преобразовав его к виду
Уравнение параболы в комплексной форме, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формекоторого лежат на оси
Уравнение параболы в комплексной формеи находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Уравнение параболы в комплексной форме

Обозначив Уравнение параболы в комплексной форме, получим Уравнение параболы в комплексной формеПусть Уравнение параболы в комплексной формепроизвольная точка эллипса. Расстояния Уравнение параболы в комплексной форменазываются фокальными радиусами точки Уравнение параболы в комплексной форме. Положим

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда, согласно определению эллипса, Уравнение параболы в комплексной форме— величина постоянная и Уравнение параболы в комплексной формеПо формуле расстояния между двумя точками находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Подставив найденные значения Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формев равенство (1), получим уравнение эллипса:

Уравнение параболы в комплексной форме

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Уравнение параболы в комплексной форме

Имеем: Уравнение параболы в комплексной формеположим

Уравнение параболы в комплексной форме

последнее уравнение примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как координаты Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формелюбой точки Уравнение параболы в комплексной формеэллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнение параболы в комплексной формеудовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть Уравнение параболы в комплексной форме— произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

Уравнение параболы в комплексной форме

то Уравнение параболы в комплексной формеоткуда

Уравнение параболы в комплексной форме

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Но так как Уравнение параболы в комплексной формето

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

т. е. точка Уравнение параболы в комплексной формедействительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

Уравнение параболы в комплексной форме

1. Координаты точки Уравнение параболы в комплексной формене удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Уравнение параболы в комплексной форме

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) Уравнение параболы в комплексной форме, найдем Уравнение параболы в комплексной формеСледовательно, эллипс пересекает ось Уравнение параболы в комплексной формев точках Уравнение параболы в комплексной форме. Положив в уравнении (1) Уравнение параболы в комплексной форме, найдем точки пересечения эллипса с осью Уравнение параболы в комплексной форме:
Уравнение параболы в комплексной форме(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формевходят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме. В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Уравнение параболы в комплексной форме

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

Уравнение параболы в комплексной форме

получим Уравнение параболы в комплексной формеоткуда Уравнение параболы в комплексной формеили Уравнение параболы в комплексной форме

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми Уравнение параболы в комплексной форме
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

Уравнение параболы в комплексной форме

мы видим, что при возрастании Уравнение параболы в комплексной формеот 0 до Уравнение параболы в комплексной формевеличина Уравнение параболы в комплексной формеубывает от Уравнение параболы в комплексной формедо 0, а при возрастании Уравнение параболы в комплексной формеот 0 до Уравнение параболы в комплексной формевеличина Уравнение параболы в комплексной формеубывает от Уравнение параболы в комплексной формедо 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Уравнение параболы в комплексной форме

Точки Уравнение параболы в комплексной формепересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форменазывается
большой осью эллипса, а отрезок Уравнение параболы в комплексной формемалой осью. Оси Уравнение параболы в комплексной формеявляются осями симметрии эллипса, а точка Уравнение параболы в комплексной формецентром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Уравнение параболы в комплексной формеЕсли же Уравнение параболы в комплексной формето уравнение

Уравнение параболы в комплексной форме

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси Уравнение параболы в комплексной форме(рис. 42). В этом случае длина большой оси равна Уравнение параболы в комплексной форме, а малой Уравнение параболы в комплексной форме. Кроме того, Уравнение параболы в комплексной формесвязаны между собой равенством

Уравнение параболы в комплексной форме

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой Уравнение параболы в комплексной форме.

Если Уравнение параболы в комплексной форме, то, по определению,

Уравнение параболы в комплексной форме

При Уравнение параболы в комплексной формеимеем

Уравнение параболы в комплексной форме

Из формул (3) и (4) следует Уравнение параболы в комплексной форме. При этом с
увеличением разности между полуосями Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеувеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

Уравнение параболы в комплексной форме

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеуменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если Уравнение параболы в комплексной формеи уравнение эллипса примет вид Уравнение параболы в комплексной форме, которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы Уравнение параболы в комплексной формеи окружность Уравнение параболы в комплексной форме, хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Уравнение параболы в комплексной форме

Для этого на осях координат строим вершины эллипса Уравнение параболы в комплексной форме. Затем из вершины Уравнение параболы в комплексной форме(можно из Уравнение параболы в комплексной форме) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки Уравнение параболы в комплексной форме(рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что Уравнение параболы в комплексной форме. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна Уравнение параболы в комплексной форме, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

Уравнение параболы в комплексной форме

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Уравнение параболы в комплексной форме, если его большая ось равна 14 и Уравнение параболы в комплексной форме

Решение. Так как фокусы лежат на оси Уравнение параболы в комплексной форме, то Уравнение параболы в комплексной формеПо
формуле (2) находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, искомое уравнение, будет

Уравнение параболы в комплексной форме

Видео:Как определить уравнение параболы по графику?Скачать

Как определить уравнение параболы по графику?

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой Уравнение параболы в комплексной формележат на оси Уравнение параболы в комплексной формеи находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив Уравнение параболы в комплексной формеполучим Уравнение параболы в комплексной форме, Пусть
Уравнение параболы в комплексной форме— произвольная точка гиперболы.

Уравнение параболы в комплексной форме

Расстояния Уравнение параболы в комплексной форменазываются фокальными радиусами точки Уравнение параболы в комплексной форме. Согласно определению гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

где Уравнение параболы в комплексной форме— величина постоянная и Уравнение параболы в комплексной формеПодставив

Уравнение параболы в комплексной форме

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

Имеем: Уравнение параболы в комплексной форме. Положим

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда последнее равенство принимает вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как координаты Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формелюбой точки Уравнение параболы в комплексной формегиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнение параболы в комплексной формеудовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

Уравнение параболы в комплексной форме

1. Координаты точки Уравнение параболы в комплексной форме(0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) Уравнение параболы в комплексной форме, найдем Уравнение параболы в комплексной форме. Следовательно, гипербола пересекает ось Уравнение параболы в комплексной формев точках Уравнение параболы в комплексной форме. Положив в уравнение (1) Уравнение параболы в комплексной форме, получим Уравнение параболы в комплексной форме, а это означает, что система

Уравнение параболы в комплексной форме

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Уравнение параболы в комплексной форме.

3. Так как в уравнение (1) переменные Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формевходят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме; для этого из уравнения. (1) находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Имеем: Уравнение параболы в комплексной формеили Уравнение параболы в комплексной форме; из (3) следует, что Уравнение параболы в комплексной форме— любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой Уравнение параболы в комплексной формеи справа от прямой Уравнение параболы в комплексной форме

5. Из (2) следует также, что

Уравнение параболы в комплексной форме

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой Уравнение параболы в комплексной форме, а другая слева от прямой Уравнение параболы в комплексной форме.

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки Уравнение параболы в комплексной формепересечения гиперболы с осью Уравнение параболы в комплексной форменазываются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

Уравнение параболы в комплексной форме

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок Уравнение параболы в комплексной форме, Уравнение параболы в комплексной форме, называется мнимой осью. Число Уравнение параболы в комплексной форменазывается действительной полуосью, число Уравнение параболы в комплексной формемнимой полуосью. Оси Уравнение параболы в комплексной формеявляются осями симметрии гиперболы. Точка Уравнение параболы в комплексной формепересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы Уравнение параболы в комплексной формевсегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках Уравнение параболы в комплексной форме, а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: Уравнение параболы в комплексной форме. По формуле Уравнение параболы в комплексной форменаходим Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Уравнение параболы в комплексной форме, если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение:

Имеем: Уравнение параболы в комплексной форме. Положив в уравнении (1) Уравнение параболы в комплексной форме, получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая Уравнение параболы в комплексной форменазывается
асимптотой кривой Уравнение параболы в комплексной формепри Уравнение параболы в комплексной форме, если

Уравнение параболы в комплексной форме

Аналогично определяется асимптота при Уравнение параболы в комплексной форме. Докажем, что прямые

Уравнение параболы в комплексной форме

являются асимптотами гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

при Уравнение параболы в комплексной форме

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Уравнение параболы в комплексной форме

Положив Уравнение параболы в комплексной форменайдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеи равны соответственно Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме, а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку Уравнение параболы в комплексной формеи, имеющей асимптоты Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Заменив в уравнении гиперболы переменные Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формекоординатами точки Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеего найденным значением, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнение параболы в комплексной форме

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

Уравнение параболы в комплексной форме

к длине действительной оси и обозначается буквой Уравнение параболы в комплексной форме:

Уравнение параболы в комплексной форме

Из формулы Уравнение параболы в комплексной форме(§ 5) имеем Уравнение параболы в комплексной формепоэтому

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение:

Уравнение параболы в комплексной форме

По формуле (5) находим

Уравнение параболы в комплексной форме

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. Уравнение параболы в комплексной форме. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром Уравнение параболы в комплексной формеи асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

Уравнение параболы в комплексной форме

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Уравнение параболы в комплексной формеполученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол Уравнение параболы в комплексной форме(рис.49).

Уравнение параболы в комплексной форме

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Уравнение параболы в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Уравнение параболы в комплексной форме

Положив Уравнение параболы в комплексной форме, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Учитывая равенство (6), получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные Уравнение параболы в комплексной форме— величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные Уравнение параболы в комплексной формекоординатами точки Уравнение параболы в комплексной форме, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнение параболы в комплексной форме

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус Уравнение параболы в комплексной формекоторой лежит на оси Уравнение параболы в комплексной форме, а
директриса Уравнение параболы в комплексной формепараллельна оси Уравнение параболы в комплексной формеи удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Уравнение параболы в комплексной форме

Расстояние от фокуса Уравнение параболы в комплексной формедо директрисы Уравнение параболы в комплексной форменазывается параметром параболы и обозначается через Уравнение параболы в комплексной форме. Из рис. 50 видно, что Уравнение параболы в комплексной формеследовательно, фокус имеет координаты Уравнение параболы в комплексной форме, а уравнение директрисы имеет вид Уравнение параболы в комплексной форме, или Уравнение параболы в комплексной форме

Пусть Уравнение параболы в комплексной форме— произвольная точка параболы. Соединим точки
Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеи проведем Уравнение параболы в комплексной форме. Непосредственно из рис. 50 видно, что

Уравнение параболы в комплексной форме

а по формуле расстояния между двумя точками

Уравнение параболы в комплексной форме

согласно определению параболы

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

Последнее уравнение эквивалентно

Уравнение параболы в комплексной форме

Координаты Уравнение параболы в комплексной форметочки Уравнение параболы в комплексной формепараболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнение параболы в комплексной формеудовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Уравнение параболы в комплексной форме

Но так как из (3) Уравнение параболы в комплексной форме, и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

Уравнение параболы в комплексной форме

1. Координаты точки Уравнение параболы в комплексной формеудовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная Уравнение параболы в комплексной формевходит только в четной степени, то парабола Уравнение параболы в комплексной формесимметрична относительно оси абсцисс.

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как Уравнение параболы в комплексной форме. Следовательно, парабола Уравнение параболы в комплексной формерасположена справа от оси Уравнение параболы в комплексной форме.

4. При возрастании абсциссы Уравнение параболы в комплексной формеордината Уравнение параболы в комплексной формеизменяется от Уравнение параболы в комплексной форме, т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Уравнение параболы в комплексной форме, так и от оси Уравнение параболы в комплексной форме.

Парабола Уравнение параболы в комплексной формеимеет форму, изображенную на рис. 51.

Уравнение параболы в комплексной форме

Ось Уравнение параболы в комплексной формеявляется осью симметрии параболы. Точка Уравнение параболы в комплексной формепересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок Уравнение параболы в комплексной форменазывается фокальным радиусом точки Уравнение параболы в комплексной форме.

5. Если фокус параболы лежит слева от оси Уравнение параболы в комплексной форме, а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси Уравнение параболы в комплексной форме(рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Координаты ее фокуса будут Уравнение параболы в комплексной форме; директриса Уравнение параболы в комплексной формеопределяется уравнением Уравнение параболы в комплексной форме.

6. Если фокус параболы имеет координаты Уравнение параболы в комплексной форме, а директриса Уравнение параболы в комплексной формезадана уравнением Уравнение параболы в комплексной форме, то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты Уравнение параболы в комплексной формеа директриса Уравнение параболы в комплексной формезадана уравнением Уравнение параболы в комплексной форме, то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Дана парабола Уравнение параболы в комплексной форме. Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Уравнение параболы в комплексной форме, ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, фокус имеет координаты Уравнение параболы в комплексной форме, а уравнение директрисы будет Уравнение параболы в комплексной форме, или Уравнение параболы в комплексной форме.

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси Уравнение параболы в комплексной формеи ветви расположены слева от оси Уравнение параболы в комплексной форме, поэтому искомое уравнение имеет вид Уравнение параболы в комплексной форме. Так как Уравнение параболы в комплексной формеи, следовательно, Уравнение параболы в комплексной форме

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке Уравнение параболы в комплексной форме, ось симметрии которой параллельна оси Уравнение параболы в комплексной форме, а ветви направлены вверх (рис. 53).

Уравнение параболы в комплексной форме

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке Уравнение параболы в комплексной форме. Относительно новой системы координат Уравнение параболы в комплексной формепарабола определяется уравнением

Уравнение параболы в комплексной форме

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Уравнение параболы в комплексной форме

Подставив значения Уравнение параболы в комплексной формеиз формул (2) в уравнение (1), получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке Уравнение параболы в комплексной формеи с фокусом в точке Уравнение параболы в комплексной форме.

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Уравнение параболы в комплексной форме(у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно Уравнение параболы в комплексной форме

Заменив в уравнении (3) Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формекоординатами точки Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеего найденным значением, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Дано уравнение параболы

Уравнение параболы в комплексной форме

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной Уравнение параболы в комплексной форме, получим

Уравнение параболы в комплексной форме

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Уравнение параболы в комплексной формеИз формул (4) имеем: Уравнение параболы в комплексной форме
следовательно, Уравнение параболы в комплексной формеПодставляем найденные значения Уравнение параболы в комплексной формев уравнение (3):

Уравнение параболы в комплексной форме

Положив Уравнение параболы в комплексной формеполучим Уравнение параболы в комплексной формет. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме:

Уравнение параболы в комплексной форме

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеуравнение (1) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

т. е. определяет эллипс;
2) при Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеуравнение (1) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

т. е. определяет гиперболу;
3) при Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеуравнение (1) примет вид Уравнение параболы в комплексной формет. е. определяет параболу.

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Уравнение параболы в комплексной форме

где Уравнение параболы в комплексной форме— действительные числа; Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеодновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Уравнение параболы в комплексной форме, является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Уравнение параболы в комплексной форме. Если Уравнение параболы в комплексной форме, то кривая второго порядка — эллипс; Уравнение параболы в комплексной форме— парабола; Уравнение параболы в комплексной форме— гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Уравнение параболы в комплексной форме. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Уравнение параболы в комплексной форме.

Если Уравнение параболы в комплексной форме, то эллипс расположен вдоль оси Уравнение параболы в комплексной форме; если Уравнение параболы в комплексной форме, то эллипс расположен вдоль оси Уравнение параболы в комплексной форме(рис. 9а, 9б).

Если Уравнение параболы в комплексной форме, то, сделав замену Уравнение параболы в комплексной форме, перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форменазываются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Уравнение параболы в комплексной форме

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Уравнение параболы в комплексной форме— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Уравнение параболы в комплексной форме.

Отношение Уравнение параболы в комплексной форменазывается эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Уравнение параболы в комплексной форме, лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Уравнение параболы в комплексной форме.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид Уравнение параболы в комплексной форме.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной формеэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Уравнение параболы в комплексной форме(рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Уравнение параболы в комплексной форме

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форменазываются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Уравнение параболы в комплексной форме— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Уравнение параболы в комплексной форме.

Уравнение параболы в комплексной форме

Отношение Уравнение параболы в комплексной форменазывается эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Уравнение параболы в комплексной форме, лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Уравнение параболы в комплексной форме.

Гипербола с равными полуосями Уравнение параболы в комплексной форменазывается равносторонней.

Прямые с уравнениями Уравнение параболы в комплексной формев канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Уравнение параболы в комплексной форменазывают директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Уравнение параболы в комплексной формеэтой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Уравнение параболы в комплексной форменазывается фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Уравнение параболы в комплексной форме

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Уравнение параболы в комплексной форме— осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Уравнение параболы в комплексной форме

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Уравнение параболы в комплексной формеимеет координаты Уравнение параболы в комплексной форме.

Директрисой параболы называется прямая Уравнение параболы в комплексной формев канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Уравнение параболы в комплексной формеравно Уравнение параболы в комплексной форме.

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением Уравнение параболы в комплексной формев полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Уравнение параболы в комплексной формедо Уравнение параболы в комплексной формеи придавая значения через промежуток Уравнение параболы в комплексной форме; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

1) Вычисляя значения Уравнение параболы в комплексной формес точностью до сотых при указанных значениях Уравнение параболы в комплексной форме, получим таблицу:

Уравнение параболы в комплексной форме

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

Уравнение параболы в комплексной формеиз полярной в декартовую систему координат, получим: Уравнение параболы в комплексной форме.

Возведем левую и правую части в квадрат: Уравнение параболы в комплексной формеВыделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: Уравнение параболы в комплексной форме, где Уравнение параболы в комплексной форме

3) Это эллипс, смещенный на Уравнение параболы в комплексной формевдоль оси Уравнение параболы в комплексной форме.

Ответ: эллипс Уравнение параболы в комплексной форме, где Уравнение параболы в комплексной форме

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

Уравнение параболы в комплексной форме

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и bкоординаты центра окружности, а х и утекущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

Уравнение параболы в комплексной форме

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Уравнение параболы в комплексной форме

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

Уравнение параболы в комплексной форме

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Уравнение параболы в комплексной форме

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Уравнение параболы в комплексной форме

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

Уравнение параболы в комплексной форме

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Уравнение параболы в комплексной форме

Перепишем его в следующем виде:

Уравнение параболы в комплексной форме

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

Уравнение параболы в комплексной форме

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

Уравнение параболы в комплексной форме

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

Уравнение параболы в комплексной форме

и хорда Уравнение параболы в комплексной формеНайти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

Уравнение параболы в комплексной форме

в уравнение окружности, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Находим значение у:

Уравнение параболы в комплексной форме

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Уравнение параболы в комплексной форме

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

Уравнение параболы в комплексной форме

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

Уравнение параболы в комплексной форме

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Уравнение параболы в комплексной форме

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

Уравнение параболы в комплексной форме

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Уравнение параболы в комплексной форме

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Приведем подобные члены:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Но согласно определению эллипса

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Из последнего неравенства следует, что Уравнение параболы в комплексной формеа потому эту разность можно обозначить через Уравнение параболы в комплексной формеПодставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Наконец, разделим все члены последнего равенства на Уравнение параболы в комплексной формеокончательно получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Из того же уравнения (5) найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

Уравнение параболы в комплексной форме

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х | Уравнение параболы в комплексной форме

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс Уравнение параболы в комплексной форме симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда из равенства (2) имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда из равенства (1) имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

Уравнение параболы в комплексной форме

IV. Пусть х принимает такие значения, что

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

Уравнение параболы в комплексной форме

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Уравнение параболы в комплексной форме

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка Оего центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2bмалой осью, Отрезки и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Уравнение параболы в комплексной форме

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Уравнение параболы в комплексной форме

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Уравнение параболы в комплексной форме

Но согласно формуле (7)

Уравнение параболы в комплексной форме

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Уравнение параболы в комплексной форме

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Итак, большая ось эллипса Уравнение параболы в комплексной формеа малая

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Координаты вершин его будут:

Уравнение параболы в комплексной форме

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину Уравнение параболы в комплексной форме

Из равенства (7) имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, координаты фокусов будут:

Уравнение параболы в комплексной форме

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Уравнение параболы в комплексной форме

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Уравнение параболы в комплексной форме

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Уравнение параболы в комплексной форме

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

Уравнение параболы в комплексной форме

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

и, заменив в равенстве (2) F1М и их выражениями, напишем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > , и знак —, если F1М Уравнение параболы в комплексной форме

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Приведем подобные члены:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Согласно определению гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

При условии (5) разность Уравнение параболы в комплексной формеимеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через Уравнение параболы в комплексной форме

Сделав это в равенстве (4), получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Разделив последнее равенство на Уравнение параболы в комплексной форменайдем окончательно:

Уравнение параболы в комплексной форме

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Уравнение параболы в комплексной форме

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Из этого же уравнения (6) находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

III. Пусть

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, гипербола Уравнение параболы в комплексной формесимметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола Уравнение параболы в комплексной форме 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и Уравнение параболы в комплексной формето величина у будет изменяться от 0 до : Уравнение параболы в комплексной формет. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и Уравнение параболы в комплексной форме, то у будет изменяться опять от 0 до Уравнение параболы в комплексной формеа это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола Уравнение параболы в комплексной форме

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

Уравнение параболы в комплексной форме

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е. Уравнение параболы в комплексной форме

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Уравнение параболы в комплексной форме

Но согласно равенству (8)

Уравнение параболы в комплексной форме

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как для гиперболы с > а , то дробь

Уравнение параболы в комплексной форме

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Уравнение параболы в комплексной форме

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Уравнение параболы в комплексной форме

Но угловой коэффициент

Уравнение параболы в комплексной форме

Заменив в уравнении (1) Уравнение параболы в комплексной форменайденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Уравнение параболы в комплексной форме

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Уравнение параболы в комплексной форме

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

что невозможно, так как Уравнение параболы в комплексной форме

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола Уравнение параболы в комплексной формене имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Из уравнения гиперболы имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

Уравнение параболы в комплексной форме

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола Уравнение параболы в комплексной форме

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Уравнение параболы в комплексной форме

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Уравнение параболы в комплексной форме

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

Уравнение параболы в комплексной форме

положим а = b то это уравнение примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

Уравнение параболы в комплексной форме

так как отношение

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Уравнение параболы в комплексной форме

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Уравнение параболы в комплексной форме

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем Уравнение параболы в комплексной формеи Уравнение параболы в комплексной форме

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

Уравнение параболы в комплексной форме

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Из рисежа имеем:

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Положим для краткости

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда равенство (4) перепишется так:

Уравнение параболы в комплексной форме

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Уравнение параболы в комплексной форме

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда координаты фокуса F будут Уравнение параболы в комплексной форме

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Уравнение параболы в комплексной форме

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты Уравнение параболы в комплексной форме, найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Заменив и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

Уравнение параболы в комплексной форме

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Уравнение параболы в комплексной форме

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Отсюда следует: парабола Уравнение параболы в комплексной формепроходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола Уравнение параболы в комплексной форме симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и Уравнение параболы в комплексной формебудет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола Уравнение параболы в комплексной формесостоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Уравнение параболы в комплексной форме

Точка О называется вершиной параболы, отрезок фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

Уравнение параболы в комплексной форме

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

Уравнение параболы в комплексной форме

а потому ее уравнение примет вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

Уравнение параболы в комплексной форме

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Уравнение параболы в комплексной форме

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Расстояние фокуса от начала координат равно Уравнение параболы в комплексной форме, поэтому абсцисса фокуса будет Уравнение параболы в комплексной формеИтак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Уравнение параболы в комплексной формеСледовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

и уравнение параболы будет:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Положив в уравнении (1)

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А Уравнение параболы в комплексной форме

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Уравнение параболы в комплексной форме

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

тогда уравнение (5) примет вид

Уравнение параболы в комплексной форме

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Уравнение параболы в комплексной форме

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

Уравнение параболы в комплексной форме

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Уравнение параболы в комплексной форме

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Уравнение параболы в комплексной форме

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

Уравнение параболы в комплексной форме

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Уравнение параболы в комплексной форме

Преобразуем его следующим образом:

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

тогда уравнение (10) примет вид:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную Уравнение параболы в комплексной формеордината же ее

Уравнение параболы в комплексной форме

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Уравнение параболы в комплексной форме

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Уравнение параболы в комплексной форме

Решение:

Уравнение параболы в комплексной форме

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Уравнение параболы в комплексной форме

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Уравнение параболы в комплексной форме

Решая для этой цели систему уравнений

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна Уравнение параболы в комплексной формеордината же ее

Уравнение параболы в комплексной форме

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

Уравнение параболы в комплексной форме

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = Уравнение параболы в комплексной форме= 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±Уравнение параболы в комплексной форме, т.е. линия задается двумя функциями у = Уравнение параболы в комплексной форме(верхняя полуокружность) и у = — Уравнение параболы в комплексной форме(нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = Уравнение параболы в комплексной форме= R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + Уравнение параболы в комплексной форме
(х — Уравнение параболы в комплексной форме) + y² = Уравнение параболы в комплексной форме.

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(Уравнение параболы в комплексной форме;0) и радиусом Уравнение параболы в комплексной форме.

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(Уравнение параболы в комплексной форме; r) = 0. Если при этом зависимость r от Уравнение параболы в комплексной формеобладает тем свойством, что каждому значению Уравнение параболы в комплексной формеиз области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от Уравнение параболы в комплексной форме: r = f(Уравнение параболы в комплексной форме).

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3Уравнение параболы в комплексной форме, Уравнение параболы в комплексной форме∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Уравнение параболы в комплексной форме0Уравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной форме
r01Уравнение параболы в комплексной форме2Уравнение параболы в комплексной форме10-2

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 70. График функции r = 2 sin 3 Уравнение параболы в комплексной формев декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3Уравнение параболы в комплексной форме, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках Уравнение параболы в комплексной форме∈ [0; Уравнение параболы в комплексной форме], Уравнение параболы в комплексной форме∈ [Уравнение параболы в комплексной форме;π], Уравнение параболы в комплексной форме∈ [-Уравнение параболы в комплексной форме;Уравнение параболы в комплексной форме] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе Уравнение параболы в комплексной форме∈ [0; Уравнение параболы в комплексной форме], то в секторах Уравнение параболы в комплексной форме∈ [Уравнение параболы в комплексной форме; π], Уравнение параболы в комплексной форме∈ [— Уравнение параболы в комплексной форме; Уравнение параболы в комплексной форме] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах Уравнение параболы в комплексной форме∈ (Уравнение параболы в комплексной форме; Уравнение параболы в комплексной форме), Уравнение параболы в комплексной формеУравнение параболы в комплексной форме;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Уравнение параболы в комплексной формеРис. 71. График функции r = 2 sin 3 Уравнение параболы в комплексной формев полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:
Уравнение параболы в комплексной форме
Уравнение параболы в комплексной форме
Уравнение параболы в комплексной форме
Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4) Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной формеРис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = Уравнение параболы в комплексной форме= 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Уравнение параболы в комплексной формеУравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5) Уравнение параболы в комплексной форме

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
Уравнение параболы в комплексной форме= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:
Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: Уравнение параболы в комплексной форме, |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = Уравнение параболы в комплексной формеи нижней у = — Уравнение параболы в комплексной форме. При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = Уравнение параболы в комплексной форме(изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = Уравнение параболы в комплексной формеи у =-Уравнение параболы в комплексной форме, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 74. Гипербола

Отношение Уравнение параболы в комплексной форменазывается эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (Уравнение параболы в комплексной форме= Уравнение параболы в комплексной форме= Уравнение параболы в комплексной форме— 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = Уравнение параболы в комплексной форме= √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7) Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =Уравнение параболы в комплексной форме

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 75. Фокус и директриса параболы

Уравнение параболы в комплексной форме

Приравнивая, получаем:
Уравнение параболы в комплексной форме
(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = Уравнение параболы в комплексной форме, х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = Уравнение параболы в комплексной формеy, откуда 2р =Уравнение параболы в комплексной форме; р =Уравнение параболы в комплексной форме. Поэтому фокус имеет координаты F(0; Уравнение параболы в комплексной форме), а директриса — уравнение у = — Уравнение параболы в комплексной форме(см. рис. 77).

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Уравнение параболы в комплексной формеРис. 78. Гипербола Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ Уравнение параболы в комплексной форме= 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Уравнение параболы в комплексной формеРис. 79. Решение примера 6.7 Уравнение параболы в комплексной формеРис. 80. Решение примера 6.8

Видео:§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

§24 Каноническое уравнение параболы

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: Уравнение параболы в комплексной форме.

Ответ: Уравнение параболы в комплексной форме

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = Уравнение параболы в комплексной формеа = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: Уравнение параболы в комплексной форме.
Ответ: Уравнение параболы в комплексной форме.

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ Уравнение параболы в комплексной форме= 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса Уравнение параболы в комплексной формес полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: Уравнение параболы в комплексной форме= 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ Уравнение параболы в комплексной форме=1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: Уравнение параболы в комплексной форме=1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Уравнение параболы в комплексной форме

Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме Уравнение параболы в комплексной форме

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института


источники:

🎬 Видео

213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Построение параболы по ее директрисе и фокусуСкачать

Построение параболы по ее директрисе и фокусу

Парабола (часть 1). Каноническое уравнение параболы. Высшая математика.Скачать

Парабола (часть 1). Каноническое уравнение параболы. Высшая математика.

Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексная область. ПараболаСкачать

Комплексная область.  Парабола

Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степеньСкачать

Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степень

Видеоурок "Парабола"Скачать

Видеоурок "Парабола"

Как строить параболу? | TutorOnlineСкачать

Как строить параболу? | TutorOnline

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика
Поделиться или сохранить к себе: