Уравнение параболы со смещенной вершиной

Поворот гиперболы

Парабола

Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

Парабола со смещенной вершиной. Исследование квадратного трехчлена

Цели занятия:изучить свойства гиперболы и параболы; на примере лекции 11 найти аналогии в изучении кривых второго порядка; систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка»; расширить школьные знания о гиперболе и параболе.

Роль и место лекции

Школьные представления о гиперболе и параболе ограничены частными случаями параболы ( ) и гиперболы ( ). Понятия же эти более широкие. В лекции будут рассмотрены такие вопросы как, общее и каноническое уравнения гиперболы и параболы, полученные на основе их классических определений, поворот оси гиперболы, характерные признаки уравнений. Более широко они будут изучаться в теме «Квадратичные формы».

Гипербола.

Определение 1.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояния которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Зададим в декартовой системе координат фокусы F₁и F₂(рис. 1). Возьмем произвольную точку M(x,y), которая по определению должна принадлежать гиперболе. Проведем отрезки F₁M и F₂M (рис. 1). Согласно определению рассмотрим разность этих отрезков

, (1)

где – произвольное число.

Обозначим , тогда из => => или . Фокусы имеют координаты и , причем – гипербола. Представим выражение (1) в координатах:

.

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

,

.

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные в левую. Вынесем за скобки x 2 и a 2 :

. (2)

Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (2) через введенные обозначения

,

. (3)

Выражение (3) есть уравнение гиперболы в каноническом виде.

2. Исследование формы и расположения гиперболы по ее каноническому виду

Рассмотрим выражение (3) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то гипербола симметрична относительно осей начала координат. Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальной осью.

2. Гипербола L (3) пересекается с осями координат:

a) Пересечение с осью .

, . Из выражения (3) => , то есть точки и . Эти точки – действительные вершины гиперболы. – действительная ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

б) Пересечение с осью .

, . Из выражения (3) => , то есть точек пересечения с осью нет. Отложим на оси отрезки b от начала координат. Две точки и – мнимые вершины гиперболы. – мнимая ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

3. Из уравнения (3) найдем y :

. (4)

Для I четверти выражение (4) имеет вид . При увеличении x от a до (при x=a y=0) значение y увеличивается от 0 до . Поскольку гипербола симметрична относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, гипербола будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

4. Крутизна. Через проведем прямые, параллельные осям координат. Получим основной прямоугольник (рис. 2). Через диагонали прямоугольника проведем прямые l₁и l₂, такие, что , . Сравним ординаты l₁и координаты гиперболы L в первой четверти при одних и тех же значениях x

, => ,

то есть с увеличением x гипербола никогда не пересечет эти прямые, при этом бесконечно приближаясь к ним. Следовательно, l₁и l₂ – асимптоты гиперболы.

5. Эксцентриситет гиперболы аналогичен эллипсу

. (5)

Из (5) следует, что . Причем, если , гипербола вытягивается вдоль оси , если , гипербола вытягивается вдоль оси .

2.1. Частные случаи

1. Если F₁ и F₂ , то каноническое уравнение гиперболы принимает вид

. (6)

Причем – мнимая ось гиперболы, – действительная ось.

2. Если центр гиперболы лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение гиперболы (3) примет вид

. (7)

3. Поворот гиперболы

Примем , тогда уравнение гиперболы примет вид

.

Повернем систему координат по часовой стрелке на угол (рис. 3). Тогда асимптоты совпадут с координатными осями новой системы координат. Выразим старые координаты через новые

. (8)

С учетом получим

, . (9)

Подставим (9) в (3). Тогда выражение гиперболы в новой системе (повернутой) координат примет вид

или . Откуда

. (10)

Выражение (10) есть уравнение равносторонней гиперболы, осями симметрии которой являются асимптоты.

Признаки гиперболы:

— коэффициенты при квадратах имеют противоположные знаки;

— гипербола пересекает ось координат, одноименную с переменной в квадрате, при которой коэффициент имеет знак «-»;

— в случае поворота координатных осей в уравнении кривой второго порядка (см. Лекцию 11) появляются слагаемые произведения переменных.

Определение 2.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Зададим в декартовой системе координат фокус F(p/2,0)(рис. 4), где – параметр параболы. Проведем прямую d таким образом, чтобы она перпендикулярно пересекала ось в точке . Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать параболе. Проведем перпендикуляр из этой точки на прямую d. Обозначим точку их пересечения . Согласно определению рассмотрим длины отрезков и .

= =

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены

. (11)

Формула (11) – каноническое уравнение параболы

5. Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

1. Характерный признак параболы: одна текущая координата в квадрате, а другая в первой степени.

2. Поскольку , то парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии одноименна с текущей переменной, входящей в уравнение в 1-й степени.

3. Найдем точки пересечения уравнения параболы с координатными осями.

Пересечение с осью .

, . Из выражения (11) , то есть точка – вершина параболы, единственная точка пересечения с координатными осями.

4. Построим параболу. Для этого из (11) выразим . Для первой четверти это выражение примет вид . При увеличении x от 0 до (при x=0 y=0) значение y увеличивается от 0 до (рис.5).

Если F , то каноническое уравнение параболы имеет вид

. (12)

Вид параболы для различных уравнений

6. Парабола со смещенной вершиной

Исследование квадратного трехчлена

Задан квадратный трехчлен

. (13)

Это кривая второго порядка ( ). Поскольку одна переменная в квадрате, а другая в первой степени, то очевидно, что это парабола (обратное утверждение не верно рис.6). Выделим полные квадраты

. (14)

Обозначим , , . Тогда выражение (14) запишем в виде

. (15)

Это парабола со смещенной вершиной в точку .

Построить кривую, определяемую уравнением .

Приведем это уравнение к виду (15): , – это парабола вида (рис.5) с вершиной в точке (-4,-1) и ветвями, повернутыми влево (т.к. ). Ось симметрии параллельна оси как на рисунке.

В лекции изучены понятия «гипербола» и «парабола» в общем виде, построение графиков этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой.

— параметры a и b в выражениях (3, 6, 7) определяют основной прямоугольник гиперболы и следовательно ее асимптоты;

— эксцентриситет гиперболы > 1;

— эксцентриситет гиперболы определяет ее вытянутость;

— при поворотах кривых второго порядка в их общих уравнениях появляются слагаемые произведения текущих переменных;

— чем меньше p, тем она более вытянута парабола, а знак p определяет направление ветвей параболы;

— степень переменной определяет ось симметрии параболы.

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, — 659 с.

Лекция 16

Поверхности второго порядка

Видео:Как определить уравнение параболы по графику?Скачать

Смещение графика квадратичной функции y = (x — b)² + c

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (806 кБ)

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c_.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, c на график функций вида y=x 2 +с, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.

Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

Каждая группа получает план исследования , лист формата А3 для оформления результатов.

2. Исследовательская работа.

Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x 2 +с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b) 2 , одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b) 2 +c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

Функция	Результат
1 группа	у=x 2 +3;
2 группа	у=x 2 -5;
3 группа	у=(х-4) 2 ;
4 группа	у=(х-2) 2 +3.

1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х₀, y₀), задайте таблицей 4 точки).
3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x 2 .
4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

Любую квадратичную функцию y=ax 2 +bx+c, можно записать в виде y=a(x-x₀) 2 +y_0, где x₀ и y₀ выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x₀, c=y₀ являются координатами вершины параболы.

3. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа с классом.

1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

y=(х+6) 2

у=х 2 -2

Коэффициент b

Нет ошибки

Рисунок 1

Рисунок 2у=(х+5) 2 -1у=(х-2) 2 +2Коэффициент b и сКоэффициент bРисунок 3Рисунок 4

Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

4. Рефлексия.

Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

– Какие ошибки допустили группы?

– Достигнута ли цель занятия?

– Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

5. Итог урока (слайд №11):

На положение графика функции y=(x-b) 2 +c влияют коэффициенты b и c,

“+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

“-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Видео:Уравнение параболы #алгебра #графики #парабола #репетиторСкачать

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Видео:Как строить параболу со смещенной вершиной. График функции y=(x-m)2+n. График y=x2+bx+cСкачать

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Видео:§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Видео:Как думать в математике. Вершина параболы для чайников. #математика #алгебра #парабола #думатьСкачать

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Видео:Как написать уравнение параболы с помощью графикаСкачать

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

🎥 Видео

Как найти вершину параболы?Скачать

Графики как задать уравнение параболыСкачать

213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Как строить параболу? | TutorOnlineСкачать

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция. Вершина параболы и нули функции. 8 класс.Скачать

Вершина параболы и ось симметрии. ПримерСкачать

Видеоурок "Парабола"Скачать

Как найти все коэффициенты параболы по графику? Большой ответ на этот вопрос.Скачать