Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

Содержание
  1. 1 способ – ищем коэффициенты на графике
  2. 3 способ – используем преобразование графиков функций
  3. Уравнение параболы с вершиной в точке ( — 1 ; — 3), проходящей через точку (1 ; 1), имеет вид?
  4. Напишите уравнение параболы у = kx ^ 2, проходящей через точку K( — 2 ; — 20)?
  5. Уравнение прямой, проходящей через точки A(1 ; — 5) B( — 4 ; — 2) имеет вид ?
  6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки пересечения парабол и?
  7. График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке А(0 ; — 3), проходящий через точку В(3 ; 24) Задать эту функцию формулой?
  8. Ордината вершины параболы y = — x в квадрате + ax + 5 проходящей через точку (2 ; 5) равна?
  9. Задайте формулой квадратичную функцию график которой парабола с вершиной в точке (1 ; 11), проходящей через точку (0 ; 10)?
  10. Уравнение прямой, проходящей через точки А( — 3 ; 1) и В( — 5 ; 9), имеет вид?
  11. Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку (2 ; — 4) симметрично оси Oy?
  12. Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку ( — 1 ; — 3) симметрично оси Ox?
  13. Общее уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2, 3) и В(2, — 3) имеет вид?
  14. Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через
  15. Глава 20. Парабола
  16. 📽️ Видео

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим (9a) вместо (b):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение (a):

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

Видео:Как определить уравнение параболы по графику?Скачать

Как определить уравнение параболы по графику?

Уравнение параболы с вершиной в точке ( — 1 ; — 3), проходящей через точку (1 ; 1), имеет вид?

Алгебра | 5 — 9 классы

Уравнение параболы с вершиной в точке ( — 1 ; — 3), проходящей через точку (1 ; 1), имеет вид.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Составим систему уравнений с тремя неизвестными по имеющимся координатам вершины и одной точки на параболе :

Сначала выведу b и c через a : $left < << frac=-1> atop > right. = textgreater left < <atop > right. = textgreater left < <atop > right.$

Найду a : $a+b+c=1 \ a+2a+a-3=1 \ 4a=4 \ a=1$

Тогда b = 2a = 2, а c = a — 3 = — 2

Ответ : уравнение параболы : y = x² + 2x — 2.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Вершина параболы и ось симметрии. ПримерСкачать

Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Напишите уравнение параболы у = kx ^ 2, проходящей через точку K( — 2 ; — 20)?

Напишите уравнение параболы у = kx ^ 2, проходящей через точку K( — 2 ; — 20).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известноСкачать

№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно

Уравнение прямой, проходящей через точки A(1 ; — 5) B( — 4 ; — 2) имеет вид ?

Уравнение прямой, проходящей через точки A(1 ; — 5) B( — 4 ; — 2) имеет вид :

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки пересечения парабол и?

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки пересечения парабол и.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Квадратичная функция. Вершина параболы и нули функции. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция. Вершина параболы и нули функции. 8 класс.

График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке А(0 ; — 3), проходящий через точку В(3 ; 24) Задать эту функцию формулой?

График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке А(0 ; — 3), проходящий через точку В(3 ; 24) Задать эту функцию формулой!

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Как найти вершину параболы?Скачать

Как найти вершину параболы?

Ордината вершины параболы y = — x в квадрате + ax + 5 проходящей через точку (2 ; 5) равна?

Ордината вершины параболы y = — x в квадрате + ax + 5 проходящей через точку (2 ; 5) равна.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Построение параболыСкачать

Построение параболы

Задайте формулой квадратичную функцию график которой парабола с вершиной в точке (1 ; 11), проходящей через точку (0 ; 10)?

Задайте формулой квадратичную функцию график которой парабола с вершиной в точке (1 ; 11), проходящей через точку (0 ; 10).

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Уравнение прямой, проходящей через точки А( — 3 ; 1) и В( — 5 ; 9), имеет вид?

Уравнение прямой, проходящей через точки А( — 3 ; 1) и В( — 5 ; 9), имеет вид.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку (2 ; — 4) симметрично оси Oy?

Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку (2 ; — 4) симметрично оси Oy.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку ( — 1 ; — 3) симметрично оси Ox?

Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0 ; 0) и точку ( — 1 ; — 3) симметрично оси Ox.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Общее уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2, 3) и В(2, — 3) имеет вид?

Общее уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2, 3) и В(2, — 3) имеет вид.

Вы зашли на страницу вопроса Уравнение параболы с вершиной в точке ( — 1 ; — 3), проходящей через точку (1 ; 1), имеет вид?, который относится к категории Алгебра. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Видео:Как найти все коэффициенты параболы по графику? Большой ответ на этот вопрос.Скачать

Как найти все коэффициенты параболы по графику? Большой ответ на этот вопрос.

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через(1)

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Уравнение параболы с вершиной в точке 1 3 проходящей через

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

📽️ Видео

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Как найти уравнение параболы Найти коэффициент а через точки ОГЭ математика задание 5Скачать

Как найти уравнение параболы Найти коэффициент а через точки  ОГЭ математика задание 5

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Урок 100. Квадратичная функция и ее свойства (8 класс)Скачать

Урок 100. Квадратичная функция и ее свойства (8 класс)
Поделиться или сохранить к себе: