Уравнение оси координат в пространстве

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Содержание
  1. Система координат в пространстве
  2. Декартова система координат в пространстве
  3. Расстояние между двумя точками
  4. Уравнение сферы и шара
  5. Координаты середины отрезка
  6. Векторы в пространстве и действия над ними
  7. Векторы в пространстве
  8. Действия над векторами в пространстве
  9. Свойства суммы векторов
  10. Правило треугольника сложения векторов
  11. Правило параллелограмма сложения векторов
  12. Правило многоугольника сложения векторов
  13. Коллинеарные и компланарные векторы
  14. Скалярное произведение векторов
  15. Свойства скалярного произведения векторов
  16. Преобразование и подобие в пространстве
  17. Геометрические преобразования в пространстве
  18. Движение и параллельный перенос
  19. Центральная симметрия в пространстве
  20. Симметрия относительно плоскости
  21. Поворот и симметрия относительно оси
  22. Симметрия в природе и технике
  23. Подобие пространственных фигур
  24. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве
  25. Прямоугольная декартова система координат на плоскости
  26. Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
  27. Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости
  28. Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве
  29. Система координат в математике с примерами решения и образцами выполнения
  30. Координаты на прямой
  31. Координаты на плоскости
  32. Числовая ось
  33. Декартова система координат
  34. Полярная система координат
  35. Системы координат в пространстве
  36. Пространство
  37. 📹 Видео

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Уравнение оси координат в пространстве

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Уравнение оси координат в пространстве

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Уравнение оси координат в пространстве

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Уравнение оси координат в пространстве

Поэтому Уравнение оси координат в пространстве

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Уравнение оси координат в пространствеи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Уравнение оси координат в пространстве(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Уравнение оси координат в пространстве

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Уравнение оси координат в пространстверасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Уравнение оси координат в пространстве

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Уравнение оси координат в пространстве.

Ответ: Уравнение оси координат в пространстве

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Уравнение оси координат в пространстве

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Уравнение оси координат в пространстве

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Уравнение оси координат в пространстве

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Уравнение оси координат в пространстве

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Уравнение оси координат в пространстве

Координаты середины отрезка NL:

Уравнение оси координат в пространстве

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Уравнение оси координат в пространстве

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Уравнение оси координат в пространстве

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Уравнение оси координат в пространстве, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Уравнение оси координат в пространствеили Уравнение оси координат в пространствеили кратко Уравнение оси координат в пространстве(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Уравнение оси координат в пространстве(или Уравнение оси координат в пространстве). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Уравнение оси координат в пространствеили Уравнение оси координат в пространстве, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Уравнение оси координат в пространстве: Уравнение оси координат в пространстве(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Уравнение оси координат в пространствес началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Уравнение оси координат в пространствебудет иметь те же координаты: Уравнение оси координат в пространстве.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Уравнение оси координат в пространствезаписывают

такУравнение оси координат в пространстве. Длина вектора Уравнение оси координат в пространстве, заданного координатами,

вычисляется по формуле Уравнение оси координат в пространстве.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстверавны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Уравнение оси координат в пространстве

Следовательно, Уравнение оси координат в пространстве.

Докажите самостоятельно, что Уравнение оси координат в пространстве

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве(b1; b2; b3); называют вектор Уравнение оси координат в пространстве(рис. 20).

Уравнение оси координат в пространстве

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Уравнение оси координат в пространстве, а груз относительно крана вдоль вектора Уравнение оси координат в пространстве. В результате груз движется вдоль вектора Уравнение оси координат в пространстве. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствеимеют место следующие свойства:

a) Уравнение оси координат в пространстве— переместительный закон сложения векторов;

b) Уравнение оси координат в пространстве— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Уравнение оси координат в пространстве

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Уравнение оси координат в пространстве

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоУравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Уравнение оси координат в пространстве.

Вектор Уравнение оси координат в пространствеУравнение оси координат в пространстве​​​​​​= (Уравнение оси координат в пространствеa1; Уравнение оси координат в пространствеa2; Уравнение оси координат в пространствеa3) — называют умножением вектора

Уравнение оси координат в пространстве(a1; a2; a3) на число Уравнение оси координат в пространстве(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствеи чисел Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве

а)Уравнение оси координат в пространстве;

b)Уравнение оси координат в пространстве;

c) Уравнение оси координат в пространствеи направление вектора Уравнение оси координат в пространствеУравнение оси координат в пространстве

совпадает с направлением вектора Уравнение оси координат в пространстве, если Уравнение оси координат в пространстве,

противоположно направлению вектора Уравнение оси координат в пространстве, если Уравнение оси координат в пространстве. Уравнение оси координат в пространстве

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве. Если векторы

Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствесонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствеимеет место равенство Уравнение оси координат в пространстве, то они коллинеарны и наоборот.

Если Уравнение оси координат в пространстве, то векторы Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствесонаправлены Уравнение оси координат в пространстве, еслиУравнение оси координат в пространстве, то

противоположно направлены Уравнение оси координат в пространстве.

Свойство 2. Если векторы Уравнение оси координат в пространстве(a1; a2; a3) и Уравнение оси координат в пространстве(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Уравнение оси координат в пространствеи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Уравнение оси координат в пространстве( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Уравнение оси координат в пространстве(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Уравнение оси координат в пространстве(х — 1 ;у — 1; — 1) и Уравнение оси координат в пространстве(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Уравнение оси координат в пространстве.

Откуда находим Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространстве.

Итак,Уравнение оси координат в пространстве

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Уравнение оси координат в пространстве

Векторы Уравнение оси координат в пространстве(1; 0; 0), Уравнение оси координат в пространстве(0; 1; 0) и Уравнение оси координат в пространстве(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Уравнение оси координат в пространствеможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Уравнение оси координат в пространстве(рис. 29).

Уравнение оси координат в пространстве

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве, то любой вектор Уравнение оси координат в пространствеможно единственным образом представить в виде:

Уравнение оси координат в пространстве.

Здесь Уравнение оси координат в пространственекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространственазывают угол между направленными отрезками векторов Уравнение оси координат в пространстве= Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве=Уравнение оси координат в пространстве, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствеобозначают так Уравнение оси координат в пространстве.

Уравнение оси координат в пространстве

Скалярным произведением векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространственазывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Уравнение оси координат в пространствеили Уравнение оси координат в пространстве. По определению Уравнение оси координат в пространстве(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстверавно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Уравнение оси координат в пространстве, под воздействием силы Уравнение оси координат в пространстве(рис. 31), равна скалярному произведению силы Уравнение оси координат в пространствена расстояниеУравнение оси координат в пространстве: Уравнение оси координат в пространстве

Свойство. Если Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве(b1; b2; b3), то (Уравнение оси координат в пространствеУравнение оси координат в пространстве) = Уравнение оси координат в пространстве

Доказательство. Приложим векторы Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствек началу

координат О (рис.32). Тогда Уравнение оси координат в пространстве= Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Уравнение оси координат в пространстве

Тогда Уравнение оси координат в пространстве.

Однако, Уравнение оси координат в пространстве,Уравнение оси координат в пространстве

и Уравнение оси координат в пространстве.

Следовательно,Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Уравнение оси координат в пространстве, также выполняется

это равенство. Уравнение оси координат в пространстве

Свойства скалярного произведения векторов

1. Уравнение оси координат в пространстве— переместительное свойство.

2. Уравнение оси координат в пространстве— распределительное свойство.

3. Уравнение оси координат в пространстве— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Уравнение оси координат в пространстве, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Уравнение оси координат в пространстве, так как cos l80° = -1.

6. Уравнение оси координат в пространстве.

7. Если вектор Уравнение оси координат в пространствеперпендикулярен вектору Уравнение оси координат в пространстве, то Уравнение оси координат в пространстве. Следствия: а) Длина вектора Уравнение оси координат в пространстве; (1) b) косинус угла между векторами

Уравнение оси координат в пространстве: Уравнение оси координат в пространстве; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Уравнение оси координат в пространствеи

Уравнение оси координат в пространстве.

Уравнение оси координат в пространстве(3)

Пример:

Уравнение оси координат в пространстве— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Уравнение оси координат в пространстве.

Решение:

Найдём длины векторов Уравнение оси координат в пространстве:

Уравнение оси координат в пространстве,

Уравнение оси координат в пространстве.

Уравнение оси координат в пространстве,

Уравнение оси координат в пространстве.

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдите угол между векторами Уравнение оси координат в пространстве.

Решение:

Уравнение оси координат в пространствеИтак, Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдите Уравнение оси координат в пространстве, если Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространствеи угол между векторамиУравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстверавен Уравнение оси координат в пространстве.

Решение:

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Уравнение оси координат в пространстве; 2)Уравнение оси координат в пространстве, если Уравнение оси координат в пространстве.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствепо координатам:

1)Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве. Следовательно,Уравнение оси координат в пространстве.

ТогдаУравнение оси координат в пространстве.

2)Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространствеУравнение оси координат в пространстве.

Следовательно, Уравнение оси координат в пространстве.

Тогда Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдите произведениеУравнение оси координат в пространстве, если угол между векторами Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстверавен 30° и Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространстве.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве:

Уравнение оси координат в пространстве.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве.

Учитывая, что Уравнение оси координат в пространстве,

Уравнение оси координат в пространственайдём искомое произведение

Уравнение оси координат в пространстве

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Уравнение оси координат в пространстве

Пусть в пространстве даны вектор Уравнение оси координат в пространствеи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Уравнение оси координат в пространстве, если выполняется условие Уравнение оси координат в пространстве. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Уравнение оси координат в пространствепри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Уравнение оси координат в пространствефигуры F перешла в точку Уравнение оси координат в пространстве

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Уравнение оси координат в пространстве.

Тогда по определению получим:

Уравнение оси координат в пространствеили

Уравнение оси координат в пространстве.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Уравнение оси координат в пространстве= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Уравнение оси координат в пространстве.

Ответ: Уравнение оси координат в пространстве.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Уравнение оси координат в пространстве, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Уравнение оси координат в пространстве

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Уравнение оси координат в пространстве

Из этих уравнений получаем:

Уравнение оси координат в пространстве.

Ответ: Уравнение оси координат в пространстве

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Уравнение оси координат в пространстве

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Уравнение оси координат в пространстве, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Уравнение оси координат в пространствеотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Уравнение оси координат в пространствеотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Уравнение оси координат в пространствеотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Уравнение оси координат в пространстве

Симметрия в природе и технике

Уравнение оси координат в пространстве

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Уравнение оси координат в пространствеи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Уравнение оси координат в пространстве, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Уравнение оси координат в пространстве

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Уравнение оси координат в пространстве. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Уравнение оси координат в пространстве, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Уравнение оси координат в пространстве(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Уравнение оси координат в пространствекоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Уравнение оси координат в пространстве

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Уравнение оси координат в пространствеявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Уравнение оси координат в пространствепри Уравнение оси координат в пространстве= 1 отображает фигуру F в себя, а при Уравнение оси координат в пространстве=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Уравнение оси координат в пространствераз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Уравнение оси координат в пространстве

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Уравнение оси координат в пространстве

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если — 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Уравнение оси координат в пространстве

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у — y M . На координатных осях это выглядит так:

Уравнение оси координат в пространстве

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Уравнение оси координат в пространстве

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Уравнение оси координат в пространстве

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M — это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Видео:Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать

Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.

Система координат в математике с примерами решения и образцами выполнения

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

Уравнение оси координат в пространстве

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Координаты на прямой

Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление — положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).

Уравнение оси координат в пространстве

Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О.

Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.

Определение:

Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.

Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором—букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.

Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным; если же его направление противоположно направлению оси, то — отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:

Уравнение оси координат в пространстве

Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу:

Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.

Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.

Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать

Уравнение оси координат в пространстве

(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или

Уравнение оси координат в пространстве

Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, поскольку его начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)

Уравнение оси координат в пространстве

поэтому можно написать

Уравнение оси координат в пространстве

Получен следующий результат:

Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.

Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси.

Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.

Точку А, имеющую координатной число х, будем обозначать А (х).

Уравнение оси координат в пространстве

Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты:

Уравнение оси координат в пространстве

Будем также писать

Уравнение оси координат в пространстве

Если даны точки А(х1) и В(х2), то на основании формул (3) и (4) получим

Уравнение оси координат в пространстве

т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала.

Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.

Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Если даны точки А (+4), В (+8), то отрезок АВ = (+8) — (+4), а его длина |АВ|= |+ 4 | = 4.

Если даны точки М (+5) и Р (+3), то отрезок МР = (+3)—(+5) = —2, а его длина |МР| = | —2| = 2. Даны две точки: Q (+ 3) и S (—4). Длина отрезка

Уравнение оси координат в пространстве

Даны две точки R (— 6) и Т (—2); отрезок = ( — 2) — (—6) = +4, а его длина | | = 4.

Пример:

Начало отрезка АВ находится в точке А (—950), а конец—в точке В ( —1200); найти его направление и длину.

Отрезок АВ = ( — 1200)—( — 950) = —250. Так как он

получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна | АВ | = | —250 | = 250.

Задача:

На координатной оси даны две точки: A (x1) и В (x2) Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении т : п.

Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть

Уравнение оси координат в пространстве

Обозначая координату искомой точки С через х и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что АС = х—х1, СВ = х2 — х. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь

Уравнение оси координат в пространстве

Решая последнее уравнение относительно х, найдем:

Уравнение оси координат в пространстве

Это и есть координата искомой точки.

Пример:

Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка А (+ 3) и конец В ( + 5) (рис. 5).

Уравнение оси координат в пространстве

Здесь т = 1, п = 2, х1=-3, х2 = 5. Применяя формулу (7), получим

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найти точку М, делящую расстояние между точками Р ( — 2) и Q (—9) в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь т = 3, п = 4, х1 = —2, х2 = —9. По формуле (7) находим

Уравнение оси координат в пространстве

Если т = n т. е. точка С делит отрезок АВ пополам, тогда формула (7) перепишется так:

Уравнение оси координат в пространстве

Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найдем середину отрезка, заключенного между точками А (—6) и B (4) (рис. 6).

Применяя формулу (8), получим, что

Уравнение оси координат в пространстве

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Координаты на плоскости

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На каждой из этих прямых зададим направление, указав его стрелкой (рис. 7).

Уравнение оси координат в пространстве

Установим масштаб, общий для обеих прямых, а за начало отсчета выберем точку О.

Определение:

Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) на-правления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.

Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.

Возьмем произвольную точку M, лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось Ох через А, а проекцию на ось Оу через В. Обозначим координату точки А (по оси Ох) через х, а координату точки В (по оси Оу) через у. Введем определение:

Определение:

Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось Ох. Ординатой точки называется координата ее проекции на ось Оу.

Абсциссу точки обычно обозначают буквой х, ординату— буквой у. Точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: М(х, у).

Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.

Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.

Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

Третьей четвертью — та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой, — та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7), На рис. 8 указаны точки M1 (5, 2), М2 ( — 1, 1), М3 (-1, -3), М4 (2, -3). Заметим, что абсцисса х = ОА по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как ОА = ВМ (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки М от оси абсцисс, так как ОВ = АМ.

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найти точку Р( — 4, 2) (рис. 9), Возьмем на оси Ох точку А с координатой —4, ее координатный отрезок ОА = —4. На оси Оу возьмем точку В с координатным отрезком ОВ= 2. Восставим перпендикуляры к осям из точек А и В, точка их пересечения и даст искомую точку Р.

Уравнение оси координат в пространстве

Задача:

Найти расстояние между точками Р (х1, у1) и Q( х1, у1 ). Иначе говоря, нужно найти длину отрезка РQ(рис. 10).

Обозначим проекцию точки Р на ось Ох через А1, а ее проекцию на ось Оу — через В1. Проекцию точки Q на ось Ох обозначим через А2 и через В2— ее проекцию на ось Oy. Тогда ОА1 = х1, ОВ1 = y1, ОА2 = х2, ОВ2 = у2. Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с прямой A2Q в точке К. Рассмотрим треугольник PKQ. По теореме Пифагора имеем

Уравнение оси координат в пространстве

Но РК = А1А2, KQ = B1B2, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки А1А2 и В1В2 будут равны

Уравнение оси координат в пространстве

Подставляя полученные выражения в (*), получим

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей координат.

Примечание:

Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.

Пример:

Найти расстояние между точками Р (— 2, — 1) и Q (2, 2). Применяя формулу (1), получим

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найти длину отрезка MN, если даны М (8, 2) и N(2, 10). Применяя формулу (1), получим

Уравнение оси координат в пространстве

Задача:

Найти точку С, делящую отрезок PQ в отношении т : п, если известны координаты точек Р (х1, у1) и Q (х2, у2). По условию задачи надо найти такую точку С, чтобы было выполнено равенство

Уравнение оси координат в пространстве

Решение:

Обозначим, как и выше, проекции точки Р на оси через А1 и В1, а проекции точки Q—через А2 и В2; тогда ОА1 = х1 , OB1 = y1, ОА2 =х2, ОВ2=у2 (рис. 11). Кроме того, обозначим координаты искомой точки С через х и у, а ее проекции на оси — через А и В, т. е. ОА = х, ОВ = у.

Так как прямые А1Р, АС и А2Q параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что

Уравнение оси координат в пространстве

Но А1А = ОА — ОА1 = х—х1, АА2 = ОА2 — ОА = х2—х; поэтому, подставляя в равенство (*), будем иметь уравнение

Уравнение оси координат в пространстве

решая которое найдем абсциссу точки С:

Уравнение оси координат в пространстве

Рассуждая аналогично о проекциях на ось Оу, т. е. о точках В1, В и В2, получим ординату точки С, делящей отрезок в отношении т : п,

Уравнение оси координат в пространстве

Итак, искомая точка С имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).

Пример:

Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок PQ, где Р (4, —3) и Q (8, 0). Здесь х1 = 4, у1 = — 3, х2 = 8, у2 = 0, т = 1, п = 2. Применяя формулы (2) и (3), получим:

Уравнение оси координат в пространстве

Пример:

Найти точку, делящую расстояние между точками А (4, 2) и B (8, 10) в отношении 3 : 1. Здесь х1=-4, у1 = 2, х2 = 8, у2= 10, т = 3, п = 1. По формулам (2) и (3) находим:

Уравнение оси координат в пространстве

Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка С делит отрезок РQ пополам, то т = n, поэтому

Уравнение оси координат в пространстве

т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.

Задача:

Даны три вершины треугольника: А (7, 0), В (4, 4) и С (7, 10). Найти длину биссектрисы угла A (рис. 12).

Уравнение оси координат в пространстве

Найдем длины сторон АВ и АС. Для этого применим формулу (1):

Уравнение оси координат в пространстве

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной ВС через М, а ее координаты—через х и у. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка М делит отрезок ВС в отношении 5 : 10 = Уравнение оси координат в пространстве; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:

Уравнение оси координат в пространстве

Теперь вычисляем длину биссектрисы между точками А(7, 0) и М(5, 6):

Уравнение оси координат в пространстве

Задача:

Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(4, 6), В(—8, 10), С( —2, —6) (рис. 13).

Уравнение оси координат в пространстве

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через М середину стороны АС; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:

Уравнение оси координат в пространстве

т. е. М(19 0). Точка Р пересечения медиан делит отрезок ВМ в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2)

Уравнение оси координат в пространстве

Итак, искомая точка

Уравнение оси координат в пространстве

Задача:

Записать условие того, что точка М (х, у) находится на расстоянии По формуле (1) имеем

Уравнение оси координат в пространстве

или, возводя обе части равенства в квадрат, получим

Уравнение оси координат в пространстве

Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными х и у. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки С. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки С равно 5. Это геометрическое место есть окружность.

Следовательно, можно сказать, что уравнение (*) есть уравнение окружности с центром в точке С и радиуса 5.

В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными х и у и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Числовая ось

Числовой осью называют направленную прямую, на которой указывается начальная точка О и задается некоторый «эталон» длины Е. Каждой точке Уравнение оси координат в пространствеэтой прямой отвечает вещественное число, равное длине отрезка Уравнение оси координат в пространствеесли Уравнение оси координат в пространстверасположено правее точки О, и равное этой

Уравнение оси координат в пространстве

длине со знаком минус — в противном случае (см. рис. 1 а). Числовую ось будем обозначать Уравнение оси координат в пространстве(смысл этого обозначения прояснится ниже).

Указанное соответствие между точками числовой оси Уравнение оси координат в пространствеи множеством вещественных чисел Уравнение оси координат в пространствеявляется взаимно однозначным, т. е. каждой точке Уравнение оси координат в пространствесоответствует единственное число Уравнение оси координат в пространстве, обратно, каждому числу Уравнение оси координат в пространствесоответствует единственная точка Уравнение оси координат в пространствеТаким образом, множество Уравнение оси координат в пространстве. вещественных чисел можно отождествлять с числовой осью Уравнение оси координат в пространстве, чем мы будем впредь постоянно пользоваться.

Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | Математика

Декартова система координат

Декартовой (прямоугольной) системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве, имеющие общее начало О и одинаковые единицы масштаба (см. рис. 1 б). Ось Уравнение оси координат в пространственазывают осью абсцисс, а ось Уравнение оси координат в пространствеосью ординат. Плоскость Уравнение оси координат в пространственазывают координатной плоскостью и обозначают Уравнение оси координат в пространстве

Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствесоответственно. Декартовыми координатами точки М называют числа, которым соответствуют точки А к В. Например, точка Уравнение оси координат в пространствеимеет декартовы координаты Уравнение оси координат в пространствечто записывается в виде Уравнение оси координат в пространствеТочка О имеет координаты (0,0).

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть.  11 класс.

Полярная система координат

В плоскости зададим луч Уравнение оси координат в пространстве— полярную ось, выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (см. рис. 2 а). Произвольная точка М плоскости определяется парой чисел Уравнение оси координат в пространственазываемой ее полярными координатами, где р — длина отрезка ОМ, а Уравнение оси координат в пространстве— выраженный в радианах угол между ОМ и осью Уравнение оси координат в пространстве. Угол в считается положительным, если откладывается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Точка О имеет полярные координаты Уравнение оси координат в пространствегде Уравнение оси координат в пространстве— любой угол.

Уравнение оси координат в пространстве

Полярные и декартовы координаты, заданные на одной плоскости (см. рис. 2 6), связаны очевидными равенствами:

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Полярные координаты удобны для задания многих кривых. Например, уравнение р=2 описывает окружность, изображенную на рис. За. Уравнение Уравнение оси координат в пространствеописывает спираль Архимеда (рис . Уравнение Уравнение оси координат в пространствеописывает окружность с диаметром 1 и с центром в точке Уравнение оси координат в пространстве(рис. Зв).

Видео:§35 Формулы поворота координатных осейСкачать

§35 Формулы поворота координатных осей

Системы координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве, называемыми соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис. 4 а). Проcтранство Уравнение оси координат в пространствеобозначают Уравнение оси координат в пространстве. Положение точки М в Уравнение оси координат в пространствеопределяется тройкой чисел Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Аналогами полярной системы координат в пространстве служат цилиндрическая и сферическая системы координат.

Цилиндрическая система координат (рис. 4 б) представляет собой объединение полярной системы координат в плоскости Уравнение оси координат в пространствес аппликатой z:

Уравнение оси координат в пространстве

где Уравнение оси координат в пространстве

Сферическая система координат (рис. 4 в) связана с декартовой системой равенствами

Уравнение оси координат в пространстве

где Уравнение оси координат в пространстве

Видео:Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | Инфоурок

Пространство

Пространство Уравнение оси координат в пространстве

На плоскости и в пространстве положение точки в декартовых координатах полностью определяется соответственно, парой и тройкой чисел вида [Уравнение оси координат в пространстве) и (x,y,z). Желая обобщить эти геометрические подходы, в анализе вводят понятие пространства Уравнение оси координат в пространстве

Упорядоченную систему из Уравнение оси координат в пространствевещественных чисел Уравнение оси координат в пространственазывают Уравнение оси координат в пространстве-мерной точкой, а множество всех Уравнение оси координат в пространстве-мерных точек называют Уравнение оси координат в пространствемерным пространством Уравнение оси координат в пространствеили короче — пространством Уравнение оси координат в пространстве.

Понятие пространства Уравнение оси координат в пространствеестественно дополнить понятиями основных операций над его элементами. По определению полагают

Уравнение оси координат в пространстве

Наконец, обобщая известную из аналитической геометрии формулу, определяют расстояние между двумя точками Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве

Прямую, плоскость и пространство можно рассматривать как пространства Уравнение оси координат в пространстве, Уравнение оси координат в пространствеи Уравнение оси координат в пространствесоответственно. Ниже это будет практиковаться постоянно.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Уравнение оси координат в пространстве

Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве Уравнение оси координат в пространстве

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📹 Видео

§51 Метод координат в пространствеСкачать

§51 Метод координат в пространстве

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: