Уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид x a 2 y b 2 r2 (8 видео)

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = ( sqrt ), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

Видео:9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

Уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид x a 2 y b 2 r2

Уравнение окружности имеет вид , где и – координаты центра окружности .

Пусть задана окружность на плоскости , где точка , центр окружности – имеет координаты и . По определению окружности для любой точки , лежащей на окружности , верно . Но в соответствии с теоремой 10.2 . Таким образом, координаты и любой точки окружности удовлетворяют уравнению = .

Обратно: любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки равно . Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности .

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Докажите, что окружность радиуса R с центром в точке A(a;b) имеет уравнение вида

Пусть точка M(x;y) принадлежит окружности радиуса R с центром A(a;b). Тогда точка M удалена от точки A на расстояние, равное R, т.е. MA = R. По формуле для расстояния между двумя точками на плоскости

Обратно, пусть точка M(x;y) такова, что (x — a) 2 + (y — b) 2 = R 2 . Тогда её расстояние от точки A(a;b) равно R. Значит, точка M лежит на окружности радиуса R с центром в точке A.