Уравнение окружности формула общий вид

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

Уравнения окружности — формулы, общие формы и примеры задач

Уравнение окружности имеет общий вид x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, который можно использовать для определения радиуса и центра окружности.

Уравнение круга, которое вы узнаете ниже, имеет несколько форм. В разных случаях уравнение может быть разным. Поэтому хорошо его поймите, чтобы запомнить наизусть.

Круг — это набор точек, равноудаленных от точки. Координаты этих точек определяются путем составления уравнений. Это определяется на основе длины радиуса и координат центра круга.

Круговые уравнения

Существуют различные виды уравнений, а именно уравнения, составленные из центральной точки и радиуса, и уравнения, которые можно найти для центральной точки и радиуса.

Общее уравнение круга

Вот общее уравнение, как показано ниже:

Исходя из приведенного выше уравнения, можно определить центральную точку и радиус:

В центре P (a, b) и радиуса r

Из круга, если вы знаете центральную точку и радиус, вы получите формулу:

Если вы знаете центральную точку круга и радиус круга, где (a, b) — центр, а r — радиус круга.

Из полученного выше уравнения мы можем определить, лежат ли включая точки на окружности, внутри или снаружи. Чтобы определить местоположение точки, используя подстановку точки в переменных x и y, а затем сравнивая результаты с квадратом радиуса круга.

At с центром O (0,0) и радиусом r

Если центральная точка находится в точке O (0,0), то сделайте замену в предыдущей части, а именно:

Из приведенного выше уравнения можно определить положение точки на окружности.

Вне круга: Также прочтите: Art Is: Определение, Функция, Типы и Примеры [FULL]

Общий вид уравнения можно выразить в следующих формах.

(x — a) 2 + (y — b) 2 = r2, или

X2 + y2 — 2ax — 2by + a2 + b2 — r2 = 0, или

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, где P = -2a, Q = -2b и S = ​​a2 + b2 — r2

Пересечение линий и окружностей

По кругу с уравнением x2 + y2 + Ax + By + C = 0 можно определить, не касается ли линия h с уравнением y = mx + n, не задевает или не пересекает ее, используя принцип дискриминанта.

Подставив уравнение 2 в уравнение 1, вы получите квадратное уравнение, а именно:

Из квадратного уравнения выше, сравнивая значения дискриминантов, можно увидеть, не задевает ли линия / не пересекает, не задевает или не пересекает круг.

Прямая h не пересекает / не задевает круг, поэтому D 0

Уравнения касательных к окружностям

1. Уравнение касательных через точку на окружности.

Касательные к окружности точно соответствуют точке, расположенной на окружности. Из точки пересечения касательной и окружности можно определить уравнение прямой касательной.

Уравнение касательной к окружности, проходящей через точку P (x ₁ , y ₁ ), может быть определено, а именно:

• Форма

Уравнение касательной

• Форма

Уравнение касательной

• Форма

Уравнение касательной

Пример проблемы:

Уравнение касательной через точку (-1,1) на окружности

Знать уравнение круга

где A = -4, B = 6 и C = -12 и x ₁ = -1, y ₁ = 1

Итак, уравнение касательной

2. Касательные уравнения к градиенту

Если прямая с наклоном m касается окружности,

тогда уравнение касательной:

тогда уравнение касательной:

тогда уравнение касательной, заменив r на,

3. Уравнения касательных к точкам вне окружности.

Из точки вне круга можно провести две касательные к окружности.

Читайте также: Демократия: определение, история и типы [FULL]

Для нахождения касательного уравнения используется формула уравнения регулярной прямой, а именно:

Однако из этой формулы значение крутизны прямой неизвестно. Чтобы найти наклон прямой, подставьте уравнение для уравнения круга. Так как прямая является касательной, то из уравнения результат подстановки для значения D = 0, и значение m будет получено

Пример проблем

Пример проблемы 1

Круг имеет центр (2, 3) и имеет диаметр 8 см. Уравнение круга .

Обсуждение:

Поскольку d = 8 означает r = 8/2 = 4, поэтому уравнение для образующейся окружности имеет вид

(x — 2) ² + (y — 3) ² = 42

x² — 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² — 4x — 6y — 3 = 0

Пример проблемы 2

Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x — 4 y + 4 = 0!

Обсуждение:

Если известно, что центр окружности ( a , b ) = (5,1), а касательная к окружности равна 3 x — 4 y + 4 = 0, то радиус окружности определяется следующим образом.

Таким образом, общее уравнение для круга выглядит следующим образом.

Таким образом, общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x — 4 y + 4 = 0, имеет вид

Пример проблемы 3

Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (-3,4), нарушающего ось Y!

Обсуждение:

Прежде всего, давайте сначала нарисуем график круга, который с центром в (-3,4) и оскорбляет ось Y!

Основываясь на изображении выше, можно увидеть, что центр круга находится в координате (-3,4) с радиусом 3, так что:

Таким образом, общее уравнение с центром в точке (-3,4) и нарушением оси Y имеет вид

В некоторых случаях радиус окружности неизвестен, но известна касательная. Итак, как определить радиус круга? Посмотрите на следующую картинку.

Изображение выше показывает, что касательная к уравнению px + qy + r = 0 относится к окружности с центром в точке C ( a, b ). Радиус можно определить по следующему уравнению. а, б ). Радиус можно определить по следующему уравнению.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

🎦 Видео

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение окружностиСкачать

Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| ИнфоурокСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрияСкачать

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Составляем уравнение окружностиСкачать

8 класс. Геометрия. Уравнение окружности.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружностиСкачать

Уравнение окружности на ЕГЭ😍 #математика #егэ #математикаегэ #олимпиадыСкачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать