Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Гиперболоиды: однополостный и двуполостный

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Определение гиперболоида

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

В уравнениях (4.48), (4.49) — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки однополостного гиперболоида (4.48) и две точки двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат , — продольной осью гиперболоидов. Числа , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Видео:Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.Скачать

Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при получаем главную гиперболу , а при — главную гиперболу

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

При любом значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями при различных значениях параметра , горловой эллипс (при ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

При уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает двуполостный гиперболоид. При уравнение имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах . При c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> получаем уравнение эллипса с полуосями . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями (для двуполостного гиперболоида при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» />) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси гиперболу (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны , называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

Видео:571. Однополостный гиперболоидСкачать

571. Однополостный гиперболоид

Постройте однополостный гиперболоид

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Уравнение однополостного гиперболоида как построить Microsoft Excel

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Задание 1. Постройте однополостный гиперболоид

1. Откройте файл под именем «Книга 1». На Листе 1 постройте поверхность, представляемую уравнением:

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Такая поверхность называется однополосный гиперболоид.

2. Для построения этой поверхности решите заданное уравнение относительно z

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

3. Вам предстоит создать две таблицы для вычисления двух математических функций с двумя переменными

Уравнение однополостного гиперболоида как построитьи Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Первая функция представит однополосный гиперболоид в положительной полуплоскости, а вторая – в отрицательной.

Пусть Уравнение однополостного гиперболоида как построитьи Уравнение однополостного гиперболоида как построить. Для упрощения формул примите: a = b = c =1.

4. В таблице для вычисления первой функции (рис. 1) приведена формула, которую следует копировать по строкам и столбцам

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

5. Аналогично будет выглядеть формула для вычисления второй функции. (См. рис. 2)

Уравнение однополостного гиперболоида как построить Уравнение однополостного гиперболоида как построить

6. Постройте поверхности, выбрав диаграмму под названием «Поверхность» (Рис. 3, Рис. 4).

Уравнение однополостного гиперболоида как построить Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Задание 2. Постройте двуполостный гиперболоид

На Листе 3 постройте поверхность, представляемую уравнением

Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Такая поверхность называется двуполостный гиперболоид.

В таблице для вычисления первой функции (Рис. 5) приведена формула, которую следует скопировать по строкам и столбцам.

Уравнение однополостного гиперболоида как построить Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Аналогично будет выглядеть формула для вычислений второй функции. (См. рис. 6)

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

6.6. Гиперболоиды

Их тоже два, и это тоже нечастые гости в массовой практике:

Однополостной гиперболоид

Уравнение однополостного гиперболоида как построитьимеет каноническое уравнение Уравнение однополостного гиперболоида как построить, числа Уравнение однополостного гиперболоида как построитьназывают полуосями гиперболоида. Если его рассекать плоскостями Уравнение однополостного гиперболоида как построить, то будут получаться эллипсы: Уравнение однополостного гиперболоида как построить, которые неограниченно увеличиваются, когда мы уходим по оси Уравнение однополостного гиперболоида как построитьвверх или вниз к бесконечности. Эллипс, лежащий в плоскости Уравнение однополостного гиперболоида как построить: Уравнение однополостного гиперболоида как построитьназывается горловым эллипсом, он самый маленький и хорошо просматривается на чертеже.

Если рассекать поверхность плоскостями, параллельными плоскостям Уравнение однополостного гиперболоида как построить, то в сечениях будут получаться гиперболы:
Уравнение однополостного гиперболоида как построить
и эти гиперболы хорошо видны на поверхности. А посему и «гиперболоид».

Однополостной гиперболоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, осей и начала координат.

Если Уравнение однополостного гиперболоида как построить, то мы имеем дело с гиперболоидом вращения: Уравнение однополостного гиперболоида как построить– он получен вращением гиперболы Уравнение однополостного гиперболоида как построитьвокруг оси Уравнение однополостного гиперболоида как построить. Горизонтальные же сечения представляют собой окружности, в чём мы убедимся на конкретном примере:

Задача 182

Построить тело, ограниченное поверхностями Уравнение однополостного гиперболоида как построить
Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Решение: найдём пересечение гиперболоида с плоскостью Уравнение однополостного гиперболоида как построить: Уравнение однополостного гиперболоида как построитьгорловая окружность радиуса 1. Найдём пересечение с плоскостью Уравнение однополостного гиперболоида как построить:
Уравнение однополостного гиперболоида как построить– окружность с центром в точке Уравнение однополостного гиперболоида как построитьрадиуса Уравнение однополостного гиперболоида как построить.

Изобразим на чертеже обе окружность и соединим их направляющими – 4 ветвями гиперболы.

Такой вот получился симпатичный горшок. …А вверху у меня чертёж, к слову, ассоциируется с унитазом 🙂

Двуполостной гиперболоид

имеет похожее каноническое уравнение Уравнение однополостного гиперболоида как построить. Поверхность представляет собой 2 бесконечные чаши с вершинами Уравнение однополостного гиперболоида как построить:
Уравнение однополостного гиперболоида как построить

Для двуполостного гиперболоида справедливы почти все утверждения, что и для однополостного. Горизонтальные сечения плоскостями представляют собой эллипсы, а вертикальные – гиперболы. Но, естественно, тут нет горлового эллипса. Однако в плане симметрии всё так же.

Вообще, оба типа поверхностей можно назвать эллиптическими гиперболоидами, но это название не учитывает различие между ними. И поэтому их различают по количеству полостей – у предыдущего одна полость, а у этого – две.

И да, частный случай: Уравнение однополостного гиперболоида как построить– есть гиперболоид вращения.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 183

Построить тело, ограниченное поверхностями Уравнение однополостного гиперболоида как построить

С поверхностями всё! Теперь пару ласковых о координатах.

Как вы заметили, во всех случаях у нас фигурировала прямоугольная система координат, но в некоторых задачах бывают выгодны другие системы:

🌟 Видео

Поверхности 2-го порядка | Лекция 14 | ЛинАл | СтримСкачать

Поверхности 2-го порядка | Лекция 14 | ЛинАл | Стрим

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

§23 Построение гиперболыСкачать

§23 Построение гиперболы

Образование поверхностей перемещением кривых, 1973Скачать

Образование поверхностей перемещением кривых, 1973

Однополостный гиперболоидСкачать

Однополостный гиперболоид

Поверхности второго порядка. Поверхности вращенияСкачать

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Гармоническая математика однополостного гиперболоидаСкачать

Гармоническая математика однополостного гиперболоида

Практическое занятие: поверхности второго порядкаСкачать

Практическое занятие: поверхности второго порядка

Поверхности 2 порядкаСкачать

Поверхности 2 порядка

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Поверхности 2го порядка. КлассификацияСкачать

Поверхности 2го порядка. Классификация
Поделиться или сохранить к себе: