Про уравнения - легко » Статьи

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

Обновлено
Содержание
  1. Решение уравнений с дробями
  2. Понятие дроби
  3. Основные свойства дробей
  4. Понятие уравнения
  5. Понятие дробного уравнения
  6. Как решать уравнения с дробями
  7. 1. Метод пропорции
  8. 2. Метод избавления от дробей
  9. Что еще важно учитывать при решении
  10. Универсальный алгоритм решения
  11. Примеры решения дробных уравнений
  12. Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами
  13. Дробно-рациональные уравнения
  14. Что такое дробно-рациональные уравнения
  15. Как решаются дробно-рациональные уравнения
  16. Примеры задач с ответами для 9 класса
  17. 🔥 Видео

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классе

Решение уравнений с дробями

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shorts

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

дробное уравнение как решать для 6 класса

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Уравнение. 5 класс.Скачать

Уравнение. 5 класс.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Уравнение обыкновенных дробей с буквами Уравнение обыкновенных дробей с буквами

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Уравнение обыкновенных дробей с буквами Уравнение обыкновенных дробей с буквами

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )Скачать

Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияУравнение обыкновенных дробей с буквами

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

Переведем новый множитель в числитель..

Уравнение обыкновенных дробей с буквами

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Уравнение обыкновенных дробей с буквами

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

    • Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

    Решение уравнений, 6 класс

    Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами

    Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей. А так же дробей с целой частью и десятичных дробей.
    Основные возможности:

    1. Сложение, вычитание, деление и умножение дробей.
    2. Расчет дробей с подробнейшим решением.
    3. Расчет дробей со степенями, скобками и буквами.
    4. Сокращение дробей.
    5. Поддержка до трех дробей онлайн.
    Поставить LIKEи поделиться ссылкой
    • Калькулятор
    • Инструкция
    • Теория
    • История
    • Сообщить о проблеме

    Шаг:1Шаг:2Шаг:3Шаг:4Шаг:5Шаг:6Шаг:7Шаг:8Ответ
    13+49
    7
    		—2
    6
    7
    		=
    13+49
    7
    		—
    6+14
    7
    		=
    62
    7
    		—
    6+14
    7
    		=
    62
    7
    		—
    20
    7
    		=
    62-20
    7
    		=
    42
    7
    		=
    6
    1
    		=6=6

    Стало:
    13+49
    7
    		—2
    6
    7
    Стало:
    13+49
    7
    		—
    6+14
    7
    Стало:
    62
    7
    		—
    6+14
    7
    Стало:
    62
    7
    		—
    20
    7
    Стало:
    62-20
    7
    Стало:
    42
    7
    Стало:
    6
    1

    Постоянная ссылка на результат этого расчета

    На данном калькуляторе можно посчитать сложение вычитание деление или умножение дробей.
    Калькулятор умеет:

    1. Вносить целую часть дроби в числитель для смешанных дробей.
    2. Расчет дробей со скобками- поддержка до двух уровней вложенности скобок.
    3. Расчет дробей со степенями — степенью может быть только число.
    4. Расчет дробей с буквами — любые анг. буквы или символы.
    5. Сокращение дробей — только для дробей без букв.
    1. * символ звездочки интерпретируется как умножение.
    2. / слеш интерпретируется как деление.
    3. + и — интерпретируются как сложение и вычитание.
    4. ^ символ интерпретируется как степень.
    5. ( ) символы интерпретируются как открывающаяся и закрывающаяся скобки.
    1. Между двумя буквами необязательно ставить знак умножения (если они умножаются). Пример вместо x*x можно написать xx.
    2. После знака степени ^ должно стоять число степени. Если оно отрицательно необходимо заключить его в скобки. Пример x^2+1 или x^(-2) +1.
    3. При сложении дробей состоящих только из чисел калькулятор вычисляет НОД и НОК.
    4. При расчете сразу трех дробей сначала выполняется операция умножение(деления), затем сложения(вычитания). Для изменения этого порядка поставьте галочку в поле «Большие скобки» и выберите нужный порядок расчета. В этом случае первой будет выполняться операция в больших скобках.

    Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

    Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

    Дробно-рациональные уравнения

    Видео:Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.

    Что такое дробно-рациональные уравнения

    Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

    при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

    Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

    9 x 2 — 1 3 x = 0

    1 2 x + x x + 1 = 1 2

    6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

    Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

    Видео:Действия с алгебраическими дробями | Математика | TutorOnlineСкачать

    Действия с алгебраическими дробями | Математика | TutorOnline

    Как решаются дробно-рациональные уравнения

    В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

    Алгоритм действий при стандартном способе решения:

    1. Выписать и определить ОДЗ.
    2. Найти общий знаменатель для дробей.
    3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
    4. Записать уравнение со скобками.
    5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
    6. Найти корни полученного уравнения.
    7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
    8. Записать ответ.

    Пример 1

    Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    Начать следует с области допустимых значений:

    x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

    Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

    x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

    В результате общим знаменателем дробей является:

    Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

    После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

    x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

    Осталось решить квадратное уравнение:

    Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

    Видео:Решение простых уравнений с обыкновенными дробямиСкачать

    Решение простых уравнений с обыкновенными дробями

    Примеры задач с ответами для 9 класса

    Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    Определим область допустимых значений:

    О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

    x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

    D = 49 — 4 · 10 = 9

    x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

    x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

    Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

    a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

    x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

    — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

    x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Потребуется решить квадратное уравнение:

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

    Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

    4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

    В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    4 ( x + 4 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 4 — 1 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

    Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

    — x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

    ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

    Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

    — x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

    Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

    Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

    x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

    На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    x + 2 1 x ( x — 2 ) — x x x — 2 — 3 ( x — 2 ) x = 0

    x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

    x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

    — x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

    Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

    — x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

    Корни квадратного уравнения:

    x 1 = — 4 ; x 2 = 2

    Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

    Найти корни уравнения:

    x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

    Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

    x 2 — x — 6 1 x — 3 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) = 0

    x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

    x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

    0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

    Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

    Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

    Ответ: х — любое число, за исключением 3.

    Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

    5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

    На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

    5 ( x + 2 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 2 — 20 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

    2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

    Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

    Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

    Ответ: корни отсутствуют

    Нужно найти корни уравнения:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

    Начнем с определения ОДЗ:

    — 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

    При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

    ( x — 3 ) x + x = x + 5

    Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

    x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

    Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

    x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

    В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

    Второе значение не соответствует области допустимых значений.

    🔥 Видео

    Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

    Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

    Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать

    Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.

    Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

    Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?

    Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

    Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнение

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.Скачать

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.

    Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

    Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?

    Уравнение с дробямиСкачать

    Уравнение с дробями

    как решать дробиСкачать

    как решать дроби
    Поделиться или сохранить к себе:
    О сайте | | © 2024 Про уравнения - легко.